5.6 第2课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) [学习目标]　1.会通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式．　2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，培养直观想象核心素养． 应用一　由图象确定函数的解析式 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． 解：法一：由图象知A＝3，T＝－＝π，所以ω＝＝2，所以y＝3sin(2x＋φ)，因为点在函数图象上，所以0＝3sin，所以－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)，因为|φ|<，所以φ＝.所以y＝3sin. 法二：由法一得A＝3，ω＝2.将最高点的坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3， 所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝. 所以y＝3sin. 法三：由图象知A＝3.因为图象过点和，所以解得 所以y＝3sin. 确定y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的步骤和方法 1．求A，确定函数的最值． 2．求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝. 3．求φ，常用的方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)； (2)特殊点法：确定φ的值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ；“最小值点”(即图象的“谷点”)时，ωx＋φ＝＋2kπ. 对点练1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，求f(x)的解析式． 解：由图象知f(x)min＝0，且f(x)max＝4，所以A＋B＝4，－A＋B＝0，A＝＝2，B＝＝2， 又T＝＝4＝π，知ω＝2. 又f＝4，得sin＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 则φ＝2kπ＋，k∈Z， 又|φ|<，所以φ＝， 故函数f(x)＝2sin＋2. 学生用书↓第179页 应用二　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性 在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个坐标是________． 答案： 解析：由4x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，所以函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)，取k＝1，得满足条件． [变式探究]　1.(变条件)将本例中“sin ”改为“cos ”，其他条件不变，结果如何？ 解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，取k＝0时，x＝－. 则所求对称中心为. 2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程． 解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，取k＝0时，x＝－满足题意， 故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－. 三角函数对称轴、对称中心的求法 对称轴 对称中心 y＝Asin (ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Acos(ωx＋φ) 令ωx＋φ＝kπ(k∈Z) 令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求对称中心横坐标 y＝Atan(ωx＋φ) 无 令ωx＋φ＝(k∈Z)求对称中心横坐标 对点练2.已知函数f(x)＝tan(x＋φ)的图象的一个对称中心为，则φ的值为________． 答案：－或 解析：由于是函数f(x)图象的对称中心，所以＋φ＝π，k∈Z，所以φ＝π－，k∈Z，由于|φ|<，故取k＝0，1，φ＝－，. 应用三　三角函数性质的综合问题 已知函数f(x)＝sin＋. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 解：(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)令sin＝－1，则2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， 所以当x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值，所以f(x)的最小值为，此时x的取值集合是{x|x＝－＋kπ，k∈Z}． 确定函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元法”整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间从而求出函数的单调区间． 对点练3.将曲线C1：y＝sin上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝g(x)，则g(x)在[－π，0]上的单调递增区间是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：将曲线C1：y＝sin上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2：y＝g(x)＝sin ＝sin＝sin＝cos.令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，可得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以g(x)在[－π，0]上的单调递增区间为.故选B. 应用四　匀速圆周运动的数学模型 如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间． (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点P第一次到达最高点需要多长时间？ 解：(1)如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数为＝. 又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m， 所以z＝4sin＋2. 当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－. 故所求的函数表达式为z＝4sin＋2. (2)令z＝4sin＋2＝6， 得sin＝1， 取t－＝，得t＝4. 故点P第一次到达最高点需要4 s. 学生用书↓第180页 匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系． 对点练4.一个风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(t)(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　) A．h(t)＝－6sin t＋6 B．h(t)＝－6cos t＋6 C．h(t)＝－6sin t＋8 D．h(t)＝－6cos t＋8 答案：D 解析：设h(t)＝Acos ωt＋B(A<0，ω>0)，因为每12 min旋转一周，所以＝12，所以ω＝.