第一章 集合与常用逻辑用语 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教B版2019）

章末综合提升 探究点一　集合的基本概念 例1　已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　) A．1 B．3 C．5 D．9 答案：C 解析：①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1；③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0.综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个．故选C. 解决集合的概念问题应关注两点 1．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么． 2．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性． 对点练1.已知集合M＝{a，|a|，a－2}．若2∈M，则实数a的值为(　　) A．－2 B．±2 C．2或4 D．±2或4 答案：A 解析：由2∈M得a＝2或|a|＝2或a－2＝2，解得a＝±2或4，又由集合中元素的互异性，经检验得a＝－2.故选A. 探究点二　集合间的基本关系 例2　(1)设全集U＝{x||x|<4，且x∈Z}，S＝{－2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有(　　) A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 (2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________________________________________________________________________． 答案：(1)D　(2){m|m≤4} 解析：(1)易知U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，因为∁U(∁UP)＝P，所以存在一个∁UP，则有一个相应的P.由于S＝{－2，1，3}，且(∁UP)⊆S，则集合S的子集∁UP共有8个，所以集合P也有8个． (2)当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图． 则解得2<m≤4.综上，m的取值范围为{m|m≤4}． 处理集合间关系问题的关键点 1．判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素． 学生用书↓第30页 2．利用集合间的关系求参数的取值范围要注意数形结合与分类讨论思想的活用． 对点练2.已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为____________． 答案： 解析：因为a<1，所以2a<a＋1，所以B≠∅.画数轴如图所示． 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1，解得a<－2或a≥.由已知a<1，所以a<－2或≤a<1，故a的取值范围是. 探究点三　集合的基本运算 例3　(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩(∁RB)＝ C．A∪B＝ D．(∁RA)∪B＝R 答案：AB 解析：因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝，所以A∩B＝，A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝.故选AB. 集合基本运算的方法 1．定义法或维恩图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在维恩图中表示出来，借助维恩图观察求解． 2．数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解． 对点练3.已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R. (1)A∩M＝________； (2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________． 答案：(1){x|－3<x<5}　(2){b|－2≤b<－1} 解析：(1)因为A＝{x|－3<x≤6}，M＝{x|－4≤x<5}，所以A∩M＝{x|－3<x<5}． (2)因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B＝{x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R，所以解得－2≤b<－1.所以实数b的取值范围是{b|－2≤b<－1}． 探究点四　集合中的新定义问题 例4　若集合A具有以下性质： (1)0∈A，1∈A； (2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A. 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) ①集合B＝{－1，0，1}是“好集”； ②有理数集Q是“好集”； ③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A.故选C. 解决以集合为背景的新定义问题的两个关键点 1．紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合难点问题的关键所在． 2．用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质． 对点练4.(多选)当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合相交．