第二章 等式与不等式 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

章末综合提升 探究点一　不等式及其性质 例1　(1)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y (2)已知0<a<，且M＝－，N＝－，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M<N C．M＝N D．不能确定 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)因为当a≠0时，|a|>0，由x>y，得|a|x>|a|y；由a＝0时，|a|x＝|a|y.因此|a|x≥|a|y.选项A、B、D均不满足不等式性质，不正确．故选C. (2)因为0<a<，所以1＋a>0，1＋b>0，ab<1.M－N＝－－＝＋＝>0，所以M>N.故选A. 1．作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等． 2．运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性．判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题． 对点练1.(1)若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．＜b B．a2＞b2 C．＞ D．a|c|＞b|c| (2)已知2<a<3，且－2<b<－1，则的取值范围是________． 答案：(1)C　(2)<<2 解析：(1)取a＝1，b＝－1，排除选项A、B；取c＝0，排除选项D；显然＞0，所以>成立．故选C. (2)因为－2<b<－1，所以1<b2<4.因为2<a<3，所以<<，所以<<2. 探究点二　方程组的解集 例2　如果关于x，y的二元一次方程组的解为则方程组的解集为(　　 ) A．{(x，y)|(2，1)} B．{(x，y)|(2，3)} C．{(x，y)|(2，2)} D．{(x，y)|(1，2)} 答案：C 解析：由方程组得根据题意知即所以解集为{(x，y)|(2，2)}．故选C. 学生用书↓第63页 求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式． 对点练2.已知关于x，y的方程组给出下列结论： ①是方程组的一组解； ②当k＝时，x，y的值互为相反数； ③若方程组的解也是方程x＋y＝4－k的解，则k＝1. 其中正确的是________． 答案：①② 解析：解方程组得①是方程组的一组解，结论正确；②当k＝时，x＝3k－2＝－2＝－，y＝1－k＝1－＝，x，y的值互为相反数，结论正确；③因为也是方程x＋y＝4－k的解，所以x＋y＝3k－2＋1－k＝－1＋2k＝4－k，所以3k＝5，k＝，结论不正确． 探究点三　一元二次方程的解法及根与系数的关系 例3　已知x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根． (1)是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； (2)求使＋－2的值为整数的实数k的整数值． 解：(1)假设存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． 因为一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， 所以解得k＜0. 又x1，x2是一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根， 所以 所以(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x＋x)－5x1x2＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝2－＝－＝－， 所以k＝. 又k＜0，所以不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． (2)因为＋－2＝－2＝－4＝－4＝－， 所以要使其值是整数，只需k＋1能被4整除， 即k＋1＝±1，±2，±4.又k＜0， 所以使＋－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5. 1．解一元二次方程，应熟练掌握解一元二次方程的方法： (1)直接开平方法；(2)配方法；(3)因式分解法；(4)公式法． 2．求参数的值是一元二次方程根与系数的关系的常见应用，解题步骤是列方程组，解方程组． 对点练3.已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根． (1)是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值． 解：(1)Δ＝4a2－4a(a－6)＝24a， 因为一元二次方程有两个实数根，所以Δ≥0，即a≥0. 又因为a－6≠0，所以a≠6，所以a≥0且a≠6. 由题可知x1＋x2＝，x1x2＝. 因为－x1＋x1x2＝4＋x2，即x1x2＝4＋x1＋x2， 所以＝4＋，解得a＝24.经检验，符合题意． 所以存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立，a的值为24. (2)(x1＋1)(x2＋1)＝x1＋x2＋x1x2＋1＝＋＋1＝. 因为为负整数，所以a－6＝6或a－6＝3或a－6＝2或a－6＝1. 所以整数a的值应取7，8，9，12. 探究点四　一元二次不等式的解法 例4　解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0. 解：原不等式可化为[x－(a＋1)][x－2(a－1)]>0， 讨论a＋1与2(a－1)的大小： (1)当a＋1>2(a－1)，即a<3时，x>a＋1或x<2(a－1)． (2)当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，x≠4. (3)当a＋1<2(a－1)，即a>3时，x>2(a－1)，或x<a＋1. 