由题意得，h(t)的最大值与最小值分别为14，2，所以解得所以h(t)＝－6cos t＋8.故选D. 知识 (1)由图象求三角函数的解析式．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性．(3)三角函数性质的综合问题．(4)匀速圆周运动的数学模型 方法 特殊点、辅助角公式、数形结合 易错误区 求φ值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别 1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图，则(　　) A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 答案：C 解析：由题图可知，＝2，所以T＝8.又因为T＝，所以ω＝.因为在x＝1处取得最大值，所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0≤φ<2π，所以φ＝.故选C. 2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．函数g(x)为奇函数 B．函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z) C．函数g(x)为偶函数 D．函数g(x)的图象的对称轴为直线x＝kπ＋(k∈Z) 答案：B 解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象可知函数f(x)的周期为π、过点、最大值为3，所以A＝3，T＝＝π，ω＝2，f＝3sin＝3，φ＝－＋2kπ，所以取k＝0时，函数f(x)的解析式为f(x)＝3sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得g(x)＝3sin＝3sin，故g(x)无奇偶性，当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，即x∈时，函数g(x)单调递增．当2x＋＝＋kπ(k∈Z)时，x＝＋(k∈Z)即为函数g(x)的对称轴．故选B. 3．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称 D．y＝f(x)的图象关于点对称 答案：D 解析：函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cos x的图象，f(x)＝cos x为偶函数，周期为2π，所以A，B错误；又因为f＝cos ＝0，所以f(x)＝cos x的图象不关于直线x＝对称，所以C错误；又由f＝cos＝0，知f(x)＝cos x的图象关于点对称．故选D. 4．函数y＝2sin的对称轴方程是________． 答案：x＝＋(k∈Z) 解析：对于函数y＝2sin，令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)． 课时测评56　函数y＝Asin(ωx＋φ)(二) (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．设点P是函数f(x)＝sin ωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　) A．2π B．π C． D． 答案：B 解析：观察正弦函数图象可知，对称中心与对称轴最近距离为T.由题意得T＝，所以T＝π.故选B. 2．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 答案：D 解析：依题意得T＝＝4×＝π，所以ω＝2.又sin＝sin＝1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ，k∈Z，由|φ|<，得φ＝－.故选D. 3．将函数f(x)＝3sin＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)(　　) A．最大值为3 B．最小正周期为2π C．为奇函数 D．图象关于y轴对称 答案：D 解析：将函数f(x)＝3sin＋1(x∈R)的图象向右平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝3sin ＋1＝3sin＋1＝1－3cos 2x，且定义域为R，可得g(x)的最大值为4，故A错误；g(x)的最小正周期T＝π，故B错误；g(－x)＝1－3cos(－2x)＝1－3cos 2x＝g(x)，为偶函数，故C错误，D正确．故选D. 4．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 答案：C 解析：设y＝sin(ωt＋φ)，因为秒针是顺时针旋转，所以角速度ω<0.又由每60秒转一周，所以ω＝－＝－(弧度/秒)，由P0，得cos φ＝，sin φ＝，解得φ＝.故选C. 5．(多选)已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　) A．A＝1 B．A＝2 C．ω＝ D．ω＝ 答案：BC 解析：由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝cos ωx，即＝1，A＝2.过原点的图象对应的函数解析式为f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝＝1.5×4，可得ω＝. 6．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．函数f(x)在区间上单调递增 C．将f(x)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数 D．f(x)＝－f 答案：BD 解析：由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，知A＝2，＝－＝，得T＝π，所以ω＝＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)．又f＝0，所以2×＋φ＝0，解得φ＝，所以f(x)＝2sin.由f(0)＝2sin ＝，故A错误；当x∈时，2x＋∈，函数f(x)＝2sin单调递增，故B正确；将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝f＝2sin，该函数不是偶函数，故C错误；－f＝－2sin ＝－2sin＝2sin＝2sin＝f(x)，故D正确．故选BD. 7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________． 答案： 解析：由题意设函数周期为T，则＝－＝，所以T＝.所以ω＝＝. 8．已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值为________． 答案：－ 解析：由题意可得sin＝±1，故＋φ＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为－<φ<，所以k＝0，φ＝－. 9．已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)．若g＝，则f的值为________． 答案： 解析：因为f(x)的最小正周期为π，所以＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝Asin 2x.将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)＝Asin x．因为g＝，所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝2sin＝2sin ＝2×＝. 10．