第1章 1.1.3 集合的交与并-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

1．1．3　集合的交与并 [课标解读]　1．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．2．能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　两个集合的交 文字语言 在数学里，把所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B” 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B [点拨]　对交集概念的理解 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”． (3)A∩B＝∅的含义：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集． 知识点二　两个集合的并 文字语言 把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B” 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 图形语言 运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B) [点拨]　对并集概念的理解 (1)运算结果：A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成，公共元素只能算一次(元素的互异性)． (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，符号语言“x∈A，或x∈B”包含三种情况：“x∈A，但x∉B”；“x∈B，但x∉A”；“x∈A，且x∈B”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)并集定义中的“或”就是“和”．(　　) (2)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合．(　　) (3)若A∩B＝∅，则A＝B＝∅．(　　) (4)N∩N＋＝N＋，N∪N＋＝N．(　　) (5)若x∈(A∩B)，则x∈(A∪B)．(　　) 答案：　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{x|－2＜x＜1}，则M∩N＝(　　) A．{x|－2＜x＜1} B．{x|－1＜x＜1} C．{x|1＜x＜3} D．{x|－2＜x＜3} B　[在数轴上表示出集合M，N，如图所示， 由图知M∩N＝{x|－1＜x＜1}．] 3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(　　) A．{0} B．{0，2} C．{－2，0} D．{－2，0，2} D　[M＝{0，－2}，N＝{0，2}， ∴M∪N＝{－2，0，2}．] 4．若集合A＝{x|－3＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝ ，A∪B＝ ． 解析：　如图，A∩B＝{x|2＜x＜4}，A∪B＝{x|x＞－3}． 答案：　{x|2＜x＜4}　{x|x＞－3} 探究点一　交集及其运算 (1)设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝(　　) A．{0，1} B．{－1，0，1} C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2} (2)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝(　　) A．{x|－3＜x＜2} B．{x|－5＜x＜2} C．{x|－3＜x＜3} D．{x|－5＜x＜3} 解析：　(1)易知M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N＝{－1，0，1}，故选B． (2)在数轴上表示集合A，B，如图所示，则A∩B＝{x|－3＜x＜2}，故选A． 答案：　(1)B　(2)A 求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　　 即时练1．若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} A　[易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}，故选A．] 探究点二　并集及其运算 (1)设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∪B等于(　　) A．{1，3} B．{2，4} C．{2，4，5，7} D．{1，2，3，4，5，7} (2)已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5或x＞5}，则M∪N＝(　　) A．{x|x＜－5或x＞－3} B．{x|－5＜x＜5} C．{x|－3＜x＜5} D．{x|x＜－3或x＞5} 解析：　(1)依题意得B＝{1，3，5，7}，因此A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，故选D． (2)在数轴上表示集合M，N，如图，则由图可知M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．故选A． 答案：　(1)D　(2)A 求两个集合的并集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围．　　 即时练2．若集合A＝{x|0＜x＜}，B＝{x|1≤x＜2}，则A∪B＝(　　) A．{x|x≤0} B．{x|x≥2} C．{x|0≤x≤} D．{x|0＜x＜2} D　[将集合A，B表示在数轴上，如图，由数轴可知A∪B＝{x|0＜x＜2}．] 探究点三　集合交、并、补的综合运算 (1)设全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{0，－2}，则B∩(∁UA)＝(　　) A．{0，1} B．{－2，0} C．{－1，－2} D．{0} (2)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}．求： ①A∩B； ②(∁UA)∪B． 