第1章 1.2.3 第1课时 含有量词的命题-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

1．2．3　全称量词和存在量词 [课标解读]　通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 第1课时　含有量词的命题 知识点　全称命题和特称命题 — 全称命题 特称命题 量词 所有、任意、每一个等 存在某个、至少有一个等 符号 ∀ ∃ 命题 形式 “对M的任一个元素x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M的某个元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” [点拨]　(1)一个全称命题可以包含多个变量，如“∀x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”；一个特称命题可以包含多个变量，如“∃a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”． (2)全称命题含有全称量词，有些全称命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来；含有存在量词“存在”“有一个”等的命题，或虽没有写出量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是特称命题． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“一切”“每一个”“任给”是全称量词．(　　) (2)“有些”“有一个”“有的”是存在量词．(　　) (3)全称命题“自然数都是正整数”是真命题．(　　) (4)“有些三角形中三个内角相等”是特称命题．(　　) (5)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2．下列命题是特称命题的是(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．所有的质数都是奇数 C．偶数不是质数 D．有的偶数是质数 D　[选项D中“有的”是存在量词，所以选项D中的命题是特称命题．] 3．下列命题中全称命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 C　[①的含义是“任意平行四边形的对角线都互相平分”，是全称命题；②的含义是“任意梯形都有两条边平行”，是全称命题；③含有量词“存在”是特称命题．故选C．] 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称命题为 ． 解析：　命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为：对任意的x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：　对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 探究点一　全称命题与特称命题的判断 判断下列命题是全称命题还是特称命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题． (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直； (4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 解析：　(1)是全称命题，表示为∀x∈N，x2≥0． (2)是特称命题，表示为∃x∈R，x2≥2． (3)是特称命题，表示为∃x∈{平行四边形}，但x的对角线不互相垂直． (4)是特称命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大． 全称命题或特称命题的判断 [提醒]　全称命题可能省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．　　 即时练1．判断下列命题是全称命题还是特称命题． (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)存在一对实数x，y，使2x＋3y＋3＞0成立． 解析：　(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称命题． (2)命题中含有存在量词，为特称命题． (3)命题中含有存在量词，为特称命题． 探究点二　全称命题和特称命题的真假判断 指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假． (1)对任意实数x，都有x2＋3＞0； (2)存在一个自然数小于1； (3)菱形的对角线相等． 解析：　(1)全称命题．由x2≥0，知x2＋3＞0恒成立，所以命题(1)是真命题． (2)特称命题．因为0∈N，且0＜1，所以命题(2)是真命题． (3)全称命题．有一个角为60°的菱形的对角线不相等，所以命题(3)是假命题． 判断全称命题、特称命题真假的思路 　　 即时练2．判断下列命题的真假，并指出是全称命题，还是特称命题． (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形； (3)存在一个实数x，使得方程x2＋x＋8＝0成立； (4)∃x∈R，x2－3x＋2＝0； (5)∀x，y∈Z，(x－y)2＝x2－2xy＋y2． 解析：　(1)是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示；是全称命题． (2)是真命题，如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形；是特称命题． (3)是假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31＜0，故方程无实数根；是特称命题． (4)是真命题，x＝2或x＝1，都能使x2－3x＋2＝0成立；是特称命题． (5)是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数也成立；是全称命题． 探究点三　根据命题的真假求参数范围 (1)已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a＜0为真命题，求实数a的取值范围； (2)已知命题p：∃x∈R，x2＋x＋2－a＝0为真命题，求实数a的取值范围； (3)已知命题p：∀x∈R，x2＋x＋2－a＞0为真命题，求实数a的取值范围． 解析：　(1)因为命题p为真命题，且二次函数y＝x2＋x＋2－a的图象是开口向上的抛物线，因此该抛物线与x轴一定有两个交点，故二次函数对应的方程有两个不相等的实数根，则Δ＝1－4(2－a)＞0，解得a＞． 即实数a的取值范围为． (2)因为p为真命题，因此方程x2＋x＋2－a＝0有根，则Δ＝1－4(2－a)≥0，解得a≥． 即实数a的取值范围为． (3)方法一：因为p为真命题，则函数y＝x2＋x＋2－a的图象恒在x轴上方，又x2＋x＋2－a＝(x＋)2＋－a，则－a＞0，故a＜． 即实数a的取值范围为． 方法二：由于∀x∈R，x2＋x＋2－a＞0恒成立， 则Δ＝1－4(2－a)＜0，解得a＜． 即实数a的取值范围为． 利用含量词的命题的真假求参数的取值范围 (1)含参数的全称命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决．　　 即时练3．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅． (1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围； (2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围． 解析：　(1)由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，又B≠∅， 所以解得2≤m≤3． (2)由于命题q为真命题，则A∩B≠∅， 因为B≠∅，所以m≥2． 所以解得2≤m≤4． 1．下列命题中全称命题的个数为(　　) ①全等三角形面积都相等　②梯形有两条边的长度不相等　③所有的素数都是奇数　④高二(1)班绝大多数同学是团员 A．0 B．1 C．2 D．3 D　[①②③是全称命题，④“高二(1)班绝大多数同学是团员”，即“高二(1)班有的同学不是团员”，是特称命题．] 