(10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示． (1)求出函数f(x)的解析式；(4分) (2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求出函数y＝g(x)的单调递增区间及对称中心．(6分) 解：(1)由图象得解得 又＝2π，所以T＝4π，所以ω＝＝， 由f＝6，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 即φ＝＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝， 综上，f(x)＝4sin＋2. (2)根据题意可得g(x)＝4sin＋2， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z. 令2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－，k∈Z， 所以对称中心为，k∈Z. (11—13每小题5分，共15分) 11．已知函数f(x)＝2sin，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值为(　　) A． B．4 C．4π D．2 答案：B 解析：由题意知，g(x)＝2sin ＝2sin，其最大值为2，周期T＝＝4，作出其图象如图所示． 由图可知，|PQ|取到的最小值可能为|PQ1|，|PQ2|.因为|PQ1|＝＝2，|PQ2|＝4，2>4，所以|PQ|的最小值为4.故选B. 12．若函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在上有零点，则实数a的取值范围为(　　) A．[－，2] B． C．[－2，] D． 答案：A 解析：因为函数f(x)＝sin x＋cos x－2sin xcos x＋1－a在上有零点，所以方程a－1＝sin x＋cos x－2sin xcos x在上有解，设t＝sin x＋cos x＝sin，因为x∈，所以x＋∈，所以t∈[－，0]，因为t2＝1＋2sin xcos x，所以y＝sin x＋cos x－2sin xcos x＝t－t2＋1＝－＋，t∈[－，0]，当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－时，y取得最小值－－1，故可得－－1≤a－1≤1，所以－≤a≤2.故选A. 13．(新设问)同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上单调递增”的一个函数是________． 答案：y＝sin(答案不唯一) 解析：设y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，由①知T＝π＝，ω＝2，由②③知当x＝时，f(x)取最大值，故y＝Asin＝A，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，φ＝－＋2kπ，k∈Z，φ可取－，此时y＝Asin.故函数可为y＝sin. 14．(10分)(开放题)现给出以下三个条件：①f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；②f(x)的图象上的一个最低点为A；③f(0)＝1.请从上述三个条件中任选两个，补充到下面问题中的横线上，并解答该问题． 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，满足________，________． (1)求f(x)的解析式；(4分) (2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象．求函数y＝f(x)g(x)－1的单调递增区间．(6分) 注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)选择①②. 由已知得T＝＝2×＝π，所以ω＝2， 即f(x)＝2sin(2x＋φ)． 将A代入f(x)，得2sin＝－2， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. 选择①③. 由已知得T＝＝2×＝π，所以ω＝2. 从而f(x)＝2sin(2x＋φ)． 又f(0)＝2sin φ＝1，所以sin φ＝. 因为0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝2sin. 选择②③. 由f(0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝. 又0<φ<，所以φ＝， 将A代入f(x)，得2sin＝－2，即ω＋＝＋2kπ， 解得ω＝2＋3k，k∈Z， 又0<ω<5，所以ω＝2， 所以f(x)＝2sin. (2)由题知g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 2x， 所以y＝f(x)g(x)－1＝4sincos 2x－1＝2sin 2xcos 2x＋2cos22x－1＝sin 4x＋cos 4x＝2sin. 令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以函数y＝f(x)g(x)－1的单调递增区间为，k∈Z. 15．(5分)(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与f (x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列说法中正确的是(　　) A．函数f(x)在上单调递减 B．函数f(x)的最小正周期是π C．函数f(x)的图象向左平移个单位长度后关于直线x＝对称 D．若圆C的半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin 答案：BCD 解析：由图知点C的横坐标为，所以f(x)的最小正周期T＝2＝π，故B正确；所以ω＝＝2，又f ＝0，由“五点法”可得2·＋φ＝0，所以φ＝，因此f(x)＝Asin，由x∈，可得2x＋∈，所以函数f(x)在上不单调，故A错误；函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝Asin＝Acos 2x，对称轴为2x＝kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，故关于直线x＝对称，故C正确；若圆C的半径为，则A＝，所以A＝，函数f(x)的解析式为f(x)＝sin，故D正确．故选BCD. 16．(15分)已知函数f(x)＝sin－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴的两个相邻交点的距离为. (1)求函数f(x)的解析式；(5分) (2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调区间．(10分) 解：(1)f(x)＝sin－4sin2ωx＋2 ＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋2 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin， 因为＝，所以T＝π，所以T＝＝π， 解得ω＝1， 所以f(x)＝sin. (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象， 所以g(x)＝sin， 因为函数g(x)的图象经过点， 所以sin＝0， 即sin＝0， 所以2m－＝kπ，k∈Z，所以m＝π＋，k∈Z， 因为m>0，所以当k＝0时，m取得最小值， 此时，g(x)＝sin. 令－≤x≤，则≤2x＋≤， 当≤2x＋≤或≤2x＋≤， 即当－≤x≤－或≤x≤时，函数g(x)单调递增； 当≤2x＋≤，即－≤x≤时，函数g(x)单调递减， 所以g(x)在上的单调递增区间为，；单调递减区间为. 学生用书↓第181页 学科网（北京）股份有限公司 $$