第1章 1.1.3 集合的交与并（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学集合的交与并运算核心知识点，从集合基本关系引入，通过Venn图阴影观察提出运算问题，系统梳理交集、并集的定义、符号语言、图形表示及运算性质，延伸至参数求解与交并补综合运算，构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料以问题驱动学习，通过Venn图、数轴等直观工具培养几何直观（数学眼光），例题涵盖有限集、无限集及参数问题，训练推理能力（数学思维），符号与自然语言结合强化表达（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后练习助力学生巩固知识、查漏补缺。

1.1.3　集合的交与并 学习目标　1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图或数轴表达集合的关系及运算. 导语 通过前面的学习，我们知道两个实数存在大小关系，两个集合存在包含、相等关系. 观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？ 你能否联想实数的运算进行类比，集合是否也有类似的运算？ 一、两个集合的交 问题1　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，D＝{2，3}，你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ 提示　集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合D，集合D是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的. 知识梳理 自然语言 把所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”) 图形语言 运算性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B 注意点： (1)A∩B仍是一个集合. (2)自然语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 例1　(1)(课本例9)求下列各组集合的交集： ①A＝{2，3，5，7，11}，B＝{9，10，8，6，1，4}； ②C＝{x|x2－4x＋3＝0}，D＝{x|3x－x2＝0}. 解　①由于集合A，B没有相同的元素，故A∩B＝∅. ②由题意得C＝{1，3}，D＝{3，0}， 故C∩D＝{1，3}∩{3，0}＝{3}. (2)(课本例10)设方程2x+3y=7的全体解组成集合U，方程3x-y=5的全体解组成集合V，求U∩V. 解　由题意可知，U={(x，y)|2x+3y=7}，V={(x，y)|3x-y=5}， U∩V是两个方程联立而成的方程组的解集， 解上述方程组可得 于是，U∩V={(x，y)|2x+3y=7且3x-y=5}={(2，1)}. 例1　(1)若集合A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}，则A∩B等于(　　) A.{x|－3<x<2} B.{x|－5<x<2} C.{x|－3<x<3} D.{x|－5<x<3} 答案　A 解析　在数轴上将集合A，B表示出来，如图所示，由交集的定义可得A∩B为图中阴影部分， 即A∩B＝{x|－3<x<2}. (2)若A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　) A.{2} B.{3} C.{－3，2} D.{－2，3} 答案　A 解析　易知A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，B＝{－3，2}，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{2}. 反思感悟　交集运算的注意点 (1)求集合交集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法. (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示. 跟踪训练1　(1)已知集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝[0，2]，则P∩Q等于(　　) A.[0，2] B.{0，1，2} C.{1，2} D. 答案　B 解析　因为P＝{－1，0，1，2}，Q＝[0，2]， 所以P∩Q＝{0，1，2}. (2)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B等于(　　) A.{2，1} B.{x＝2，y＝1} C.{(2，1)} D.(2，1) 答案　C 解析　A∩B＝＝{(2，1)}. 二、两个集合的并 问题2　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 提示　集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C由所有属于集合A或属于集合B的元素组成. 知识梳理 自然语言 把所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集 符号语言 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}(读作“A并B”) 图形语言 运算性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)，A∪B＝B⇔A⊆B 注意点： (1)A∪B仍是一个集合. (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对自然语言中“元素放在一起”的理解，要注意集合元素的互异性. 例2　(1)(课本例11)设A＝{0，1，4，9，16}，B＝{9，4，π1}，求A∪B. 解　A∪B＝{0，1，4，9，16}∪{9，4，π1} ＝{0，1，4，9，16，π}. (2)(课本例12)求下列各组集合的并集： ①A=(1，3)，B=[2，5]； ②C=[0，1]，D={x|-1<x<1}. 解　①A∪B=(1，3)∪[2，5]=(1，5]. ②C∪D=[0，1]∪{x|-1<x<1}=[0，1]∪(-1，1)=(-1，1]. 例2　(1)设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B等于(　　) A.{2} B.{1，2} C.{2，4，6} D.