精品解析：宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）． A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 A. B. -1 C. D. 7. 已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，设的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 直线平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离是 10. 已知圆C：，直线l：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆恰有两条公切线 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________. 13. 已知过定点的动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于直线对称，且圆心在轴上. （1）求的标准方程； （2）已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点． （）求椭圆的方程． （）当直线的斜率为时，求的面积． 17. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点. （1）若，求证：平面平面PED； （2）平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值. 18. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 19. 设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区银川一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】椭圆焦点在轴上,再根据基本量之间的关系求解即可. 【详解】由题,,又焦点在轴上,故焦点坐标为. 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆中的基本量与基本概念,属于基础题. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直线上任取两个不重合的点，可得出直线的一个方向向量. 【详解】在直线上取点、， 故直线的一个方向向量为. 故选：A. 3. 若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（ ）． A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两平面法向量的垂直关系可判断两平面的位置关系. 【详解】∵平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， ∵， ∴， ∴ 平面平面． 故选：C 4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，实轴的长度为，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用给定条件结合双曲线的性质求解双曲线方程即可. 【详解】因为双曲线实轴的长度为， 所以，因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，故双曲线的标准方程为，故A正确. 故选：A 5. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 6. 已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率是 A. B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意知，直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率． 【详解】 ∵椭圆的方程为，作图如右图： ∵椭圆的焦距为2c， ∴直线 y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），又直线y=(x+c)与椭圆交于M点， ∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1， ∴∠MF2F1=30°， ∴∠F1MF2=90°． 设|MF1|=x，则 ，|F1F2|=2c=2x，故x=c． ∴ ， 又|MF1|+|MF2|=2a， ∴2a=（ +1）c， ∴该椭圆的离心率 故选B． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0）是关键，属于中档题． 7. 已知椭圆，过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，设的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程可得焦点的坐标,进而得直线方程.联立椭圆方程,根据韦达定理及中点坐标公式可得中点的坐标,即可得直线的斜率. 【详解】椭圆的标准方程为 所以半焦距,即右焦点坐标为 过右焦点的直线倾斜角为,即斜率 所以直线方程为 联立直线方程与椭圆方程,化简可得 设直线与椭圆两个交点、 则由韦达定理可得 则 由中点坐标公式可得中点 则直线的斜率为 故选:B 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,中点弦问题的解法,属于基础题. 8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比. 【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 在图②中，的周长为， 所以，，可得， 在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得， ，则， 即， 由题意可知，的周长为，即， 所以，. 因此，与的离心率之比为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 直线平面 C. 直线与平面所成角的正切值为 D. 点到平面的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D． 【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确； 对于B，取中点，连接，，，可知且， 又且， 所以且，所以四边形是平行四边形，， 又平面，平面，平面，故B正确； 对于C，取的中点，连接，则，因为平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 所以，故C错误； 对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确； 故选：ABD 10. 已知圆C：，直线l：（），则（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点 C. 当时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1 D. 圆C与圆恰有两条公切线 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断圆与圆的位置关系判断D. 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，A正确； 对于B，又，即定点在圆内，则直线与圆相交，有两个交点，B错误； 对于C，当时，直线：，圆心到直线的距离为， 而圆半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，C正确； 对于D，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为， 两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是椭圆上异于，的一点，且（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则（ ） A. B. 的离心率为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意点在以为直径的圆上可判断；对于B，由离心率定义结合正弦定理即可判断；对于C，由斜率公式结合离心率即可验算；对于D，由的关系以及三个三角形的高一样可验证. 【详解】 由，所以为等边三角形，且在以为直径的圆上， 所以，即，A对； 若，则，B错； ，C对； 设的内切圆半径为，则，，， ， ，即，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：得到为等边三角形，且在以为直径的圆上为关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点与两个焦点所构成的三角形的周长等于________________. 【答案】42 【解析】 【分析】求双曲线的定义求出点到另一个焦点的距离，即可求解 【详解】双曲线的，则， 设到它的上焦点的距离等于3， 由于， 则为上支上一点， 则由双曲线的定义可得，（为下焦点）． 则有， 则点与两个焦点所构成三角形的周长为． 故答案为：42． 13. 已知过定点的动圆与定圆相内切，则动圆的圆心的轨迹方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆位置关系可得，结合椭圆定义求方程即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 显然点在圆内，则， 可得， 可知动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆， 则，，所以动圆的圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 14. 设椭圆的两焦点为，.若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据椭圆性质和余弦定理得到，利用均值不等式得到，解得答案. 【详解】设，，则，， 即， ，即，当且仅当时等号成立， 故，即，. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于直线对称，且圆心在轴上. （1）求的标准方程； （2）已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可. （2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可. 【小问1详解】 因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称， 故是圆的直径，即在直线上， 得到，而圆心在轴上，故，解得， 代入到中，得到，解得， 故圆的一般方程为， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为， 【小问2详解】 首先，可化为， 如图，作，且记直线为， 由勾股定理得，故， 当最小时，一定最小，也一定最小， 由平面几何性质得当时，取得最小值， 由点到直线的距离公式得， 故. 16. 已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点的直线交椭圆于、两点． （）求椭圆的方程． （）当直线的斜率为时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可得2a=，e=，从而解出椭圆方程； （2）设直线l的方程为y=x﹣1，从而联立方程，从而解出交点坐标，从而求面积； 解析： （）由已知，椭圆方程可设为， ∵长轴长为，离心率， ∴，， 故所求椭圆方程为． （）因为直线过椭圆右焦点，且斜率为， 所以直线的方程为，设，， 由，得，解得，， ∴． 17. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，,，点是线段BC（包括端点）上的动点. （1）若，求证：平面平面PED； （2）平面PED和平面ABCD的夹角为，直线BC与平面PED所成角为，求的值. 【答案】（1）证明：因为，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 若，则由题意得， 所以， 所以，即， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理，再结合面面垂直的判定定理即可求解； （2）如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，，利用向量法求出平面PED和平面ABCD的夹角的余弦值，直线BC与平面PED所成角的正弦值，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，所以， 所以，即， 又由（1）知平面， 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以， ， 设，， 则， 所以，所以， 为平面ABCD的法向量， ，， 设平面的法向量为， 则， 可取， 平面PED和平面ABCD的夹角为， 所以 ， 直线BC与平面PED所成角为， 所以 ， 所以， 因为， 所以. 18. 已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2. （1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程； （2）过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）. 【答案】（1），； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解，即可求解方程， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据数量积的坐标运算求解. 【小问1详解】 由离心率，又，则， 又长轴长，所以，所以， 故双曲线的标准方程为； 其渐近线方程为. 【小问2详解】 直线的倾斜角为，故其斜率为1，又过点， 的方程为； 设 由，得， 19. 设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AM的方程； （3）P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或或或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用离心率的定义及圆的切线性质列式求出即可. （2）设直线的方程并求出点的坐标，进而求出直线方程及点的坐标，由三角形面积建立方程求解. （3）设直线的方程为，，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，求出，再就点的位置分两种情况讨论得解. 【小问1详解】 由离心率为，得椭圆半焦距， 由以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切，得， 由，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，，则点，， 由消去并整理得， 解得，，则，， 直线的斜率， 则直线方程，令，解得，即， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或或或. 【小问3详解】 设直线的方程为，， 由，得， ，，， 则， 当点在椭圆上或外部，即时，，， 于是； 当点在椭圆上或内部，即时，，， ， 令，则，， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $