第1章 1.1.1 第2课时 表示集合的方法-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

第2课时　表示集合的方法 知识点一　列举法 定义：把集合中的所有元素一一列举出来，叫作列举法． 格式：在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔． [点拨]　用列举法表示集合时，应注意： (1)元素与元素之间需用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是确定的． (3)不必考虑元素出现的前后顺序，但不能重复． 知识点二　描述法 定义：把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法． 格式：在一个大括号里写出集合中元素的共有属性．或在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件． [点拨]　描述法表示集合时的3个关注点 (1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等． (2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等． (3)不能出现未被说明的字母． 知识点三　区间及相关概念 1．区间的概念及记法 设a，b是两个实数，且a<b，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右 开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右 闭区间 (a，b] 2．无穷大 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) [点拨]　(1)区间左端点的值小于右端点的值． (2)区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“，”隔开． (3)“∞”是一个符号，而不是一个数． (4)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}．(　　 ) (2)集合{(1，2)}中的元素是1和2．(　　 ) (3)集合{x|x>3}与集合{t|t>3}表示同一个集合．(　　 ) 答案：　(1)×　(2)×　(3)√ 2．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　) A．{1，1} B．{1} C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0} B　[由集合中元素的互异性知集合中只有1个元素．] 3．用描述法表示函数y＝x＋1图象上的点的集合是(　　) A．{x|y＝x＋1} B．{y|y＝x＋1} C．{(x，y)|y＝x＋1} D．{y＝x＋1} C　[因为集合是点集，所以代表元素是(x，y)．] 4．用区间表示下列数集： (1){x|x≥1}＝ ； (2){x|2<x≤3}＝ ． 答案：　(1)[1，＋∞)　(2)(2，3] 探究点一　用列举法表示集合 用列举法表示下列集合： (1)方程x2－1＝0的解组成的集合； (2)单词“see”中的字母组成的集合； (3)所有正整数组成的集合； (4)直线y＝x与y＝2x－1的交点组成的集合． 解析：　(1)方程x2－1＝0的解为x＝－1或x＝1，所求集合用列举法表示为{－1，1}． (2)单词“see”中有两个互不相同的字母，分别为“s”“e”，所求集合用列举法表示为{s，e}． (3)正整数有1，2，3，…，所求集合用列举法表示为{1，2，3，…}． (4)方程组的解是所求集合用列举法表示为{(1，1)}． 用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素； (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来． 即时练1．用列举法表示集合{x|x－2<3，x∈N＋}为(　　) A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5} B　[∵x－2<3，∴x<5．又x∈N＋，∴x＝1，2，3，4．故选B．] 探究点二　用描述法表示集合 用描述法表示下列集合： (1){2，4，6，8，10，12}； (2)； (3)正偶数集； (4)被3除余2的正整数组成的集合； (5)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； (6){1，22，32，42，…}． 解析：　(1)可表示为{x|x＝2n，n∈N＋且n≤6}． (2)可表示为{x|x＝，n∈N＋且n≤5}． (3)可表示为{x|x＝2n，n∈N＋}． 偶数用式子可表示为x＝2n，n∈Z，但此题要求x为正偶数，故x＝2n，n∈N＋ (4)可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}． 设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但此题要求x为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，也可以写成x＝3n－1，n∈N＋，注意此时n从1开始． (5)可表示为{(x，y)|xy＝0}． 此集合是点集，坐标轴上的点(x，y)的特征是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0． (6)可表示为{x|x＝n2，n∈N＋}． 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为x＝n2，n∈N＋，也可以写成x＝(n＋1)2，n∈N． 描述法表示集合的2个步骤 　　 即时练2．选择适当的方法表示下列集合： (1)大于1且小于8的有理数； (2)由＋(a，b∈R)所确定的实数集合； (3)不等式2x－3<5的解组成的集合． 解析：　(1)大于1且小于8的有理数有无数个， 用描述法表示为{x∈Q|1<x<8}． (2)关键是根据绝对值的意义化简，设x＝＋，当a>0，b>0时，x＝2；当a<0，b<0时，x＝－2；当a，b异号时，x＝0，故用列举法表示为{－2，0，2}． (3)不等式2x－3<5的解x<4组成的集合可用描述法表示为{x|x<4}． 探究点三　用区间表示集合 用区间表示下列数集： (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}； (4)R；(5){x|2≤x≤4}． 解析：　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)． (4)R＝(－∞，＋∞)． (5){x|2≤x≤4}＝[2，4]． 