{1，2，4，6} 答案　D 解析　由集合并集的定义，得A∪B＝{1，2，4，6}. (2)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于(　　) A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3} C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4} 答案　C 解析　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4} ＝{x|1≤x<4}. 反思感悟　并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性. (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值. 跟踪训练2　(1)集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于(　　) A.[2，＋∞) B.[2，5] C.[3，4) D.(－∞，4) 答案　A 解析　由B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，得A∪B＝[2，＋∞). (2)已知集合A＝{－1，0，1}，则满足A∪B＝{－1，0，1，2，3}的集合B可能是(　　) A.{－1，2} B.{－1，0，1，3} C.{－1，0，1} D.{0，2，3} 答案　D 解析　{－1，0，1}∪{0，2，3}＝{－1，0，1，2，3}，故D符合题意. 三、根据并集与交集运算求参数 例3　已知集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　) A.3≤a<4 B.－1<a<4 C.a≤－1 D.a<－1 答案　C 解析　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1. 延伸探究1　例题中“A∪B＝R”，变成“A∪B＝A”，求实数a的取值范围. 解　当a≥4时，集合B为空集，满足题意； 当a<4时，若要满足A∪B＝A，必有a≥3. 综上，实数a的取值范围是a≥3. 延伸探究2　例题中集合B变为“B＝{x|a<x≤4－a}”，且“A∪B＝R”变成“A∩B＝∅”，求实数a的取值范围. 解　当a≥2时，集合B为空集，满足题意； 当a<2时，则有a≥－1且4－a<3， 故有1<a<2， 综上，实数a的取值范围是a>1. 反思感悟　利用集合间的关系求参数的一般步骤 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系. (2)将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围. (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围. 跟踪训练3　设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}.若M∩N＝N，则实数t的取值范围为　　　　.  答案　{t|t≤2} 解析　由M∩N＝N，得N⊆M. 故当N＝∅，即2－t≥2t＋1，t≤时， M∩N＝N成立； 当N≠∅，即t>时，由图得 解得<t≤2. 综上可知，所求实数t的取值范围为{t|t≤2}. 四、交、并、补集的综合运算 例4　已知全集U＝R，A＝[－4，2)，B＝(－1，3]，P＝(－∞，0]∪求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP). 解　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示. 因为U＝R，A＝[－4，2)，B＝(－1，3]， 所以A∩B＝(－1，2)， ∁UB＝(－∞，－1]∪(3，＋∞). 又P＝(－∞，0]∪ 所以(∁UB)∪P＝(－∞，0]∪. 又∁UP＝ 所以(A∩B)∩(∁UP)＝(－1，2)∩＝(0，2). 反思感悟　解决集合交、并、补集运算的技巧 (1)若所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.解答过程中常借助Venn图来求解. (2)若所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 跟踪训练4　已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)等于(　　) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 答案　D 解析　A∪B＝{x|x≤0或x≥1}， 则∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}. 1.知识清单： (1)交集的概念及运算. (2)并集的概念及运算. (3)根据集合间的运算求参数. (4)交、并、补集的综合运算. 2.方法归纳：观察法、图示法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：在根据运算求参数时，容易遗忘空集这一重要的情况. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.已知集合M＝{0，1，3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于(　　) A.{0} B.{0，3} C.{1，3，9} D.{0，1，3，9} 答案　D 解析　易知N＝{0，3，9}，故M∪N＝{0，1，3，9}. 2.已知集合A＝{x|－3<x<2}，B＝{x|x<－4或x>1}，则A∩B等于(　　) A.{x|－4<x<－3} B.{x|－3<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|x<－3或x>1} 答案　C 解析　∵集合A＝{x|－3<x<2}，B＝{x|x<－4或x>1}， ∴A∩B＝{x|1<x<2}. 3.已知全集U＝R，集合A＝(－∞，－2]∪[3，＋∞)，B＝[－1，4]，则(∁UA)∪B等于(　　) A.[－2，4] B.(－2，4] C.[－1，3) D.[－1，3] 答案　B 解析　∵∁UA＝(－2，3)，∴(∁UA)∪B＝(－2，4]. 4.已知集合A＝{1，2}，A∩B＝{1}，A∪B＝{0，1，2}，则集合B等于(　　) A.{0，1} B.{0，2} C.{1，2} D.{1} 答案　A 解析　∵集合A＝{1，2}，A∩B＝{1}， A∪B＝{0，1，2}， ∴1∈B，0∈B，2∉B，则B＝{0，1}. 5.(多选)集合M＝{x|－1≤x≤3}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素有(　　) A.