2.2.1 不等式及其性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

2．2　不等式 2．2.1　不等式及其性质 知识目标 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．　2.会用比较法比较两实数的大小．　3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．　4.掌握综合法、分析法、反证法证明问题的过程和推理特点，能灵活选用综合法、分析法、反证法证明简单的命题. 素养目标 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养；通过两数(式)的大小比较，培养数学运算、逻辑推理素养；通过综合法、分析法、反证法的证明，提升逻辑推理素养. 生活中的不等关系处处存在，我们经常看到下列标志： 问题1.你知道各图标的标志有何作用，其含义是什么吗？ 提示：其作用及含义分别为： ①最低限速：限制行驶速度v不得低于50 km/h； ②限制质量：装载总质量m不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5 m. 问题2.你能用数学式子表示上述关系吗？ 提示：①v≥50 km/h；②m≤10 t；③h≤3.5 m. 知识点一　不等式的定义 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式． 知识点二　实数大小比较 符号表示 a－b>0⇔a>b， a－b＝0⇔a＝b， a－b<0⇔a<b． [微提醒] 比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等． 知识点三　不等式的性质 性质1(可加性)　如果a>b，那么a＋c>b＋c． 性质2(可乘性)　如果a>b，c>0，那么ac>bc． 性质3(可乘性)　如果a>b，c<0，那么ac<bc． 性质4(传递性)　如果a>b，b>c，那么a>c． [微提醒] 如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？ 1．如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c. 2．如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中a＝c时必有a＝b且b＝c. 推论1(移项法则)　如果a＋b>c，那么a>c－b． 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． 推论2(同向可加性)　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 学生用书↓第44页 我们把a>b和c>d(或a<b和c<d)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式． [微提醒] 1．推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据． 2．同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c<d，则－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d. 推论3(同向同正可乘性)　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 推论4(可乘方性)　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1)． 推论5(可开方性)　如果a>b>0，那么>． [微提醒] 理解不等式的性质成立的前提以及是否具有可逆性是掌握性质的关键．例如： 1．推论3不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立； 2．除了性质1和推论1，其他性质及推论都不可逆． 知识点四　综合法、分析法与反证法 1．综合法 从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法． 2．分析法 从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法． 3．反证法 首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法． [微提醒] 综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法． 1．综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论． 2．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p⇐q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件． 1．已知P＝a2＋4a＋1，Q＝－b2＋2b－4，则(　　) A．P>Q B．P<Q C．P≥Q D．P≤Q 答案：C 解析：P－Q＝a2＋b2＋4a－2b＋5＝(a＋2)2＋(b－1)2≥0，所以P－Q≥0，即P≥Q，当且仅当a＝－2，b＝1时取等号．故选C. 2．(多选)对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是(　　) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d C．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则> 答案：AB 解析：若ac2>bc2，则a>b，故A正确；由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a＋c>b＋d，故B正确；令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，故C错误；令a＝－1，b＝－2，则<，故D错误．故选AB. 3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 答案：A 解析：因为－1<β<1，所以－1<－β<1.又因为－1<α<1，所以－2<α＋(－β)<2.又因为α<β，所以α－β<0，即－2<α－β<0.故选A. 4．用不等号“<”或“>”填空： (1)如果a>b，c>0，则d＋ac__________d＋bc； (2)如果a>b，c<0，则c(d－a)__________c(d－b)； (3)如果a>b，d>e，c<0，则d－ac__________e－bc. 答案：>　>　> 解析：(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，所以d＋ac>d＋bc. (2)因为a>b，所以－a<－b，所以d－a<d－b，因为c<0，所以c(d－a)>c(d－b)． (3)因为a>b，c<0，所以ac<bc，所以－ac>－bc，因为d>e，所以d－ac>e－bc. 5．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤， ①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立． ②所以一个三角形中不能有两个直角． ③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 其正确顺序为________． 答案：③①② 解析：用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②. 