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值； (2)区间两端点之间用“，”隔开； (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号； (4)以“－∞”，“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．　　 即时练3．已知区间(4p－1，2p＋1)，则p的取值范围为 ． 解析：　由题意，得4p－1<2p＋1，所以p<1． 答案：　(－∞，1) 即时练4．我们一般称b－a(b>a)为{x|a≤x≤b}所表示的区间长度，则{x|－2≤x≤4}所表示的区间长度为 ． 解析：　由题意得，所求区间长度为4－(－2)＝6． 答案：　6 探究点四　集合表示法的综合应用 若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 解析：　若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0， 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2． 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1． 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1．当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的实数根． (2)当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论． (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性．　　 即时练5．(变条件)若集合A中有2个元素，求k的取值范围． 解析：　由题意得 解得k<1，且k≠0． 综上，实数k的取值范围为{k|k<1且k≠0}． 即时练6．(变条件)若集合A中至多有一个元素，求k的取值范围． 解析：　①当集合A中含有1个元素时，由例4知，k＝0或k＝1；②当集合A中没有元素时，方程kx2－8x＋16＝0无解，即解得k>1． 综上，实数k的取值范围为{k|k＝0或k≥1}． 探究点五　集合的新定义问题(创新型) 定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B中元素的个数为(　　) A．0 B．2 C．3 D．6 C　[∵z＝xy，x∈A，y∈B，∴z的取值有1×0＝0，1×2＝2，2×0＝0，2×2＝4，∴A*B＝{0，2，4}，故集合A*B中元素的个数为3．] 对于新定义集合计数问题，首先要准确理解新定义，其次通过列举(具体化)或图形(形象化)弄清集合中有哪些元素，最后数出集合中元素的个数．　　 即时练7．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|x1，y1∈A，x2，y2∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　) A．77 B．49 C．45 D．30 C　[当x1＝0时，y1∈{－1，0，1}，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}， 此时x1＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}． 则A⊕B中元素的个数为5×7＝35． 当x1＝±1时，y1＝0，而x2，y2∈{－2，－1，0，1，2}，此时x1＋x2∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}． 由于x1＋x2∈{－2，－1，0，1，2}，y1＋y2∈{－2，－1，0，1，2}时，存在A⊕B中的元素与前面重复，故此时与前面不重复的元素的个数为2×5＝10，所以A⊕B中元素的个数为35＋10＝45．] 1．方程组的解集是(　　) A．(－5，4) B．(5，－4) C．{(－5，4)} D．{(5，－4)} D　[解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D．] 2．区间(－3，2]用集合可表示为(　　) A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3<x<2} C．{x|－3<x≤2} D．{x|－3≤x≤2} C　[由区间和集合的关系，可得区间(－3，2]可表示为{x|－3<x≤2}，故选C．] 3．已知集合A＝{a∈Z|∈N}，则A可用列举法表示为 ． 解析：　由∈N，可知0<5－a≤6，即－1≤a<5，又a∈Z，所以当a＝－1时，＝1∈N；当a＝0时，＝∉N；当a＝1时，＝∉N；当a＝2时，＝2∈N；当a＝3时，＝3∈N；当a＝4时，＝6∈N．综上可得A＝{－1，2，3，4}． 答案：　{－1，2，3，4} 4．用适当的方法表示下列集合． (1)方程(x＋1)(x2－2)＝0的解集； (2)直线y＝x－1，y＝－x＋1的交点组成的集合； (3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合． 解析：　(1)解方程(x＋1)(x2－2)＝0得x＝－1或x＝±，故其解集用集合表示为{－1，－，}． (2)由解得 故两直线的交点为(1，0)．用集合表示为{(1，0)}． (3)代表元素是有序实数对(x，y)，用描述法表示为{(x，y)|x<0且y>0}． 课时作业(二)　表示集合的方法 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·河北张家口高一期末)集合用描述法可表示为(　　) A． B． C． D． D　[通过观察发现3，，，，…中的第n个数的分母为n，分子为2n＋1，所以集合用描述法可表示为．故选D．] 2．(多选)M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有(　　) A．(0，0) B．(0，1) C．(1，0) D．(2，－1) ABC　[∵M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}， ∴或或 ∴M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}．] 3．已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R．若1是集合A中的一个元素，则集合A＝(　　) A．{－3} B．{1} C．{－，1} D．{，1} C　[∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，∴a＝－3，∴集合A中的方程为－3x2＋2x＋1＝0，解得x＝－或x＝1，∴A＝{－，1}．] 4．(多选)给出下列说法，其中正确的是(　　) A．集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{0，1} B．