第1章 课时作业(二) 表示集合的方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

课时作业(二)　表示集合的方法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·河北张家口高一期末)集合用描述法可表示为(　　) A． B． C． D． D　[通过观察发现3，，，，…中的第n个数的分母为n，分子为2n＋1，所以集合用描述法可表示为．故选D．] 2．(多选)M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(2，－1) ABC　[∵M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}， ∴或或 ∴M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}．] 3．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R．若1是集合A中的一个元素，则集合A＝(　　) A．{－3} B．{1} C．{－，1} D．{，1} C　[∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，∴a＝－3，∴集合A中的方程为－3x2＋2x＋1＝0，解得x＝－或x＝1，∴A＝{－，1}．] 4．(多选)给出下列说法，其中正确的是(　　) A．集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2} D．方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} AD　[对于A，由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1．因为－1∉N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}． 对于B，集合表示中的符号“{　　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”也表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R． 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1，2)}或． 对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故集合为{(2，－3)}．] 5．(2021·贵州兴仁市高一期末)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n＝m＋n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n＝mn．在上述定义下，集合M＝{(x，y)|x⊗y＝36，x∈N＋，y∈N＋}中元素的个数为(　　) A．48 B．41 C．40 D．39 B　[若x和y一个为奇数，一个为偶数，则xy＝36，满足此条件的有1×36，3×12，4×9，故点(x，y)有6个；若x和y都为偶数或奇数，则x＋y＝36，满足此条件的有1＋35，2＋34，3＋33，4＋32，…，35＋1，对应的点(x，y)有35个．综上可知，集合M中元素的个数为6＋35＝41．] 6．(2021·湖南高一期末)已知集合A＝{x∈Z∈Z}，用列举法表示集合A，则A＝ ． 解析：　∵A＝， ∴A＝{－1，1，3，5}． 答案：　{－1，1，3，5} 7．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为 ． 解析：　因为A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，且只有当x＝y＝1时，x＋y∈A， 所以B＝{(1，1)}，只有一个元素． 答案：　1 8．(2021·安徽合肥高一期末)设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝ ． 解析：　由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3， 所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}． 答案：　{1，3} 9．用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2＋2x＋1＝0的实数根组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合． 解析：　(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}． (3)方程x2＋2x＋1＝0的实数根为－1，因此可用列举法表示为{－1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2＋2x＋1＝0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． 10．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解析：　(1)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，此时x＝－，与题意相符； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，由Δ＝4－4a＝0得a＝1，原方程的解为x＝－1，与题意相符． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素． (2)A中至多有一个元素，则A中只有一个元素或没有元素．当Δ＝4－4a<0，即a>1时，原方程无实数解． 结合(1)知，当a＝0或a≥1时，A中至多有一个元素． (3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由Δ>0得a<1． 结合(1)可知，当a≤1时，A中至少有一个元素． [能力提升] 11．(2021·安徽合肥五校高一联考)定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}．若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为(　　) A．9 B．14 C．18 D．21 B　[因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}， 所以x1＝1或x1＝2或x1＝3，x2＝1或x2＝2． 所以A*B＝{2，3，4，5}，所以A*B中的所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14，故选B．] 12．集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，对任意a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合和运算： ①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法． 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 ．(写出所有满足条件的序号) 解析：　①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且存在e＝0，使得a⊕0＝0⊕a＝a，所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法，若存在e∈G，使a⊕e＝e⊕a＝a，则e＝1，与e∈G矛盾，所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，比如(x2＋x＋1)＋(－x2－x＋1)＝2，所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”． 综上可知，G关于运算⊕为“融洽集”的只有①． 答案：　① 学科网（北京）股份有限公司 $$