对于集合M＝{x|ax2－1＝0，a>0}，N＝，若M与N相交，则a的值可能为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：AD 解析：依题意得M＝，显然集合M，N都含有两个元素，由两个集合相交的定义可得集合M，N恰有一个公共元素，则＝或＝1，解得a＝4或a＝1.故选AD. 探究点五　充分条件与必要条件 例5　(1)设a∈R，则“a＝1”是“a2＝a”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}，且q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________． 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由a2＝a得a＝1或a＝0，反之，由a＝1得a2＝a，则“a＝1”是“a2＝a”的充分不必要条件．故选A. (2)因为q是p的充分不必要条件，所以BA，所以或解得a≤－4或－≤a<0，所以实数a的取值范围为. 判定充分条件与必要条件的常用方法 1．利用定义：判断若p，则q的真假． 2．利用集合间的包含关系判断． 学生用书↓第31页 对点练5.已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|－1<x<m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． 解：(1)由题意可得AB，所以m＋1>3，即m>2. 所以实数m的取值范围为{m|m>2}． (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件， 所以A＝B. 所以m＋1＝3，即m＝2.即实数m的值为2. 探究点六　全称量词与存在量词 例6　(1)命题“∀m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根”的否定为(　　) A．∀m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根 B．∃m∈R，方程x2＋x－m＝0没有实数根 C．∃m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根 D．∀m∉R，方程x2＋x－m＝0没有实数根 (2)(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是(　　) A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0 B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除 C．∃x∈R，|x|<0 D．有些自然数是偶数 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)易知原命题的否定是“∃m∈R，方程x2＋x－m＝0有实数根”．故选C. (2)A中，x＝－1时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD. 1．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．对含有量词命题进行否定：一是改写量词，二是对结论进行否定． 2．根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．解题过程中要注意变量取值范围的限制． 对点练6.若对∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，求实数a的取值范围． 解：设集合A＝{x|－2<x<4}， B＝{x|1－a<x<3a＋1}， 由题意知，A⊆B， 则有解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}. (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A．{－2，－1，0，1} B．{0，1，2} C．{－2} D．{2} 答案：C 解析：法一：因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≤－2，或x≥3}，而M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}．故选C. 法二：因为M＝{－2，－1，0，1，2}，将－2，－1，0，1，2代入不等式x2－x－6≥0，只有－2使不等式成立，所以M∩N＝{－2}．故选C. (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 答案：B 解析：因为A⊆B，则a－2＝0或2a－2＝0，即a＝2或1，若a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意；综上所述，a＝1.故选B. (2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 答案：A 解析：因为整数集U＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. (2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x<1}，N＝{x|－1<x<2}，则{x|x≥2}＝(　　) A．∁U(M∪N) B．N∪∁UM C．∁U(M∩N) D．M∪∁UN 答案：A 解析：由题意可得M∪N＝{x|x<2}，则∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，选项A正确；∁UM＝{x|x≥1}，则N∪∁UM＝{x|x>－1}，选项B错误；M∩N＝{x|－1<x<1}，则∁U(M∩N)＝{x|x≤－1，或x≥1}，选项C错误；∁UN＝{x|x≤－1，或x≥2}，则M∪∁UN＝{x|x<1，或x≥2}，选项D错误．故选A. (2022·天津卷)“x为整数”是“2x＋1为整数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由题意得，若x为整数，则2x＋1为整数，因此充分性成立；当x＝时，2x＋1为整数，但x不为整数，因此必要性不成立；所以“x为整数”是“2x＋1为整数”的充分不必要条件．