第二章 重点题型强化（二） 均值不等式的综合应用-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

1．熟练掌握基本不等式及其变形的应用．　2.能构造基本不等式求最值，并求解一些综合问题，培养逻辑推理及数学运算核心素养． 题型一　利用基本不等式求最值 方法一　巧用“1”的代换求最值 例1　已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，求a＋b的最小值． 解：因为a>0，b>0，且3a＋b＝2ab， 所以＋＝1， 则a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝2＋， 当且仅当＝时等号成立， 即a＝，b＝时取等号， 则a＋b的最小值为2＋. 学生用书↓第61页 常数代换通常是指“1”的代换，“1”的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 方法二　分离消元法求最值 例2　已知实数x，y满足xy＋3x＝3，且0<x<，求＋的最小值． 解：因为实数x，y满足xy＋3x＝3， 所以x＝，所以0<<，解得y>3. 则＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8， 当且仅当y＝4，x＝时，等号成立． 故＋的最小值为8. 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，转化为只含一个变量的最值问题． 方法三　换元法求最值 例3　若a>0，b>0，且＋＝1，求a＋2b的最小值． 解：令解得 所以＋＝1，a＋2b＝＋－， 因为＋＝＝2＋＋≥2＋，当且仅当＝，即m＝n>0时取等号， 所以a＋2b＝＋－≥＋. 故a＋2b的最小值为＋. 若题目中条件是含两个分式的求最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分别运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 对点练1.(1)已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，则x＋2y的最小值为________． (2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，x＋2y的最小值为________． (3)已知x，y为正实数，则＋的最小值为________． 答案：(1)18　(2)4　(3)6－4 解析：(1)因为x>0，y>0，x＋8y＝xy，所以＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当即时等号成立．所以x＋2y的最小值为18. (2)由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0<x<8， 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立．所以x＋2y的最小值为4. (3)令＝t>0，则＋＝2t＋＝2(t＋2)＋－4≥2－4＝6－4，当且仅当2(t＋2)＝，即＝t＝－2时，等号成立．所以＋的最小值为6－4. 题型二　利用基本不等式求参数的值(范围) 例4　已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则实数m的最大值等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案：B 解析：因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤(2a＋b)恒成立，又(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9.故实数m的最大值为9.故选B. 求参数的值或取值范围的一般方法 1．分离参数，转化为求代数式的最值问题． 2．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而求得参数的值或取值范围． 3．注意等号的取舍，防止失误． 对点练2.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>4＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________________． 答案：{m|m<2} 解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立．由x＋2y>4＋2m恒成立，可知4＋2m<8，解得m<2. 1．函数y＝＋x(x<3)的最大值是(　　) A．－4 B．1 C．5 D．－1 答案：D 解析：因为x<3，所以3－x>0，所以y＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时等号成立，所以y的最大值是－1.故选D. 2．(多选)若实数a>0，b>0，ab＝1，则下列不等式中，正确的是(　　) A．a＋b≥2 B．＋≥2 C．a2＋b2≥2 D．＋≤2 答案：ABC 解析：因为实数a>0，b>0，ab＝1，所以a＋b≥2＝2成立，当且仅当a＝b时等号成立，故A正确；＋≥2＝2成立，故B正确；a2＋b2≥2ab＝2成立，故C正确；＋≥2＝2成立，当且仅当a＝b时等号成立，故D不正确．故选ABC. 3．已知x>0，y>0，＋＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是________． 答案：{m|m≤16} 解析：因为x>0，y>0，＋＝1，所以(x＋y)＝1＋＋＋9≥10＋2＝16，当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号．所以x＋y的最小值为16，故m≤16. 4．已知a，b，x，y都是正实数，且＋＝1，x2＋y2＝8，则ab与xy的大小关系是________． 答案：ab≥xy 解析：ab＝ab·＝a＋b≥2，所以ab≥4，当且仅当a＝b＝2时，等号成立．xy≤＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立，所以ab≥xy. 学生用书↓第62页 学科网（北京）股份有限公司 $$