学生用书↓第45页 题型一　比较大小 例1　比较(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大小． 点拨：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系，可以得出它们的大小关系． 解：因为(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0， 所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)． 用作差法比较两个实数大小的四步曲 [注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判号”是目的，“变形”是关键． 对点练1.设x＝2a(a＋2)，y＝(a－1)(a＋3)，则有(　　) A．x>y B．x≥y C．x<y D．x≤y 答案：A 解析：设x＝2a(a＋2)，y＝(a－1)(a＋3)，则x－y＝2a(a＋2)－(a－1)(a＋3)＝a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>0，所以x>y.故选A. 题型二　不等式的性质 例2　对于实数a，b，c，有下列说法： ①若a>b，则ac<bc； ②若ac2>bc2，则a>b； ③若a<b<0，则a2>ab>b2； ④若c>a>b>0，则>； ⑤若a>b，>，则a>0，b<0. 其中正确的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 点拨：分析条件→利用不等式性质逐一判断 答案：C 解析：对于①，令c＝0，则有ac＝bc.①错误．对于②，由ac2>bc2，知c≠0，由c2>0⇒a>b.②正确；对于③，由a<b<0，两边同乘以a得a2>ab.两边同乘以b得ab>b2.所以a2>ab>b2.③正确；对于④，⇒0<c－a<c－b⇒⇒>.④正确；对于⑤，⇒⇒a>0，b<0.⑤正确．故选C. 1．首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质． 2．解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 对点练2.(1)已知m<0<n，则下列说法中一定正确的是(　　) A．m2>n2 B．< C．mn>m2 D．< (2)下列说法正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则a－c>b－d B．若ac>bc，则a>b C．若a>b>0，则a＋>b＋ D．若a，b∈R，则≥ab 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)对于A，若m＝－1，n＝2，则m2＝1，n2＝4，此时m2<n2，故A错误；对于B，由m<0<n，得<0<，故B正确；对于C，由m<0<n，得m·m>0>m·n，即mn<m2，故C错误；对于D，若m＝－4，n＝1，则＝＝2，＝1，此时>，故D错误．故选B. (2)对于A，令a＝8，b＝2，c＝7，d＝－1，此时a－c＝1，b－d＝3，显然a－c>b－d不成立；对于B，当c<0时，a<b，显然a>b不成立；对于C，因为a>b>0，所以a＋－b－＝(a－b)＋＝(a－b)(1＋)>0，所以a＋>b＋，显然成立；对于D，当a＝b＝－1时，显然≥ab不成立，故选C. 题型三　利用不等式性质求范围 例3　已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围： (1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b. 点拨：运用不等式性质研究代数式的取值范围，关键是把握不等号的方向． 解析：(1)|a|＝{|a||0≤|a|≤3}． (2)－1<a＋b<5. (3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1， 相加得－4<a－b≤2. (4)由－2<a≤3，得－4<2a≤6.　① 由1≤b<2，得－6<－3b≤－3.　② 由①＋②，得－10<2a－3b≤3. 学生用书↓第46页 利用不等式性质求范围的一般思路 1．借助性质，转化为同向不等式相加进行解答． 2．借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件． 3．结合不等式的传递性进行求解． 对点练3.已知1<a<4，2<b<8，试求a－b与的取值范围． 解：因为1<a<4，2<b<8， 所以－8<－b<－2. 所以1－8<a－b<4－2， 即－7<a－b<2. 又因为<<， 所以<<＝2，即<<2. 故a－b的取值范围为(－7，2)， 的取值范围为. 题型四　证明不等式 例4　若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 点拨：不等式的证明方法有很多，比较法(作差比较法或作商比较法)、综合法、分析法、反证法． 证明：　证法一　－ ＝ ＝ ＝. 因为a>b>0，c<d<0， 所以a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0. 所以(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0. 因为e<0， 所以e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0. 又(a－c)2(b－d)2>0，所以－>0， 即>. 证法二　＝. 因为c<d<0，所以－c>－d>0. 因为a>b>0，所以a－c>b－d>0， 所以(a－c)2>(b－d)2>0. 所以0<<1，所以0<<1. 又<0，所以>. 证法三　⇒a－c>b－d>0⇒ ⇒>. 1．简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证． 2．对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明． 对点练4.(新课标全国卷Ⅱ节选)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d.证明：若ab>cd，则＋>＋. 证明：　由题设知ab>cd>0，则>. 又a＋b＝c＋d， 则(＋)2－(＋)2＝(a＋b＋2)－(c＋d＋2)＝2(－)>0，即(＋)2>(＋)2. 而＋>0，＋>0，故＋>＋. 1．某高速公路要求行驶车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m 答案：A 解析：v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m．故选A. 2．已知a1，a2∈{x|0<x<1}，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．不确定 答案：B 解析：由题意得0<a1<1，0<a2<1，所以M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)>0，故M>N.故选B. 3．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．a>b⇒ac2>bc2 B．>⇒a>b C．⇒> D．a>b>0⇒> 答案：C 解析：当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立；ab<0，a>b⇒<，即>，C成立；当a>b>0时，<，D不成立．故选C. 4．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围是________． 