故选A. (2021·天津卷)已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为a>6⇒a2>36，所以“a>6”是“a2>36”的充分条件．因为a2>36⇒a>6或a<－6，所以“a>6”不是“a2>36”的必要条件．故选A. 单元检测卷(一)　集合与常用逻辑用语 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合A＝{x|x2－3x＝0}，B＝{1，2，3}，则A∪B＝(　　) A．{3} B．{1，2，3} C．{0，2，3} D．{0，1，2，3} 答案：D 解析：因为A＝{x|x2－3x＝0}＝{0，3}，B＝{1，2，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}．故选D. 2．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件． 3．设命题p：∀n∈N，3n>n3，则命题p的否定为(　　) A．∃n∉N，3n>n3 B．∀n∈N，3n≤n3 C．∃n∈N，3n≤n3 D．∀n∉N，3n>n3 答案：C 解析：命题为全称量词命题，则命题的否定为∃n∈N，3n≤n3，故选C. 4．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2}，B＝{(x，y)|2x－y－1＝0}，则A∩B＝(　　) A．x＝1，y＝1 B．(1，1) C．{1，1} D．{(1，1)} 答案：D 解析：联立得 消去y得：2x－1＝x2， 即(x－1)2＝0， 解得x＝1，y＝1， 则A∩B＝{(1，1)}．故选D. 5．某中学计划面向高一学生开设“科技与创新”，“人文与阅读”两类选修课，为了解学生对这两类选修课的兴趣，对高一某班共46名学生调查发现，喜欢“科技与创新”类的学生有34名，喜欢“人文与阅读”类的学生有18名，两类均不喜欢的有6名，则只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有(　　) A．34名 B．22名 C．12名 D．6名 答案：B 解析：设两类均喜欢的有x名，则46－6＝34＋18－x，解得x＝12，故只喜欢“科技与创新”类选修课的学生有34－12＝22名．故选B. 6．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则实数a的取值范围为(　　) A．a≤－2 B．a≥2 C．a<－2 D．a>2 答案：D 解析：不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0⇒－a<x<－1.因当－2<x<－1时不等式成立，所以－2>－a，即a>2.故选D. 7．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p和q均为假命题，则实数m的取值范围为(　　) A．m≤－2 B．m≥2 C．m≤－2或m≥2 D．－2≤m≤2 答案：B 解析：因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题，解得m≥0，同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即∃∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题，所以Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2，综上：m≥2.故选B. 8．定义集合的商集运算为＝，已知集合S＝{4，6}，T＝，则集合∪T中的元素个数为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案：A 解析：因为T＝＝{1，2}，所以＝{2，3，4，6}，所以∪T＝{1，2，3，4，6}．所以集合∪T中元素的个数为5.故选A. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．下列命题正确的有(　　) A．∃x∈Z，1<4x<3 B．∃x∈Z，2x2－3x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋2x＋2>0 答案：BD 解析：A选项，由1<4x<3，得<x<，所以不存在x∈Z，使1<4x<3，故A错误；B选项，由2x2－3x＋1＝0得x＝或x＝1，1∈Z，故B正确；C选项，由x2－1＝0得x＝±1，所以只有当x＝±1时，x2－1＝0成立，故C错误；D选项，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0恒成立，故D正确．故选BD. 10．下列说法中正确的是(　　) A．“a＞1，b＞1”是“ab＞1”成立的充分条件 B．命题p：∀x∈R，x2＞0，则其否定：∃x∈R，x2＜0 C．命题“若a＞b＞0，则＜”的否定是假命题 D．“a＞b”是“a2＞b2”成立的充分不必要条件 答案：AC 解析：对于选项A，a＞1，b＞1时，易得ab＞1，故A正确；对于选项B，全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p：∀x∈R，x2＞0的否定：∃x∈R，x2≤0，故B错误；对于选项C，其否定为“若a＞b＞0，则≥”，当a＝2，b＝1时，显然为假命题，故C正确；对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选AC. 11．定义集合运算：A⊗B＝{z|z＝(x＋y)×(x－y)，x∈A，y∈B}，设A＝{，}，B＝{1，}，则(　　) A．当x＝，y＝时，z＝1 B．x可取两个值，y可取两个值，z＝(x＋y)×(x－y)对应4个式子 C．A⊗B中有4个元素 D．