精品解析：四川省眉山市第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题

眉山一中2025届第五期10月质量检测试卷（数学） 命题人：王雅倩 审题人：罗海曦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到集合，求的值域得到集合，再求交集即可. 【详解】或， ， 故． 故选：C． 2. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据任意角的三角函数值再结合二倍角公式计算即可. 【详解】点是角终边上一点，则, 所以. 故选：B. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】展开式中含的项为， 所以的系数为， 故选：D 4. 在等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，令的公差为d， 则， 故选：D． 5. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（ ） A. 89.5 B. 90.5 C. 92.5 D. 94.5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得样本中心点的坐标，进一步得，由此即可预测求解. 【详解】由表中数据可知，， 所以，解得， 所以当宣传费用时，销售额y的估计值为. 故选：B. 6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件. 【详解】要在上单调递减， 则，解得， 在为增函数，则， 解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 【答案】C 【解析】 【分析】利用经验公式将数据代入构造方程组，再由对数运算法则可解得常数. 【详解】根据题意由可得， 两式相除可得，即可得， 两边同时取对数可得，即可得； 即. 故选：C 8. 已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据为偶函数，得出为奇函数，再根据已知式中对自变量赋值求出，周期即可求解. 【详解】依题意，因为为偶函数， 所以，所以， 所以为奇函数且， 因为， 令，则有， 解得， 因为， 所以，又 所以 由， 得，所以是以4为周期的周期函数， 所以， 由，得， 又，所以， 所以 所以是以4为周期的周期函数， 所以， 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于下列命题中，说法正确的是（ ） A. 已知，若，则 B. 数据的分位数为77 C. 已知，若，则 D. 某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人 【答案】CD 【解析】 【分析】对各个选项进行分析判断即可得出结论. 【详解】对于， ， ，解得，故A错误； 对于，将数据从小到大排序为， ， 分位数为第5个数，即78，故B错误； 对于， ，故C正确； 对于D，抽样比为， 高二应抽取人，则高三应抽取人，故D正确. 故选：CD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】由最值求，由周期求，结合特殊点的三角函数值求，进而可求函数解析式；将代入计算，得到最小值就可判断；利用奇函数的定义进行判断为奇函数即可判断；直接进行伸缩变化即可判断． 【详解】A．由图可得，，，解得， 又函数图象经过点，所以，即， 因为，所以，解得，故，故A正确； B．当时，，此时函数取得最小值， 图象关于直线对称，故B正确； C．是奇函数，故C错误； D．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍， 得到函数的图象，故D正确， 故选：ABD． 11. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，则．在平面直角坐标系中，我们把到两定点的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”．设“新椭圆”上任意一点设为，则（ ） A. 已知点，则 B. “新椭圆”关于轴，轴，原点对称 C. 的最大值为 D. “新椭圆”围成的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据曼哈顿两点间距离公式，可判定A错误；根据“新椭圆”的定义，求得其方程，画出“新椭圆”的图象，结合图象，可判定B、C正确；根据“新椭圆”的图象，结合三角形和矩形的面积公式，可判定D错误. 【详解】对于A中，因为，可得，所以A不正确； 对于B中，设“新椭圆”上任意一点为， 根据“新椭圆”的定义，可得，即， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得， 当时，可得；当时，可得； 当时，可得， 作出“新椭圆”的图象，如图所示， 可得“新椭圆”关于轴，轴，原点对称，所以B正确； 对于C中，由“新椭圆”的图象，可得的最大值为，所以C正确； 对于D中，设“新椭圆”的图象，围成的六边形为， 联立方程组，解得，所以，则， 根据“新椭圆”的对称性，可得： “新椭圆”围成的面积为 ，所以D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为____________． 【答案】114 【解析】 【分析】以第一棒完成人分类计数，当A完成第一棒时，最后一棒没有限制条件，从剩下5人中选2人， 再排中间三棒即可；当B完成第一棒时，最后一棒不能是AC完成，故最后一棒完成数为种，再排中间三棒即可． 【详解】当A完成第一棒时，有种不同的传递方案； 当B完成第一棒时，有种不同的传递方案． 故共有种不同的传递方案． 故答案为：114. 14. 设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数得出根，再应用指对数转化结合换元法得到，再利用导数求解其值域即可. 【详解】因为，所以，作出其图象如下图所示： 则由图知且, 满足，即， 故，令且， 则上式， 令，则，，故 在内单调递增，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角所对的边为，其中 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角转化，再逆用两角和的正弦公式、三角形内角和定理、正弦的诱导公式、特殊角的正弦值进行求解即可； （2）根据（1）的结论，运用余弦定理、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因此由， 因为，且三角形为锐角三角形，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知：， 由基本不等式可知： ，当且仅当时取等号， 面积为，即， 当且仅当该三角形为正三角形时取等号. 16. