第1章 1.1.1 第1课时 集合与元素-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

1．1　集　合 1．1．1　集　合 [课标解读]　1．通过实例，了解集合的含义．2．理解元素与集合的属于关系．3．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上， 用符号语言刻画集合．4．在具体情境中，了解空集的含义． 第1课时　集合与元素 1．集合与元素的概念 在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个集合或集，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素． [点拨]　(1)集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似，只是描述性的说明． (2)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义．一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等，也可以是人或物等． 2．集合与元素的关系 — 关系 概念 记法 读法 集合 与元 素的 关系 属于 如果a是S的一个元素，就说a属于集合S a∈S a属于S 不属于 如果a不是S的元素，就说a不属于集合S a∉S (或aS) a不属于S [点拨]　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的归属关系，注意开口方向． 3．集合的基本属性 (1)同一集合中的元素是互不相同的． (2)集合中的元素是确定的． (3)集合中的元素没有顺序． 4．常用数集及表示符号 名称 自然数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N Z Q R 5．集合的分类 (1)有限集：元素个数有限的集合． (2)无限集：元素无限多的集合． (3)空集：没有元素的集合，记作∅． [点拨]　{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}与∅不相同． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．(　　 ) (2)高一四班的全体同学组成一个集合．(　　 ) (3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合．(　　 ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　 ) (5)集合N中的最小元素为0．(　　) (6)若a∈Q，则一定有a∈R．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√ 2．设M是所有偶数组成的集合，则(　　) A．3∈M B．1∈M C．2∈M D．0∉M C　[因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M．] 3．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素．] 4．下列集合中 是有限集， 是无限集．(填序号) ①由小于8的正奇数组成的集合； ②由大于5且小于20的实数组成的集合； ③由小于0的自然数组成的集合． 解析：　①因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． ②因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集． ③因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集． 答案：　①③　② 探究点一　集合的概念 (2021·海南三亚华侨学校高一月考)下列所给的对象不能组成集合的是(　　) A．某班年龄较小的同学 B．二元一次方程x＋y＝1的解 C．我国古代的四大发明 D．平面内到定点距离等于定长的点 A　[A：某班年龄较小的同学，其中“较小”的标准不确定，即不满足集合中元素的确定性，故不能组成集合； B：二元一次方程x＋y＝1的解符合集合中元素的确定性、互异性以及无序性，故能组成集合； C：我国古代的四大发明包括造纸、火药、印刷术、指南针，符合集合中元素的确定性、互异性以及无序性，故能组成集合； D：平面内到定点距离等于定长的点符合集合中元素的确定性、互异性以及无序性，故能组成集合；故选A．] 一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的过程为： 　　 即时练1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．中国的所有直辖市可以组成一个集合 B．高一(1)班较胖的同学可以组成一个集合 C．正偶数的全体可以组成一个集合 D．大于2 015且小于2 023的所有整数不能组成集合 AC　[B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，所以B错误；D中的所有整数能组成集合，所以D错误，AC正确．] 探究点二　集合与元素的关系 (1)下列五个关系中，正确的个数为(　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①∈R　②∉Q　③π∈Q　④|－3|∉N　⑤－∈Z A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：　(1)由于∈R，－∈Z，是无理数，故①②⑤正确，因为π是无理数，|－3|＝3是自然数，所以③④错误，故选C． (2)因为集合A含有三个元素2，4，6， 所以当a∈A时，a＝2或a＝4或a＝6； 当a＝2时，6－a＝4∈A，符合题意； 当a＝4时，6－a＝2∈A，符合题意； 当a＝6时，6－a＝0∉A，不符合题意． 故a＝2或4．选B． 答案：　(1)C　(2)B 判断集合和元素关系的两种方法 (1)直接法：集合中的元素是直接给出的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．　　 即时练2．下列表示正确的是(　　) A．0∈N B．∈N C．－3∉Z D．π∉R A　[根据常用数集的意义逐一判断．对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B，是不可约分数，即有∉N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错误；对于D，π是无理数，即有π∈R，故D错误．] 即时练3．用符号“∈”或“∉”填空． (1)设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，则p M，q M． (2)设集合D是满足方程y＝x2的有序数对(x，y)的集合，则－1 D，(－1，1) D． 解析：　(1)矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q∉M． (2)因为集合D中的元素是有序数对(x，y)，而－1是数，所以－1∉D，(－1，1)∈D． 答案：　(1)∈　∉　(2)∉　∈ 探究点三　集合中元素的特性及应用 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值为 ． 解析：　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1． 当a＝1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a≠1； 当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性． ∴a＝－1． 答案：　－1 [母题探究] 1．(变条件)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值． 解析：　因为2∈A，所以a＝2或a2＝2即a＝2或a＝或a＝－． 2．