综上：当a<3时，解集为{x|x>a＋1，或x<2(a－1)}， 当a＝3时，解集为{x|x≠4}， 当a>3时，解集为{x|x>2(a－1)，或x<a＋1}． 一元二次不等式的解法 1．解一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 学生用书↓第64页 对点练4.(2024·江苏南京高一期末)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}． (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0； (2)若关于x的一元二次不等式kx2－ax＋k≤0的解集为R，求实数k的取值范围． 解：(1)由题知，－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根， 所以解得a＝3， 所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0为2x2－x－3>0，即(2x－3)(x＋1)>0， 所以x<－1或x>， 故原不等式的解集为{x|x<－1，或x>}． (2)一元二次不等式kx2－ax＋k≤0可化为kx2－3x＋k≤0， 因为其解集为R， 所以解得k≤－， 所以实数k的取值范围为. 探究点五　均值不等式的应用 例5　(1)若－4<x<1，则(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 (2)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为________． 答案：(1)D　(2)5 解析：(1)＝，又因为－4<x<1，所以x－1<0，所以－(x－1)>0，所以－≤－1，当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．所以当x＝0时，取到最大值－1.故选D. (2)由题意得，2＝1，所以x＋y＝(x＋3)＋y－3＝2[(x＋3)＋y]－3＝2＋＋＋2－3＝＋＋1≥2 ＋1＝5，当且仅当＝，且＋＝，即x＝1，y＝4时等号成立，所以x＋y的最小值为5. 利用基本不等式求最值的三种解题技巧 1．凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值． 2．凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值． 3．换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后把式子转化为多项式(或将分母换元后把式子转化为多项式)，再利用基本不等式求最值． 对点练5.(1)若x>0，则x＋－的最小值是________； (2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________． 答案：(1)0　(2)4 解析：(1)x＋－＝x＋＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立，故x＋－的最小值是0. (2)因为2xy＝x·(2y)≤，所以8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0.因为x>0，y>0，所以x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4. 探究点六　不等式恒成立问题 例6　已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围； (2)当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围． 解：(1)当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2， 故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}． (2)将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈[4，6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， 即⇒ 解得x≤－3－，或x≥－3＋， 故x的取值范围是{x|x≤－3－，或x≥－3＋}． 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 1．利用一元二次不等式判别式与图形相结合． 2．分离参数法． 3．转化为最大(小)值问题． 对点练6.已知x>0，y>0，且＋＝2，若x＋2y>m2－3m－1恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤－1，或m≥4 B．m≤－4，或m≥1 C．－1<m<4 D．－4<m<1 答案：C 解析：由＋＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y，所以x＋1＝2xy，所以2y＝1＋，所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝1，y＝1时，等号成立，所以(x＋2y)min＝3，所以x＋2y>m2－3m－1恒成立，可化为3>m2－3m－1，即m2－3m－4<0，解得－1<m<4.故选C. (多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案：BC 解析：因为x2＋y2－xy＝(x＋y)2－3xy＝1，且xy≤，所以(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，故(x＋y)2≤4，当且仅当x＝y时等号成立，即－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；由xy≤得1＝x2＋y2－xy≥x2＋y2－，即x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立．