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∃x0∈Z，x＜1 B．存在一个四边形不是平行四边形 C．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P D．∀x∈N，x2＞0 ABC　[A．因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以选项A是真命题；B．梯形不是平行四边形，所以选项B是真命题；C．由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知C正确，所以选项C是真命题；D．因为0∈N，02＝0，所以选项D是假命题．故选ABC．] 3．已知命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，则实数m的最大值是 ． 解析：　因为命题p：∃x≥3，使得2x－1＜m是假命题，所以m≤2x－1(x≥3)恒成立，所以m≤2×3－1，解得m≤5．故实数m的最大值是5． 答案：　5 4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假． (1)存在一个实数x，使等式x2－2x＋4＝0成立； (2)每个二次函数的图象都与x轴相交． 解析：　(1)特称命题． 因为x2－2x＋4＝＋3＞0． 所以该命题为假命题． (2)全称命题，如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交， 所以该命题为假命题． 课时作业(六)　含有量词的命题 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·安徽定远县高一期末)下列命题中，既是真命题又是全称命题的是(　　) A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0 B．菱形的两条对角线相等 C．∃x∈R，＝x D．所有的等边三角形都相似 D　[A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以A是假命题．B在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题．故选D．] 2．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q B　[∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图， ∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．] 3．下列命题为真命题的是(　　) A．存在x∈Q，使方程x－2＝0有解 B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数 C　[A．x－2＝0⇔x＝∉Q，故A错误；B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴不存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0，故B错误；C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数，故C正确；D．2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C．] 4．(多选)已知命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0为真命题，则实数a的取值可以是(　　) A．1 B．0 C．3 D．－3 AC　[因为p为真命题，即方程x2＋2x＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4－4(2－a)≥0，即a≥1．即实数a的取值范围为[1，＋∞)．因此所有选项中只有AC满足题意．故选AC．] 5．(多选)(2021·全国高一课前预习)下列命题中为特称命题的是(　　) A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．∃x∈R，x2＋x≤2 ACD　[选项A、C、D是特称命题，B可改写为“所有矩形都有外接圆”，是全称命题．故选ACD．] 6．(2021·广西南宁高一期末)下列命题是全称命题的有 ；是特称命题的有 ．(填序号) ①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数． 解析：　①中量词“任意一个”省略，是全称命题；②的含义是“任何有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形”，含有全称量词，是全称命题；③中量词“任意一个”省略，是全称命题；④中含有存在量词“至少”，是特称命题． 答案：　①②③　④ 7．下列命题： ①存在x＜0，x2－2x－3＝0； ②对一切实数x＜0，都有|x|＞x； ③∀x∈R, ＝x； ④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm，其中，所有真命题的序号为 ． 解析：　①因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1＜0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题； ③＝|x|＝故③为假命题； ④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题． 答案：　①② 8．(2021·河北迁安高一期末)已知命题p：∀1≤x≤2，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2＝0．若p和q都是真命题，则实数a的取值范围为 ． 解析：　若p为真命题，则a≤x2对于1≤x≤2恒成立，所以a≤1．若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2＝0有实数根，所以Δ＝4a2－8≥0，则a≥或a≤－．综上，实数a的取值范围为{a|a≤－}． 答案：　{a|a≤－} 9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (2)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； (3)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数． 解析：　(1)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解；假命题． (2)∃x，y∈Z，3x－2y＝10；真命题． (3)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数；真命题． 10．若方程ax2＋3x＋2＝0至多有一个根，求实数a的取值范围． 解析：　假设方程ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实根， 则 解得a＜且a≠0． 在全集R中， 的补集是， ∴满足题意的实数a的取值范围是． [能力提升] 11．已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2(a＞0)，若∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． D　[由二次函数的性质可得函数y1＝x2－2x，－1≤x1≤2的取值范围为{y1|－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知函数y2＝ax＋2，－1≤x2≤2的取值范围是{y2|2－a≤y2≤2＋2a}．因为∀－1≤x1≤2，∃－1≤x2≤2，使得x－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3．] 12．是否存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 解析：　假设存在整数m，使得命题“∀x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题． 因为当x≥－时，x＋1≥， 所以－5＜3－4m＜，解得＜m＜2， 又m为整数，所以m＝1， 故存在整数m＝1，使得命题“∀x≥－， －5＜3－4m＜x＋1”是真命题． 学科网（北京）股份有限公司 $$