第1章 1.2.3 第2课时 含量词命题的否定-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

第2课时　含量词命题的否定 [课标解读]　1．能正确使用存在量词对全称命题进行否定．2．能正确使用全称量词对特称命题进行否定． 知识点　含量词命题的否定 p ¬p 结论 全称命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) 全称命题的否定是特称命题 特称命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，¬p(x) 特称命题的否定是全称命题 [点拨]　(1)写出一个全称命题或特称命题的否定时，通常要将命题的两个地方进行改变，一是量词符号要改变，二是结论要进行否定． (2)全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)命题“p：∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，¬p(x)”，它们可以同真同假．(　　) (2)若命题¬p是特称命题，则命题p是全称命题．(　　 ) (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的．(　　 ) 答案：　(1)×　(2)√　(3)× 2．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0 C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0 D．存在x∈R，x3－x2＋1>0 D　[全称命题的否定是特称命题，并对结论进行否定．] 3．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 C　[命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．] 4．命题“对于任意的x∈N，x3＋x2>0”的否定是 ． 答案：　∃x∈N，x3＋x2≤0 探究点一　全称命题的否定与真假判断 写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)p：∀x∈R，1－≤1； (2)对任意x∈Z，x2的个位数数字不等于3； (3)正数的绝对值是它本身． 解析：　(1)该命题的否定：∃x∈R，1－＞1．因为∀x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，所以这是一个假命题． (2)该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3．因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题． (3)该命题省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，它的否定：有的正数的绝对值不是它本身．所以这是一个假命题． 1．对全称命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称命题否定后的真假判断方法 全称命题的否定是特称命题，其真假性与全称命题相反；要说明一个全称命题是假命题，只需举一个反例即可．　　 即时练1．写出下列全称命题的否定，并判断其否定的真假． (1)所有矩形的对角线相等； (2)不论m取什么实数，x2＋x－m＝0必有实数根； (3)等圆的面积相等，周长相等． 解析：　(1)该命题的否定：有的矩形对角线不相等．假命题． (2)该命题的否定：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根．当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，方程没有实数根，故为真命题． (3)该命题的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．假命题． 探究点二　特称命题的否定与真假判断 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3． 解析：　(1)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数．它为假命题． (2)命题的否定：所有的平行四边形都不是菱形．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题． (3)命题的否定：∀x，y∈Z，x＋y≠3．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． 1．对特称命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．特称命题否定后的真假判断 特称命题的否定是全称命题，其真假性与特称命题相反；要说明一个特称命题是真命题，只需要找到一个实例即可．　　 即时练2．判断下列特称命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)∃x∈x是无理数}，x2是无理数； (3)在圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等； (4)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小． 解析：　(1)假命题．该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分． (2)真命题．该命题的否定为：∀x∈x是无理数}，x2是有理数． (3)假命题．该命题的否定为：在圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等． (4)真命题．该命题的否定为：任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小． 探究点三　已知命题真假求参数的范围 已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0． (1)若¬p为真命题，求实数a的取值范围； (2)若¬q为真命题，求实数a的取值范围； (3)若¬p与¬q同时为真命题，求实数a的取值范围． 解析：　(1)因为命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0， 所以¬p：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0． 因为¬p为真命题， 所以a＝0或 解得a＝0或a≤1且a≠0， 所以a≤1， 即实数a的取值范围为{a|a≤1}． (2)因为命题q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0， 所以¬q：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0． 因为¬q为真命题， 所以a＝0或 解得a＝0或0<a<4， 所以0≤a<4， 即实数a的取值范围为{a|0≤a<4}． (3)由(1)(2)可知，{a|a≤1}∩{a|0≤a<4}＝{a|0≤a≤1}，即实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}． 求解含有量词的命题中参数范围的策略 对于全称(特称)命题为真的问题，实质就是集合间关系问题，通常转化为利用集合关系求参数范围．　　 即时练3．命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值构成的集合． 解析：　命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题， 所以此命题的否定“任意x>a，2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1． 所以实数a的取值范围是{a|a≥1}． 1．(2021·甘肃省天水市秦安县第一中学高一期中)命题“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定是(　　 ) A．∀x∈R，x2－x＋1≥0 B．∀x∈R，x2－x＋1>0 C．∃x∈R，x2－x＋1≥0 D．∃x∈R，x2－x＋1>0 A　[因为命题“∃x∈R，x2－x＋1<0”为特称命题，其否定为：∀x∈R，x2－x＋1≥0，故选A．] 2．(多选)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称命题且为真命题的有(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 AC　[命题的否定是全称命题，则原命题为特称命题，故排除B选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题．