解析：　(1)由于A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2，1}， 所以∁UA＝{－1，0，2}， 所以B∩(∁UA)＝{0}，故选D． (2)①在数轴中画出集合A，B，如图所示． 由图可知，A∩B＝{x|－2＜x≤2}． ②由题得∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}． 在数轴中画出∁UA和集合B，如图所示， 由图可知，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}． 答案：　(1)D 求集合交、并、补运算的方法 　　 即时练3．(2021·甘肃天水高一期中试题)已知集合U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩(∁UB)＝(　　 ) A．{0，1，2，4} B．{0，2，4} C．{1，2，3} D．{1} D　[因集合U＝{0，1，2，3，4}，且B＝{2，3}，则∁UB＝{0，1，4}，又集合A＝{1，2}， 所以A∩(∁UB)＝{1}．故选D．] 即时练4．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B． 解析：　把全集U和集合A，B在数轴上表示如下： 由图可知，∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2＜x＜3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2}． 探究点四　集合的交集、并集及补集性质的应用 设A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{x∈R|x2－2ax＋a2－a＝0}． (1)若A∩B＝B，求实数a的取值范围； (2)若A∪B＝B，求实数a的值． 解析：　由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2． ∴A＝{0，2}． (1)∵A∩B＝B， ∴B⊆A，∴B＝∅或{0}或{2}或{0，2}． 当B＝∅时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a＜0，∴a＜0； 当B＝{0}时，得a＝0； 当B＝{2}时，无解； 当B＝{0，2}时，得a＝1． 综上所述，实数a的取值范围是{a|a＝1或a≤0}． (2)∵A∪B＝B，∴A⊆B， 又A＝{0，2}，而B中方程至多有两个根， ∴A＝B，由(1)知a＝1． 1．在利用集合的交集、并集的性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等，解答时常借助交集、并集的定义及集合间的关系分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等． 2．当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况．　　 即时练5．设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2＜x＜4}，全集U＝R． (1)若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围； (2)若(∁UA)∩B≠∅，求实数m的取值范围； (3)若(∁UB)∪A＝R，求实数m的取值范围． 解析：　(1)由已知A＝{x|x≥－m}，U＝R， 得∁UA＝{x|x＜－m}， 因为B＝{x|－2＜x＜4}，(∁UA)∩B＝∅，在数轴上表示出来如图． 由图可知－m≤－2，即m≥2， 所以m的取值范围是{m|m≥2}． (2)由已知得，A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x＜－m}，又(∁UA)∩B≠∅， 所以－m＞－2，解得m＜2． 故m的取值范围为{m|m＜2}． (3)由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2． 故m的取值范围为{m|m≥2}． 1．(2021·河北张家口高一期末)已知集合A＝{x∈N|－1<x≤4}，B＝{－1，1，3，5}，则A∪B＝(　　) A．{0，4} B．{1，3} C．{－1，1，2，3，4，5} D．{－1，0，1，2，3，4，5} D　[因为A＝{0，1，2，3，4}，B＝{－1，1，3，5}，所以A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}．故选D．] 2．(2021·广东仲元中学高一期末)设集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{x|2<x≤4}，则A∩B＝(　　) A．{2，3} B．{x|2<x≤6} C．{2，3，4} D．{3，4} D　[因为集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{x|2<x≤4}，所以A∩B＝{3，4}，故选D．] 3．已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)∩B＝ ． 解析：　∵U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，∴∁UA＝{6，8}． ∴(∁UA)∩B＝{6，8}∩{2，6，8}＝{6，8}． 答案：　{6，8} 4．(2021·云南高一期末)已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}． (1)若A∪B＝B，求a的取值范围； (2)若A∩B＝∅，求a的取值范围； (3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的值． 解析：　(1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，将集合A，B及A，B的关系在数轴上表示出来，如图， 观察数轴可知，所以≤a≤2． (2)A∩B＝∅有两类情况：B在A的左边和B在A的右边，如图． 观察数轴可知，a≥4或3a≤2，又a>0， 所以0<a≤或a≥4． (3)画出数轴如图， 观察图形可知即a＝3． 课时作业(四)　集合的交与并 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．