1.2.3 全称量词和存在量词学案-2023-2024学年高一数学湘教版（2019）必修第一册

1.2.3　全称量词和存在量词 【学习目标】 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象) 2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定以及真假判别.(逻辑推理) 3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定以及真假判别.(逻辑推理) 【自主预习】 预学忆思 1.常见的全称量词有哪些?如何表示?全称量词命题的定义是什么? 2.常见的存在量词有哪些?如何表示? 3.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题? 自学检测 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词. (　　) (2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”. (　　) (3)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词. (　　) (4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,􀱑p(x)的真假性相反. (　　) 2.下列语句是存在量词命题的是(　　). A.整数n是2和5的倍数 B.存在整数n,使n能被11整除 C.若3x-7=0,则x= D.∀x∈M,p(x) 3.命题“∃x∈R,x2-2x+1=0”的否定是　　　　.  【合作探究】 探究1：含有量词的命题 情境设置 问题1:命题p:任何一个实数除以1都等于这个数;q:等边三角形的三边都相等.它们各使用了什么量词? 问题2:下列命题使用了什么量词? p:存在实数x,使x2-3>0; q:有的实数既不是质数也不是合数. 新知生成 1.量词 “每一个”和“有一个”等叫作量词. 2.全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等叫作全称量词,用符号“∀”表示. 3.存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等叫作存在量词,用符号“∃”表示. 4.全称量词命题 语句p(x)中变量x的取值范围为集合M,则语句“对M的任一个元素x,有p(x)成立”是命题,叫作全称量词命题.可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”. 5.存在量词命题 语句“存在M的某个元素x,使p(x)成立”也是命题,叫作存在量词命题.可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”. 新知运用 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)有的质数是偶数; (2)所有的质数都是奇数; (3)负数的平方是正数; (4)每一个多边形的外角和都是360°. 【方法总结】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题,主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断. 巩固训练 指出下列命题中的全称量词或存在量词,并用量词符号“∀”或“∃”表示下列命题. (1)所有实数x都能使|x|+1>0成立; (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解; (3)存在整数x,y,使得3x-2y=10成立; (4)存在实数m,使得m与m的倒数之和等于1. 探究2：全称量词命题和存在量词命题的真假判断 情境设置 问题:命题“车间今天生产的零件都合格”究竟是真命题还是假命题?如何判断呢? 新知生成 判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法 1.对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”: (1)要证明它是真命题,需对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立; (2)要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常举反例) 2.对于存在量词命题“∃x0∈M,p(x0)”: (1)要证明它是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可.(通常举正例) (2)要判断它是假命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)不成立. 新知运用 例2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假. (1)∀x∈N,2x+1是奇数; (2)存在一个x∈R,使=0; (3)对任意实数a,|a|>0; (4)有一个角α,使sin α=. 巩固训练 判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z,x3<1; (2)存在一个四边形不是平行四边形; (3)∀x∈N,x2>0. 探究3：含量词命题的否定 情境设置 问题1:全称量词命题和存在量词命题的否定有什么特点? 问题2:如何对省略量词的命题进行否定? 新知生成 全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M,􀱑p(x). 存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:∀x∈M,􀱑p(x). 全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题. 新知运用 例3　写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:∀x∈R,x-2≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:∃x∈