答案：－2<α－β<0 解析：由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1.所以－2<α－β<2，又α<β，所以α－β<0，所以－2<α－β<0. 课时测评11　不等式及其性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系(　　) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 答案：C 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思． 2．已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是(　　) A．t>s B．t≥s C．t<s D．t≤s 答案：D 解析：因为s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，所以t≤s.故选D. 3．若a，b，c∈R且a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．a2>b2 B．< C．a|c|>b|c| D．> 答案：D 解析：对于A，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a－b>0，a＋b正负不确定，所以A不正确；对于B，－＝，b－a<0，ab正负不确定，所以B不正确；对于C，c可能为0，所以有可能a|c|＝b|c|，所以C不正确；对于D，>⇔>0，所以D正确．故选D. 4．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．由a的取值确定 答案：C 解析：要证P＜Q，只需证P2＜Q2.只要证2a＋7＋2＜2a＋7＋2，只要证a2＋7a＜a2＋7a＋12，只要证0＜12.又因为0＜12成立，所以P＜Q成立，故选C. 5．(多选)(2024·广东深圳高一检测)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若ab≠0且a＜b，则＞ B．若0＜a＜1，则a3＜a C．若a＞b＞0，则＞ D．若c＜b＜a且ac＜0，则cb2＜ab2 答案：BC 解析：由于a＜b时，要使－＝＞0，必须ab＞0，故A不正确；当0＜a＜1时，则a3＜a，故B正确；若a＞b＞0，则－＝＝＞0，故C正确；当b＝0时，cb2＜ab2不成立，故D不正确．故选BC. 6．已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1__________ab＋2a.(填“>”“<”“≥”或“≤”) 答案：≥ 解析：因为a2＋b2＝a2＋(b)2≥ab，当且仅当a＝b时取等号；因为a2＋1≥2a，当且仅当a＝1时取等号；所以2a2＋b2＋1＝(a2＋b2)＋(a2＋1)≥ab＋2a，当且仅当a＝b＝1时取等号． 7．若实数x，y满足－1<x<2，－2≤y≤1，则y－x的取值范围是__________． 答案：(－4，2) 解析：－1<x<2可得－2<－x<1，又－2≤y≤1，所以y－x＝y＋(－x)∈(－4，2)． 8．下列命题中，正确的是__________． ①若a>b，c>d，则ac2>bd2；②若a<b，则<；③若a<b<0，则>；④若a>b>0，c>d>0，则>；⑤若a<b<0，c<d<0，则ac<bd. 答案：②③ 解析：①若a＝2，b＝1，c＝1，d＝－3，故①错，②若a<b，则<，故②正确；③若a<b<0，则>，故③正确；④若a＝c＝2，b＝d＝1，故④错误；⑤a＝c＝－2，b＝d＝－1，故⑤错误． 9．(10分)已知a∈R且a≠1，试比较与1＋a的大小． 解：因为－(1＋a)＝.可得 ①当a＝0时，＝1＋a； ②当a>1时，<0，所以<1＋a； ③当a<1且a≠0时，>0，所以>1＋a. 综上可知：当a＝0时，＝1＋a； 当a>1时，<1＋a； 当a<1且a≠0时，>1＋a. 10．(10分)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤. 证明：　－ ＝ ＝ ＝. 因为bc－ad≥0，bd>0， 所以≤0. 所以≤. 11．(5分)若角α，β满足－<α<0<β<，则α－β的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为角α， β满足－<α<0<β<，所以－<α<0，－<－β<0，所以－<α－β<0，所以α－β的取值范围为.故选B. 12．(5分)(开放题)能够说明“若a，b，m均为正数，则>”是假命题的一组整数a，b的值依次为__________． 答案：1，2(答案不唯一) 解析：因为当a，b，m均为正数时，≤⇔ab＋am≤ba＋bm⇔am≤bm⇔a≤b， 所以“若a，b，m均为正数，则>”是假命题的一组整数a，b的值依次为1，2(只要a、b为正整数且a≤b即可)．(答案不唯一)． 13．(10分)若x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：与至少有一个小于2. 证明：假设与都不小于2， 即≥2，≥2. 因为x＞0，y＞0，所以1＋y≥2x，1＋x≥2y， 两式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)． 所以x＋y≤2，这与已知中x＋y＞2矛盾． 所以假设不成立，原命题成立． 故与至少有一个小于2. 14．(5分)为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2 400 m2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2，月租费为x万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%. ①两类店面间数的建造方案为__________种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建造方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为__________万元． 答案：16　1 解析：①设蔬菜水果类店面m间，其中m∈N*，则2 400×80%≤28m＋20(80－m)≤2 400×85%解得，40≤m≤55，则两类店面间数的建造方案共有55－40＋1＝16种；②由题意可得：mx＋0.8(80－m)≥80×0.9x(40≤m≤55)，整理为关于m的一元一次不等式，可得(x－0.8)m－72x＋64≥0(40≤m≤55)，由题意可转化为关于m的一元一次不等式在40≤m≤55恒成立，所以(x－0.8)×40－72x＋64≥0，且(x－0.8)×55－72x＋64≥0，解得x≤1，故x的最大值为1万元． 15．(15分)(新定义)对于四个正数m，n，p，q，若满足mq<np，则称有序数对(m，n)是(p，q)的“下位序列”． (1)对于2，3，7，11，有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”吗？请简单说明理由；(5分) (2)设a，b，c，d均为正数，且(a，b)是(c，d)的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系．(10分) 解：(1)有序数对(3，11)是(2，7)的“下位序列”． 因为3×7<11×2， 所以(3，11)是(2，7)的“下位序列”． (2)因为(a，b)是(c，d)的“下位序列”，所以ad<bc， 因为a，b，c，d均为正数， 所以－＝>0，即－>0，所以>， 又－＝<0，所以<. 综上所述，<<. 学生用书↓第47页 学科网（北京）股份有限公司 $$