实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R} C．方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2} D．方程(x－2)2＋(y＋3)2＝0的所有解组成的集合为{(2，－3)} AD　[对于A，由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1．因为－1∉N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0，1}． 对于B，集合表示中的符号“{　　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”也表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R． 对于C，方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1，2)}或． 对于D，由(x－2)2＋(y＋3)2＝0，得x－2＝0，y＋3＝0，解得x＝2，y＝－3，故集合为{(2，－3)}．] 5．(2021·贵州兴仁市高一期末)对于任意两个正整数m，n，定义某种运算⊗：当m，n都为偶数或奇数时，m⊗n＝m＋n；当m，n中一个为奇数，另一个为偶数时，m⊗n＝mn．在上述定义下，集合M＝{(x，y)|x⊗y＝36，x∈N＋，y∈N＋}中元素的个数为(　　) A．48 B．41 C．40 D．39 B　[若x和y一个为奇数，一个为偶数，则xy＝36，满足此条件的有1×36，3×12，4×9，故点(x，y)有6个；若x和y都为偶数或奇数，则x＋y＝36，满足此条件的有1＋35，2＋34，3＋33，4＋32，…，35＋1，对应的点(x，y)有35个．综上可知，集合M中元素的个数为6＋35＝41．] 6．(2021·湖南高一期末)已知集合A＝{x∈Z∈Z}，用列举法表示集合A，则A＝ ． 解析：　∵A＝， ∴A＝{－1，1，3，5}． 答案：　{－1，1，3，5} 7．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为 ． 解析：　因为A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，且只有当x＝y＝1时，x＋y∈A， 所以B＝{(1，1)}，只有一个元素． 答案：　1 8．(2021·安徽合肥高一期末)设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝ ． 解析：　由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3， 所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}． 答案：　{1，3} 9．用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程x2＋2x＋1＝0的实数根组成的集合； (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合． 解析：　(1)解方程组得故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为{(4，－2)}． (2)小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，可用列举法表示为{3，5，7，11}． (3)方程x2＋2x＋1＝0的实数根为－1，因此可用列举法表示为{－1}，也可用描述法表示为{x∈R|x2＋2x＋1＝0}． (4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}． 10．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}． (1)若A中只有一个元素，求a的值； (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围． 解析：　(1)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，此时x＝－，与题意相符； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，由Δ＝4－4a＝0得a＝1，原方程的解为x＝－1，与题意相符． 故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素． (2)A中至多有一个元素，则A中只有一个元素或没有元素．当Δ＝4－4a<0，即a>1时，原方程无实数解． 结合(1)知，当a＝0或a≥1时，A中至多有一个元素． (3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素，由Δ>0得a<1． 结合(1)可知，当a≤1时，A中至少有一个元素． [能力提升] 11．(2021·安徽合肥五校高一联考)定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}．若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为(　　) A．9 B．14 C．18 D．21 B　[因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}， 所以x1＝1或x1＝2或x1＝3，x2＝1或x2＝2． 所以A*B＝{2，3，4，5}，所以A*B中的所有元素之和为2＋3＋4＋5＝14，故选B．] 12．集合G关于运算⊕满足：(1)对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；(2)存在e∈G，对任意a∈G，都有a⊕e＝e⊕a＝a，则称G关于运算⊕为“融洽集”，现给出下列集合和运算： ①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法． 其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 ．(写出所有满足条件的序号) 解析：　①G＝{非负整数}，⊕为整数的加法，满足对任意a，b∈G，都有a⊕b∈G，且存在e＝0，使得a⊕0＝0⊕a＝a，所以①中的G关于运算⊕为“融洽集”； ②G＝{偶数}，⊕为整数的乘法，若存在e∈G，使a⊕e＝e⊕a＝a，则e＝1，与e∈G矛盾，所以②中的G关于运算⊕不是“融洽集”； ③G＝{二次三项式}，⊕为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，比如(x2＋x＋1)＋(－x2－x＋1)＝2，所以③中的G关于运算⊕不是“融洽集”． 综上可知，G关于运算⊕为“融洽集”的只有①． 答案：　① 学科网（北京）股份有限公司 $$