又选项A，C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选AC．] 3．若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p用符号表示为 ． 解析：　因为p是¬p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 答案：　∃x>0，≤x＋1 4．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假． (1)对任意实数x，都有x3＞x2； (2)至少有一个二次函数的图象与x轴没有交点； (3)所有的矩形都是正方形； (4)存在x∈R，使x2＋2x＋5≤0． 解析：　(1)命题的否定为：存在一个实数x，有x3≤x2．为真命题． (2)命题的否定为：所有的二次函数的图象都与x轴有交点．为假命题． (3)命题的否定为：至少存在一个矩形不是正方形．为真命题． (4)命题的否定为：对任意x∈R，都有x2＋2x＋5＞0．为真命题． 课时作业(七)　含量词命题的否定 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，1＜y≤2 B．∃x∈R，1＜y≤2 C．∃x∈R，y≤1或y＞2 D．∀x∈R，y≤1或y＞2 D　[量词“∃”改为“∀”，结论“1＜y≤2”的反面是“y≤1或y＞2”，故选D．] 2．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中)命题“对任意x∈R，都有|x|≥0”的否定为(　　 ) A．任意x∈R，都有|x|<0 B．存在x0∉R，使得|x0|<0 C．存在x0∈R，使得|x0|≥0 D．存在x0∈R，使得|x0|<0 D　[题设命题为全称命题， ∴其否定为存在x0∈R，使|x0|<0．故选D．] 3．(2021·云南富源县高一期末)下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 D　[命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由1＜4x＜3得＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题；5x＋1＝0，x＝－∉Z，故B为假命题，其否定为真命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题，其否定为真命题；存在实数x＝－1或x＝－2，有x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0，故D为真命题，从而D的否定是假命题．] 4．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　) A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆 C．所有四边形的四个顶点共圆 D．所有四边形的四个顶点都不共圆 A　[根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A．] 5．已知p：∀x∈R，2x2＋2x＋>0，q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是(　　) A．p是真命题 B．q是假命题 C．p的否定是假命题 D．q的否定是假命题 D　[在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题，p的否定为真命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，q的否定是假命题．故选D．] 6．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)命题“∀α>β，sin α<sin β”的否定为 ． 解析：　由定义知命题的否定为“∃α>β，sin α≥sin β”． 答案：　∃α>β，sin α≥sin β 7．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：“若命题∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？ (填“是”或“否”) 解析：　∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”． 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题． ∴两位同学题中m范围是一致的． 答案：　是 8．(2021·河北邯郸高一期末)∀x∈{x|1≤x≤2}，∃t∈{t|1≤t≤2}，使得x＋2＞t＋m成立，则实数m的取值范围是 ． 解析：　由∀x∈{x|1≤x≤2}，x＋2＞t＋m成立得x＋2的最小值大于t＋m，因此3＞t＋m． 又由∃t∈{t|1≤t≤2}，使得t＋m＜3成立，得t的最小值小于3－m，即3－m＞1，解得m＜2． 因此实数m的取值范围是{m|m＜2}． 答案：　{m|m＜2} 9．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：在平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行； (3)p：有些实数的绝对值是正数； (4)p：某些平行四边形是菱形． 解析：　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此¬p：存在一个素数不是奇数，是真命题． (2)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“在平面内，任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此¬p：在平面内，存在两条与同一条直线垂直的直线不平行，是假命题． (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此¬p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题． (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此¬p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． 10．(2021·广东潮州高一期末)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0．若p，q都为真命题，求实数m的取值范围． 解析：　若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4； 若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则命题¬q：∃x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0为假命题，即方程x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0无实数根． 因此，Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m＞． 又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝． [能力提升] 11．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤1} B　[∵p为假命题，∴p的否定为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1． ∴a的取值范围是a≥1，故选B．] 12．已知命题p：∀x∈{x|0<x<1}，x＋m－1＜0，命题q：∀x∈{x|x＞0}，mx2＋4x－1≠0．若p真、q假，求实数m的取值范围． 解析：　若命题p是真命题，则x＋m－1＜0对0＜x＜1恒成立，即m－1＜－x对0＜x＜1恒成立． 当0＜x＜1时，－1＜－x＜0，所以m－1≤－1，即m≤0． 若命题q是假命题，则¬q：∃x∈{x|x＞0}，使得mx2＋4x－1＝0为真命题． 即关于x的方程mx2＋4x－1＝0有正实数根． 当m＝0时，4x－1＝0有正实数根； 当m≠0时，依题意得Δ＝16＋4m≥0，即m≥－4，设两实数根为x1，x2， ①当方程有两个正实数根时，x1＋x2＝－＞0，且x1x2＝－＞0，解得m＜0，此时－4≤m＜0； ②当方程有一正一负两个实数根时，x1x2＝－＜0，解得m＞0，此时m＞0； 当命题q是假命题时，m≥－4． 因为p真、q假，所以实数m的取值范围是{m|－4≤m≤0}． 学科网（北京）股份有限公司 $$