故C正确，D错误．故选BC. (2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 答案： 解析：由5x2y2＋y4＝1知y≠0，所以x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝，x2＝时取“＝”．故x2＋y2的最小值为. (2020·天津卷)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 答案：4 解析：＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当＝，即(a＋b)2＝16，亦即a＋b＝4时取等号．又因为ab＝1，所以或时取等号，所以＋＋的最小值为4. (2019·天津卷)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________． 答案：4 解析：因为x＋2y＝5，x>0，y>0，所以＝＝＝2＋≥2 ＝4，当且仅当即或时，原式取得最小值4. 单元检测卷(二)　等式与不等式 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不论x，y为何有理数，x2＋y2－2x＋4y＋6的值均为(　　) A．正数 B．零 C．负数 D．非负数 答案：A 解析：原式＝x2－2x＋1＋y2＋4y＋4＋1＝(x－1)2＋(y＋2)2＋1，因为(x－1)2≥0，(y＋2)2≥0，所以(x－1)2＋(y＋2)2＋1≥1. 2．下列结论正确的是(　　) A．若<，则a<b B．若a2>b2，则a>b C．若a>b，则ac2>bc2 D．若ac>bc，则a>b 答案：A 解析：根据不等式性质得，若<，则a<b，故A正确；取a＝－2，b＝1，满足a2>b2，但a<b，故B不正确；取c＝0，若a>b，则ac2＝bc2，故C不正确；若ac>bc，当c<0时，a<b，故D不正确．故选A. 3．设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当(a－b)a2≥0时，解得a≥b或a＝0， 故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的必要不充分条件． 4．不等式x2－3|x|<0的解集为(　　) A．{x|0<x<3} B．{x|－3<x<0或0<x<3} C．{x|－3<x<0} D．{x|－3<x<3} 答案：B 解析：因为x2－3|x|<0，所以或所以0<x<3或－3<x<0，所以不等式的解集为{x|－3<x<0或0<x<3}．故选B. 5．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　) A．A≥B B．A>B C．A<B D．A≤B 答案：B 解析：因为a，b都是正实数，且a≠b，所以A＝＋>2＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，所以A>B.故选B. 6．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：因为x2－6x＋k＝0的两根分别为x1，x2，所以x1＋x2＝6，x1x2＝k，所以＋＝＝＝3，解得k＝2.经检验，k＝2满足题意．故选B. 7．方程组的解集为(　　) A．{(1，2)} B．{(－1，－2)} C．{(1，2)，(－1，－2)} D．{(1，－2)，(－1，2)} 答案：C 解析：方程组由①得y＝2x，将其代入②得x2－(2x)2＋3＝0，解得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝2；当x＝－1时，y＝－2，所以原方程组的解集为{(1，2)，(－1，－2)}．故选C. 8．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 答案：C 解析：方法一　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0，所以ab＝b＋2a≥2，所以ab≥2. 方法二　由题设易知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．在数轴上，A(x)，B(3)，且AB＝，则(　　 ) A．x＝或－ B．x＝－或 C．AB的中点C或C D．AB的中点C或C 答案：AC 解析：由题意AB＝|x－3|＝，所以x－3＝±，x＝或－，所以AB中点对应的数为＝或＝.故选AC. 10．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则下列对于系数a，b，c的结论中，正确的是(　　) A．a<0 B．c>0 C．a＋b＋c>0 D．a－b＋c>0 答案：ABC 解析：由题意知⇒对于A，a<0，即A项正确；对于B，c＝－a>0，即B项正确；对于C，a＋b＋c＝a－a－a＝－a>0，即C项正确；对于D，a－b＋c＝a＋a－a＝a<0，即D项错误．故选ABC. 11．(2024·江苏南京高一期末)已知正数x，y满足x＋y＝2，则下列选项正确的是(　　) A．＋的最小值是4 B．－y最小值为－1 C．x2＋y2的最小值是2 D．x(y＋1)的最大值是 答案：CD 解析：对于A，因为x>0，y>0，且x＋y＝2，所以＋＝(x＋y)＝≥＝2，当且仅当＝，即x＝y＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2，故A错误；对于B，因为x>0，y>0，且x＋y＝2，所以y＝2－x，所以－y＝＋x－2＝＋x＋1－3≥2－3＝－1，当且仅当＝x＋1，即x＝0时，等号成立，显然x＝0不成立，所以－y的最小值取不到－1，故B错误；对于C，由2≤得，x2＋y2≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即x2＋y2的最小值是2，故C正确；对于D，x(y＋1)≤＝，当且仅当x＝y＋1且x＋y＝2，即x＝，y＝时，等号成立，即x(y＋1)的最大值是，故D正确．