设集合A＝{x|2＜x≤4}，B＝{2，3，4，5}，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{2} B．{2，5} C．{3，4} D．{2，3} B　[因为A＝{x|2<x≤4}，所以∁RA＝{x|x≤2或x>4}．所以(∁RA)∩B＝{2，5}．故选B．] 2．(2021·甘肃天水高一期末考试)已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x(x－2)＝0}，则A∪B＝(　　 ) A．{0，1} B．{2} C．{0，2} D．{0，1，2} D　[因为B＝{x|x(x－2)＝0}＝{0，2}，所以A∪B＝{0，1，2}．] 3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥3或x≤0}，B＝{x|1<x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为(　　) A．{x|0≤x<1} B．{x|0<x≤3} C．{x|0<x≤1} D．{x|1≤x≤3} C　[因为A＝{x|x≥3或x≤0}，B＝{x|1<x≤3}，所以A∪B＝{x|x>1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U(A∪B)＝{x|0<x≤1}，故选C．] 4．(多选)(2021·黑龙江哈尔滨三中高一月考)我们已经学过了集合的并，交，补等几个基本运算，而集合还有很多其它的基本运算．设A，B为两个集合，称所有属于集合A但不属于集合B的元素组成的集合为集合A与集合B的差集，记为A－B，即A－B＝{x∈A|x∉B}．下列表达式一定正确的是(　　) A．(A－B)∩(B－A)＝∅ B．(A－B)∪(B－A)＝A∪B C．A－(A－B)＝B－(B－A) D．(A－B)∪B＝A∪(B－A) ACD　[对于A，(A－B)∩(B－A)＝{x∈A|x∉B}∩{x∈B|x∉A}＝∅，故A正确； 对于B，(A－B)∪(B－A)＝{x∈A|x∉B}∪{x∈B|x∉A}＝(A∪B)－(A∩B)，故B不正确； 对于C，因为A－(A－B)＝A∩B，B－(B－A)＝B∩A，所以A－(A－B)＝B－(B－A)，故C正确； 对于D，因为(A－B)∪B＝A∪B，A∪(B－A)＝A∪B，所以(A－B)∪B＝A∪(B－A)，故D正确．故选ACD．] 5．对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)，设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M⊕N中元素的个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 C　[∵M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，∴M⊕N＝(M－N)∪(N－M)＝{1，2，3，7，8，9，10}．] 6．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝ ． 解析：　∵A＝{x|2≤x<5}， B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}， ∴A∩B＝{x|3≤x<5}． 答案：　{x|3≤x<5} 7．(2021·广东宝安高一期末)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝ ，A∩B＝ ． 解析：　借助数轴可知： A∪B＝R，A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． 答案：　R　{x|－1<x≤1或4≤x<5} 8．已知集合A＝{x|x>3或x<－6}，B＝{x|k≤x≤k＋1，k∈R}，若A∩B≠∅，则实数k的取值范围为 ． 解析：　若A∩B＝∅，则即－6≤k≤2；令P＝{k|－6≤k≤2}，则∁RP＝{k|k<－6或k>2}． 故若A∩B≠∅，k的取值范围是{k|k<－6或k>2}． 答案：　{k|k<－6或k>2} 9．(2021·云南砚山县高一期末)已知集合A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 解析：　因为A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}， 所以不妨先求当A∩B＝∅时，实数a的取值范围， 即得 故a≤－或≤a≤2． 所以当A∩B≠∅时，－<a<或a>2， 即实数a的取值范围为{a|－<a<或a>2}． 10．(2021·甘肃天水高一期中)已知集合A＝{x|x＞1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}． (1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B； (2)若B⊆∁RA，求m的取值范围． 解析：　(1)m＝－1时，集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|－1≤x≤2}， ∴A∩B＝{x|1<x≤2}， A∪B＝{x|x≥－1}； (2)∵A＝{x|x>1}， ∴∁RA＝{x|x≤1}， ∵集合B＝{x|m≤x≤m＋3}，B⊆∁RA， ∴m＋3≤1， 即m≤－2， ∴m的取值范围是{m|m≤－2}． [能力提升] 11．(2021·北京北师大实验中学高三月考)已知有限集X，Y，定义集合X－Y＝{x|x∈X且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．若X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，则|(X－Y)∪(Y－X)|＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 A　[∵X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}， ∴X－Y＝{1，2}，Y－X＝{5}， ∴(X－Y)∪(Y－X)＝{1，2，5}， ∴|(X－Y)∪(Y－X)|＝3，故选A．] 12．设M，P是两个非空集合，规定M－P＝{x|x∈M且x∉P}，根据这一规定，M－(M－P)等于(　　) A．M B．P C．M∪P D．M∩P D　[当M∩P≠∅时，由图可知M－P为图中的阴影部分，则M－(M－P)显然是M∩P；当M∩P＝∅时，M－P＝M，此时M－(M－P)＝M－M＝{x|x∈M且x∉M}＝∅＝M∩P，故选D．] 学科网（北京）股份有限公司 $$