5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版2019）

5．5　三角恒等变换 5．5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第1课时　两角差的余弦公式 [学习目标]　1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程，培养逻辑推理核心素养．　2.掌握两角差的余弦公式的应用，提升数学运算核心素养． 问题1.如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α－β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P. P1，A1，P点的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？ 提示：P1(cos α，sin α)，A1(cos β，sin β)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，AP＝A1P1. 问题2.利用AP与A1P1的关系及距离公式，你能得到cos(α－β)与单角α，β的三角函数关系吗？ 提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 两角差的余弦公式 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β 简记符号 C(α－β) 使用条件 α，β都是任意角 [微提醒]　(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． 求下列各式的值： (1)cos 15°； (2)cos cos ＋cos sin ； (3)cos 105°＋sin 105°. 解：(1)cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝. (2)原式＝cos cos ＋cossin ＝cos cos ＋sin sin ＝cos＝cos ＝. (3)原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 两角差的余弦公式常见题型及解法 1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解． 2．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解． 3．求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． 对点练1.求下列各式的值： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)·sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°； (3)sin ＋cos . 解：(1)原式＝cos [θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝. (3)原式＝2 ＝2 ＝2cos＝2cos ＝. 学生用书↓第162页 应用一　给值求值问题 (链教材P216例2)(1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值； (2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． 解：(1)因为sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，所以sin θ＝， 又θ是第二象限角，所以cos θ＝－. 因为sin＝cos φ＝－，且φ为第三象限角，所以sin φ＝－， 所以cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝×＋×＝. (2)因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝. 又因为cos α＝，所以sin α＝. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 给值求值的解题策略 1．已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． 2．由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：(1)α＝(α－β)＋β；(2)α＝＋；(3)2α＝(α＋β)＋(α－β)；(4)2β＝(α＋β)－(α－β)． 对点练2.已知sin＝－，且π＜α＜π，求cos α的值． 解：因为＜α＜π，所以π＜α＋＜2π，所以cos＞0，所以cos＝＝＝，所以cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝－. 应用二　给值求角问题 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值． 解：由cos α＝，0<α<，得sin α＝＝＝. 由0<β<α<，得0<α－β<. 又因为cos(α－β)＝， 所以sin(α－β)＝＝＝. 因为β＝α－(α－β)， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝. 因为0<β<，所以β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 第一步：确定角的范围，根据条件确定所求角的范围； 第二步：求所求角的某个三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； 第三步：结合三角函数值及角的范围求角． [提醒]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． 对点练3.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α<β，求α＋β. 解：因为cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α<β， 所以α－β∈，2α∈(0，π)，所以sin(α－β)＝－，sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝×＋×＝－，因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 知识 (1)两角差的余弦公式的推导．(2)给角求值、给值求值、给值求角 方法 构造法 易错误区 求角时忽视角的范围 学生用书↓第163页 1．cos 20°＝(　　) A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30° 答案：B 解析：cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°.故选B. 2．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 解析：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝.故选B. 3．已知cos α＝，α∈，则cos＝________． 答案： 解析：由cos α＝，α∈，得sin α＝－＝－＝－.因为cos＝cos αcos＋sin αsin＝×＋×＝. 4．已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________． 答案： 解析：因为α，β均为锐角，所以cos α＝，cos β＝.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.又因为sin α>sin β，所以0<β<α<，所以0<α－β<.故α－β＝. 课时测评50　两角差的余弦公式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos·cos(x－y)的结果为(　　) A．sin 2x B．cos 2x C．－cos 2x D．－cos 2y 答案：D 解析：原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y.故选D. 2．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：A 解析：因为α∈，所以sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝×＋×＝－.故选A. 3．设角θ的终边经过点(－3，4)，则cos等于(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：B 解析：因为角θ的终边经过点(－3，4)，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以cos＝cos θcos ＋sin θ sin ＝－×＋×＝.故选B. 4．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，所以sin α＝，sin(α＋β)＝，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.故选A. 5．(多选)下列各式化简正确的是(　　) A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60° B．cos 15°＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° C．sin(α＋45°)sin α＋cos(α＋45°)cos α＝cos 45° D．cos＝cos α＋sin α 答案：ABC 解析：根据两角差的余弦公式可知A、B、C都是正确的；而对于D，cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝cos α＋sin α，故D错误．故选ABC. 6．(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝－ C．β－α＝ D．β－α＝－ 答案：AC 解析：由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，所以－2cos(β－α)＝－1，所以cos(β－α)＝，所以A正确，B错误；因为sin γ＝sin β－sin α＞0，所以β＞α，所以β－α＝，所以C正确，D错误．故选AC. 7．已知cos＝cos α，则tan α＝________． 答案： 解析：cos＝cos αcos＋sin αsin＝cos α＋sin α＝cos α，所以sin α＝cos α，所以＝，即tan α＝. 8．在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是________． 答案： 解析：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，A>B，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝，所以sin(A－B)＝＝. 9．求值：＝________． 答案： 解析：原式＝ ＝ ＝＝cos 15°＝cos(60°－45°) ＝. 10．(10分)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点． (1)如图A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；(4分) (2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．(6分) 解：(1)因为OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，， 所以sin α＝，sin β＝， 又因为α为锐角，所以cos α＝＝. (2)因为β为钝角，所以由(1)知cos β＝－＝－， 所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝. (11—13每小题5分，共15分) 11．(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　) A．－ B．－ C． D. 答案：AC 解析：对比公式特征知，cos＝cos(x＋φ)，所以φ＝－＋2kπ，故φ＝－，都合适．故选AC. 12．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 答案：C 解析：cos x＋cos＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝＝cos＝－1.故选C. 13．已知0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝________． 答案： 解析：由题设得<＋α<，<－<，所以sin＝，sin＝，所以cos＝cos＝coscos＋sin·sin＝×＋×＝. 14．(10分)已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，求β. 解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π， 因为cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝＝，sin(α＋β)＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝， 由于β为锐角，所以β＝. 15．(5分)在△ABC中，有关系式tan A＝成立，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．A＝60°的三角形 C．等腰三角形或A＝60°的三角形 D．不能确定 答案：B 解析：因为tan A＝＝，所以sin C－sin B≠0，C≠B，sin Asin C－sin Asin B＝cos Acos B－cos Acos C，所以cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos B＋sin Asin B，即cos(A－C)＝cos(A－B)，所以A－C＝A－B或A－C＋A－B＝0，所以C＝B(舍去)或A＝60°，所以△ABC为A＝60°的三角形．故选B. 16．(15分)已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(5分) (2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α－β)的值．(10分) 解：(1)因为函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝. (2)由(1)知f(x)＝2cos， 因为f＝－， 所以2cos＝2cos＝－， 所以sin α＝. 又因为f＝， 所以2cos＝2cos β＝， 所以cos β＝. 因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$