(变条件)本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？ 解析：　因为A中有两个元素a和a2，所以a≠a2，解得a≠0且a≠1． 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 即时练4．已知集合A中含有三个元素a＋1，3a，a2＋1，若1∈A，求实数a的值． 解析：　当a＋1＝1时，a＝0，3a＝0，a2＋1＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去． 当3a＝1时，a＝，a＋1＝，a2＋1＝，符合题意． 当a2＋1＝1时，a＝0，a＋1＝1，3a＝0，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数a的值为． 1．下列对象能构成集合的是(　　) A．高一年级视力比较好的学生 B．sin 30°，sin 45°，cos 60°，1 C．全体很大的自然数 D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点 D　[对于A，因为视力比较好的标准不确定，所以不满足集合中元素的确定性，故A错误；对于B，由于sin 30°＝cos 60°＝，不满足集合中元素的互异性，故B错误；对于C，因为很大自然数的标准不确定，所以不满足集合中元素的确定性，故C错误；对于D，由平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点，在△ABC三边的垂直平分线上，可知这个点就是△ABC外接圆的圆心，满足集合的定义，故D正确．故选D．] 2．给出下列关系，其中正确的是(　　) A．∈Q B．∈R C．|－3|∉N＋ D．|－|∈Q B　[∵∉Q，∈R，|－3|＝3∈N＋，|－|＝∉Q， ∴A、C、D错误，B正确．故选B．] 3．方程x2－1＝0与方程x＋1＝0所有解组成的集合中共有 个元素． 解析：　由x2－1＝0，得x＝±1；由x＋1＝0，得x＝－1，故集合中只有2个元素1和－1． 答案：　2 4．已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，求实数a的值． 解析：　若－3＝a－3，则a＝0，此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1，此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a的值为0或－1． 课时作业(一)　集合与元素 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．(2021·甘肃会宁高一期中)下列关系正确的是(　　 ) A．0＝∅ B．1∈{1} C．∅＝{0} D．0∉{0，1} B　[不含任何元素的集合为空集，记作∅，故A、C错误，1∈{1}，故B正确；0∈{0，1}，故D错误，故选B．] 2．(2021·浙江高一期末)已知集合M＝{x|x2＋x＝0}，则(　　) A．{0}∈M B．∅∈M C．－1∉M D．－1∈M D　[因为集合M＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，所以－1∈M，故选D．] 3．(2021·山东菏泽高一期末)已知集合A含有3个元素a，|a|，a－2，若2∈A，则实数a的值为(　　) A．±2或4 B．2 C．－2 D．4 C　[由条件2∈A可知，a＝2或|a|＝2或a－2＝2，解得a＝±2或a＝4．由元素的互异性可知a≠|a|，故a<0，所以满足条件的只有a＝－2，故选C．] 4．集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　) A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B C．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B C　[集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C．] 5．(2021·山东聊城高一期末)已知a，b是非零实数，代数式＋＋的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　) A．0∈M B．－1∈M C．3∉M D．1∈M B　[当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1．综上可知B正确．] 6．(2021·江西上饶高一期末)已知集合A＝{a＋2，2a2＋a}，若3∈A，则实数a的值是 ． 解析：　由题可知：集合A＝{a＋2，2a2＋a}，3∈A， 所以a＋2＝3或2a2＋a＝3，则a＝1或a＝－， 当a＝1时，a＋2＝2a2＋a，不符合集合中元素的互异性， 当a＝－时，A＝，符合题意， 所以a＝－． 答案：　－ 7．已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1 A，－34 A．(填“∈”或“∉”) 解析：　当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A． 答案：　∈　∈ 8．(2021·湖南长沙高一期末)已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝ ． 解析：　∵x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6． 答案：　6 9．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x． (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． 解析：　根据集合中元素的互异性，可知解得x≠0且x≠3且x≠－1． (2)因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A，所以x＝－2． 10．(2021·广西桂林高一期末)集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由． 解析：　∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25； B中的元素为9，0，－4；显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9； B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3． [能力提升] 11．已知集合A中含有3个元素0，1，2，集合B的元素x－y满足x∈A，y∈A，则集合B中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 C　[当x＝0，y＝0时，x－y＝0； 当x＝0，y＝1时，x－y＝－1； 当x＝0，y＝2时，x－y＝－2； 当x＝1，y＝0时，x－y＝1； 当x＝1，y＝1时，x－y＝0； 当x＝1，y＝2时，x－y＝－1； 当x＝2，y＝0时，x－y＝2； 当x＝2，y＝1时，x－y＝1； 当x＝2，y＝2时，x－y＝0． 根据集合中元素的互异性，知B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个．] 12．若集合A具有以下性质： (1)0∈A，1∈A； (2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) ①只含有－1，0，1三个元素的集合B是“好集”； ②有理数集Q是“好集”； ③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 C　[①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q．且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A．] 学科网（北京）股份有限公司 $$