故选CD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12．若不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}则不等式>0的解集为__________． 答案： 解析：因为不等式ax2＋bx－1>0的解集是{x|1<x<2}，所以且a<0，解得a＝－，b＝，所以>0可转化为>0⇔<0，解得<x<2. 13．某汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶，每小时油耗为11.5 L，欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为__________ 答案：[60，100] 解析：设每小时的油耗(所需要的汽油量)为y，由题意可得y＝，当x＝120时，y＝11.5，所以11.5＝×，解得k＝100，所以y＝，因为每小时的油耗不超过9 L，所以≤9，即x2－145x＋4 500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，欲使每小时的油耗不超过9 L，x的取值范围为[60，100]． 14．已知x>0，y>0，满足x＋2y＋＋＝6，且对于任意x，y，m≤x＋2y恒成立，则实数m的最大值为__________． 答案：2 解析：因为x>0，y>0，x＋2y＋＋＝6，所以6＝x＋2y＋＋＝x＋2y＋≥(x＋2y)＋＝(x＋2y)＋，当且仅当x＝2y时取等号，所以(x＋2y)2－6(x＋2y)＋8≤0，解得2≤x＋2y≤4；又对于任意x，y，m≤x＋2y恒成立，所以m≤(x＋2y)min，即m≤2，所以m的最大值为2. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)求下列方程的解集： (1)x4－3x2＋2＝0；(4分) (2)x＋2－1＝0；(4分) (3)(x2－x)2－(x2－x)－2＝0.(5分) 解：(1) 令y＝x2≥0，得y2－3y＋2＝0， 所以y＝1或y＝2，即x2＝1或x2＝2， 所以x＝±1或x＝±. 所以原方程的解集为{－，－1，1，}． (2)令y＝≥0，得y2＋2y－1＝0， 所以y＝－1＋或y＝－1－(舍)． 从而＝－1＋，即x＝3－2， 所以原方程的解集为{3－2}． (3)令x2－x＝t，得t2－t－2＝0， 所以t＝－1或t＝2，即x2－x＋1＝0　①或x2－x－2＝0　②， 对于①，Δ＝－3<0，无实数解； 对于②，解得x＝－1或x＝2， 故原方程的解集为{－1，2}． 16．(本小题满分15分)求下列方程组的解集： (1)(4分) (2)(4分) (3)(7分) 解：(1)由②得x＝3y＋，代入①得y2＋6y＋5＝0，解得y＝－5或y＝－1. 当y＝－5时，x＝3×(－5)＋＝－； 当y＝－1时，x＝3×(－1)＋＝－. 所以原方程组的解集为. (2)由②得x＝1＋2y，代入①得(1＋2y)2＋y2＝13， 即5y2＋4y－12＝0，解得y＝或y＝－2. 当y＝时，x＝1＋2×＝； 当y＝－2时，x＝1＋2×(－2)＝－3. 所以原方程组的解集为. (3)由②得x＝2y－2，代入①得3(2y－2)2＋4y2＝12， 即2y2－3y＝0，解得y＝0或y＝. 当y＝0时，x＝－2； 当y＝时，x＝2×－2＝1. 所以原方程组的解集为. 17．(本小题满分15分)二十大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员x(x>0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为3(a>0)万元． (1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(5分) (2)在(1)的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求实数a的最大值．(10分) 解：(1)由题意得(200－x)×3(1＋4x%)≥200×3，解得0<x≤175，x∈N*. (2)从事水果加工的农民的年总收入为3x(a>0)万元， 从事水果种植农民的年总收入为3(200－x)(1＋4x%) 万元， 即3x≤3(200－x)(1＋4x%) 恒成立，其中0<x≤175， 上述不等式等价于a≤＋＋7(a>0)， 又因为＋＋7≥2＋7＝11， 当且仅当＝，即x＝100时等号成立， 故0<a≤11，即实数a的最大值为11. 18．(本小题满分17分)设a>0，b>0，且a＋2b＝3. (1)求ab的最大值；(7分) (2)求＋的最小值．(10分) 解：(1)因为a>0，b>0，所以ab＝a·2b≤＝，当且仅当时等号成立． 所以当时，ab有最大值. (2)＋＝×3×＝(a＋2b)＝≥(14＋4) (当且仅当b＝a时取等号)， 所以 ＋的最小值为(14＋4)． 19．(本小题满分17分)关于x的一元二次方程4x2＋4(m－1)x＋m2＝0. (1)当实数m在什么范围内取值时，方程有两个实数根？(5分) (2)设方程有两个实数根x1，x2，当m为何值时，x＋x＝17？(5分) (3)若方程有两个实数根x1，x2，则x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应m的取值范围；若不能同号，请说明理由．(7分) 解：(1)因为Δ＝[4(m－1)]2－4×4m2＝－32m＋16≥0，得m≤，所以当m≤时，方程有两个实数根． (2)根据一元二次方程根与系数的关系得 x1＋x2＝－＝1－m，x1x2＝. 因为x＋x＝17，所以(x1＋x2)2－2x1x2＝17， 所以(1－m)2－＝17，解得m1＝8，m2＝－4. 因为当m≤时，方程有两个实数根，所以m＝－4. (3)x1和x2能同号． 由(1)知，当m≤时，方程有两个实数根， 由(2)知，x1x2＝. 若x1与x2同号，则x1x2>0，即>0，解得m≠0. 所以当m≠0，且m≤时，x1和x2能同号， 即实数m的取值范围为. 学生用书↓第65页 学科网（北京）股份有限公司 $$