－1 B.0 C.1 D.3 答案　CD 解析　∵M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}， ∴M∩N＝{1，3}. 6.设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A.a<2 B.a>－2 C.a>－1 D.－1<a≤2 答案　C 解析　在数轴上表示出集合A，B即可知选C. 7.(5分)已知集合A＝B＝{x∈Z|x≤2}，则A∩B＝　　　　.  答案　{0，1，2} 解析　因为A＝B＝{x∈Z|x≤2}， 所以A∩B＝ 所以A∩B＝{0，1，2}. 8.(5分)已知集合A＝(a，＋∞)，B＝若A∪B＝R，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　在数轴上表示出集合A与B，如图， ∵A∪B＝R，∴a<. 9.(10分)设A＝{x|x2＋ax＋12＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}. (1)求a，b的值及A，B；(6分) (2)求(A∪B)∩C.(4分) 解　(1)∵A∩B＝{2}， ∴4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0， 即a＝－8，b＝－5， ∴A＝{x|x2－8x＋12＝0}＝{2，6}， B＝{x|x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}. (2)∵A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}， ∴(A∪B)∩C＝{2}. 10.(10分)已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}，C＝{x|x≥a－1}. (1)求A∩B，∁R(A∪B)，(∁RA)∩B；(4分) (2)若C∪A＝A，求实数a的取值范围.(6分) 解　(1)因为A＝{x|x≥3}，B＝{x|1≤x≤7}， 所以A∩B＝{x|3≤x≤7}，A∪B＝{x|x≥1}. ∁R(A∪B)＝{x|x<1}， 又∁RA＝{x|x<3}， 所以(∁RA)∩B＝{x|1≤x<3}. (2)因为C∪A＝A，A＝{x|x≥3}，C＝{x|x≥a－1}， 所以C⊆A，所以a－1≥3，即a≥4. 所以实数a的取值范围是{a|a≥4}. 11.已知集合A＝{x∈Z|－1≤x<}，B＝若A∩B中有两个元素，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　因为A＝{－1，0，1}， B＝ 由于A∩B中有两个元素，则或解得－<a<－1或－<a<0， 所以实数a的取值范围是. 12.(多选)设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值可以为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　ABC 解析　B＝{x|x2－5x＋4＝0}＝{1，4}，对于集合A， x2－(a＋2)x＋2a＝0，解得x＝2或x＝a， 当a＝2时，A＝{2}，A∪B＝{1，2，4}， 因为1＋2＋4＝7，所以符合题意； 当a≠2时，A＝{2，a}，A∪B中必含有1，2，4， 因为1＋2＋4＝7，所以a＝0或1或4. 综上所述，实数a的值可以为0，1，2，4. 13.(多选)下列说法中，当U为全集时，正确的是(　　) A.若A∩B＝∅，则(∁UA)∪(∁UB)＝U B.若A∩B＝∅，则A＝∅或B＝∅ C.若A∪B＝U，则(∁UA)∩(∁UB)＝∅ D.若A∪B＝∅，则A＝B＝∅ 答案　ACD 解析　因为A∩B＝∅，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)＝∁U∅＝U，故A正确；A∩B＝∅，例如A＝{1，2}，B＝{3，4}，A∩B＝∅，但A≠∅且B≠∅，故B错误；A∪B＝U，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝∁UU＝∅，故C正确；A∪B＝∅，则A，B都是∅，故D正确. 14.(5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店： (1)第一天售出但第二天未售出的商品有　　　种；  (2)这三天售出的商品最少有　　　　种.  答案　(1)16　(2)29 解析　设三天都售出的商品有x种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y种，则三天售出商品的种类关系如图所示. 由图可知，(1)第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x)－x＝16(种). (2)这三天售出的商品有(16－y)＋y＋x＋(3－x)＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝(43－y)种. 由于所以0≤y≤14. 所以(43－y)min＝43－14＝29. 15.(多选)已知两个数集A和B，定义A－B＝{x|x∈A，x∉B}，AΔB＝(A－B)∪(B－A).则下列命题正确的有(　　) A.任意A，B，都有AΔB＝BΔA成立 B.任意A，B，都有AΔ(AΔB)＝BΔ(BΔA)成立 C.存在A，B，使AΔB＝∅成立 D.存在A，B，使AΔB＝R成立 答案　ACD 解析　AΔB＝(A－B)∪(B－A)＝{x|x∈A，x∉B或x∈B，x∉A}，BΔA＝(B－A)∪(A－B)＝{x|x∈B，x∉A或x∈A，x∉B}，则AΔB＝BΔA成立，故A正确；BΔ(BΔA)＝{x|x∈A，x∈B或x∈A，x∉B}＝A， AΔ(AΔB)＝{x|x∈A，x∈B或x∈B，x∉A}＝B，则AΔ(AΔB)＝BΔ(BΔA)不一定成立，故B错误；令A＝B＝{1，2}，则AΔB＝∅，故C正确；令A＝{x|x>1}，B＝{x|x≤1}，则AΔB＝R，故D正确. 16.(11分)定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝N＝且M，N都是集合的子集. (1)求集合M∩N的“长度”的最小值；(6分) (2)若m＝集合M∪N的“长度”大于求实数n的取值范围.(5分) 解　(1)依题意可知集合M，N不是空集， 要使M，N都是集合的子集， 则且 解得1≤m≤且≤n≤2， 要使M∩N的“长度”最小，只有当m取最小值且n取最大值或m取最大值且n取最小值时才成立. 当m＝1，n＝2时，M∩N＝其“长度”为； 当m＝n＝时，M∩N＝其“长度”为 故集合M∩N的“长度”的最小值是. (2)若m＝则M＝ 要使集合M∪N的“长度”大于故n－<或n> 即n<或n>又≤n≤2，所以≤n<或<n≤2，故实数n的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $