第五章 重点题型强化(五) 同三角函数的基本关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

1．掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型．　2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式，培养逻辑推理核心素养． 题型一　弦切互化求值 已知tan α＝－4，求下列各式的值： (1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α； (4). 解：(1)sin2α＝＝＝＝. (2)cos2α－sin2α＝＝＝＝－. (3)3sin αcos α＝＝＝＝－. (4)＝＝＝. 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 1．对于形如或 的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值． 2．对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值． 对点练1.已知＝－1，求下列各式的值： (1)tan α；(2)sin2α＋sin αcos α＋1. 解：(1)因为＝－1，所以＝－1，解得tan α＝1. (2)sin2α＋sin αcos α＋1＝ ＝ ＝＝＝2. 学生用书↓第141页 题型二　sin θ±cos θ型求值问题 已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值． 解：因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝，即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以sin θcos θ＝－，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ ＝ ＝＝. 已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题 一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 1．(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 2．(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ. 3．(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2. 4．(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 对点练2.已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值是(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为<α<，所以sin α>cos α，cos α－sin α<0.所以cos α－sin α＝－＝－＝－.故选B. 题型三　条件恒等式的证明 已知＋＝1，求证：＋＝1. 证明：设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)，则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n.由＋＝1，得＋＝1，即(m－n)2＝0，所以m＝n，所以＋＝＋＝1－n＋n＝1. 含有条件的三角恒等式证明的常用方法 1．直推法：从条件直推到结论． 2．代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． 3．换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数法即可完成证明． 对点练3.已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明：因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2.所以＋1＝2，整理得＝，即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1. 1．若tan α＝2，则的值为(　　) A．0 B． C．1 D． 答案：B 解析：＝＝.故选B. 2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　) A． B．－ C．－ D． 答案：C 解析：由题意得(sin α－cos α)2＝，即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，所以1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－.故选C. 3．若＝，则＝________． 答案：－ 解析：因为＝，所以＝＝＝＝－. 4．若2sin α＋cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α＝_____________________________ ___________________________________________. 答案：1 解析：因为2sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－， 原式＝＝＝＝1. 学生用书↓第142页 学科网（北京）股份有限公司 $$