A⊗B的真子集有7个 答案：BD 解析：当x＝，y＝时，z＝(＋)×(－)＝0，故A错误；x可取，，y可取1，，则z可取(＋1)×(－1)＝1，(＋)×(－)＝0，(＋1)×(－1)＝2，(＋)×(－)＝1四个式子，选项B正确；A⊗B＝{0，1，2}，共3个元素，选项C错误；A⊗B的真子集有23－1＝7(个)，选项D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分，将答案填在题中的横线上．) 12．已知p：x>2，q：x>m，若p的一个充分不必要条件是q，则实数m的取值范围是________． 答案：{m|m>2} 解析：由题意，设p对应的集合为P＝{x|x>2}，q对应的集合为Q＝{x|x>m}，则QP，可知m>2. 13．若集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，则a的值为________；若A的真子集的个数是3个，则a的取值范围是________________．(本题第一空2分，第二空3分) 答案：0或　 解析：由集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0}中只含有一个元素，易知a＝0或解得a＝0或a＝.若A的真子集个数是3个，则ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，所以解得a<0或0<a<.故a的取值范围是. 14．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“单独元”．给定A＝{1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“单独元”的集合共有__________个． 答案：13 解析：因为k∈A，k－1∉A且k＋1∉A，所以所求集合中满足题意的有{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，4，5}，{2，3，5}，{2，4，5}，{1，2，3，5}，{1，3，4，5}，共13个． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分13分)已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R. (1)求A∪B，(∁UA)∩B；(5分) (2)若A∩C≠∅，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)A∪B＝{x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6}＝{x|1<x≤8}，∁UA＝{x|x<2或x>8}，所以(∁UA)∩B＝{x|1<x<2}． (2)因为A∩C≠∅，所以a<8. 即实数a的取值范围为(－∞，8)． 16．(本小题满分15分)已知集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|p－2≤x≤3p＋1}． (1)若U＝R，求∁UA；(5分) (2)若命题“∃x∈A，x∈B”为假命题，求实数p的取值范围．(10分) 解：(1)因为A＝{x|－1<x≤2}， 所以∁UA＝{x|x≤－1或x>2}． (2)由命题“∃x∈A，x∈B”为假命题可知，命题“∀x∈A，x∉B”为真命题，所以A∩B＝∅. ①当B＝∅时，p－2>3p＋1， 解得p<－，符合题意； ②当B≠∅时，需满足或解得－≤p≤－或p>4. 综上所述，实数p的取值范围是. 17．(本小题满分15分)在①B⊆(∁RA)，②(∁RA)∪B＝R，③A∩B＝B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，是否存在实数a，使得________？ 若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：选条件①. 由A＝{x|1<x<4}，得∁RA＝{x|x≤1或x≥4}． 当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2，符合题意； 当B≠∅时，由B⊆(∁RA)， 得或解得a≥3. 综上，存在实数a，使得B⊆(∁RA)，且实数a的取值范围为{a|a≤2，或a≥3}． 选条件②. 由A＝{x|1<x<4}，得∁RA＝{x|x≤1，或x≥4}，由(∁RA)∪B＝R， 得无解． 所以不存在实数a，使得(∁RA)∪B＝R. 选条件③. 由A∩B＝B可知B⊆A. 当B＝∅时，a＋1≥2a－1，解得a≤2，符合题意； 当B≠∅时，需满足 解得2<a≤. 综上，存在实数a，使得A∩B＝B，且实数a的取值范围为. 18．(本小题满分17分)设A＝{x|x≤1或x≥4}，B＝{x|a－2<x<2a}． (1)若A∪B＝R，求实数a的取值范围；(7分) (2)设p：x∈A，q：x∈B，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．(10分) 解：(1)因为A∪B＝R，所以 解得2≤a≤3，故实数a的取值范围是2≤a≤3 . (2)依题意得BA， 当B＝∅时，a－2≥2a，解得a≤－2； 当B≠∅时，由解得－2<a≤或a≥6， 综上可得，实数a的取值范围是∪[6，＋∞)． 19．(本小题满分17分)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|2m<x<1}． (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；(7分) (2)若命题p：“B∩(∁RA)中只有一个整数”是真命题，求实数m的取值范围．(10分) 解：(1)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则B⊆A.由题知，A＝{x|－1≤x≤2}． ①当m<时，B＝{x|2m<x<1}，此时－1≤2m<1⇒－≤m<； ②当m≥时，B＝∅，有B⊆A成立． 综上所述，所求实数m的取值范围为. (2)因为A＝{x|－1≤x≤2}，所以∁RA＝{x|x<－1或x>2}． ①当m<时，B＝{x|2m<x<1}， 若(∁RA)∩B中只有一个整数， 则－3≤2m<－2，得－≤m<－1； ②当m≥时，B＝∅，(∁RA)∩B＝∅，不符合题意． 综上知，实数m的取值范围为. 学生用书↓第32页 学科网（北京）股份有限公司 $$