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，即可证明平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接、， 因为四边形为菱形， 所以是边长为的正三角形， 因为为中点，所以，， 又因为，平面，所以平面， 又平面， 所以， 又，，， 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为直线两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设平面一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 由题意知，是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． （1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． （2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值； （2）先借助分层抽样确定随机变量的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望. 【小问1详解】 24名学生中恰有3名通过测试的概率， 则，， 令，得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故的极大值点． 【小问2详解】 利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名， 则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名， 所以的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 ． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处切线方程； （2）当时，求的极值； （3）当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】（1） （2），无极小值 （3）当时有一个零点，当时无零点 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （3）依题意可得，令，则判断的零点个数，即判断的零点个数，利用导数说明的单调性，求出，再令，，利用导数说明的单调性，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减， 又， 所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问3详解】 令，即， 因为，所以， 令， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上可得当时有一个零点，当时无零点. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数，. 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． （2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 【答案】（1），，，，，，， （2）当时取得最大值，且 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设前项的公差为，由求出公差，从而得到，，再根据对称性得到其余项； （2）首先利用等差数列求和公式求出，则，再由二次函数的性质计算可得； （3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分、两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为， 所以，所以，， 又数列是项数为的对称数列， 所以，，，， 所以的项依次为，，，，，，，. 【小问2详解】 因为构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 又，，，， 所以， 所以当时取得最大值，且. 【小问3详解】 因为，，，，成为数列中的连续项，且该对称数列的项数为， 所以这样的对称数列有： ①，，，，，，，，，，； ②，，，，，，，，，，； 因为， 对于①，当时； 当时 ， 所以； 对于②，当时； 当时 ， 所以； 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解对称数列的定义，第三问关键是得到数列的两种形式，再分、两种情况分别求和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 眉山一中2025届第五期10月质量检测试卷（数学） 命题人：王雅倩 审题人：罗海曦 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 40 D. 80 4. 等差数列中，，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下： x（万元） 3 4 5 6 7 y（万元） 45 50 60 65 70 由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y估计值为（ ） A 89.5 B. 90.5 C. 92.5 D. 94.5 6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，，则该蓄电池的常数大约为（ ） A. 1.25 B. 1.75 C. 2.25 D. 2.55 8. 已知函数的定义域均为，为的导函数，且，若为偶函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于下列命题中，说法正确的是（ ） A. 已知，若，则 B. 数据的分位数为77 C. 已知，若，则 D. 某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人 10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 图象关于直线对称 C. 是偶函数 D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象 11. “曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”，即，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若，则．在平面直角坐标系中，我们把到两定点的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”．设“新椭圆”上任意一点设为，则（ ） A. 已知点，则 B. “新椭圆”关于轴，轴，原点对称 C. 的最大值为 D. “新椭圆”围成的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则复数________． 13. 杭州亚运会秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，本次亚运会火炬传递线路的筹划聚焦简约、规模适度．某路段的传递活动由A，B，C，D，E，F共六名火炬手分五棒完成，若第一棒火炬手只能从A，B中产生，最后一棒由两名火炬手共同完成，且A，C两名火炬手不能共同完成最后一棒，则不同的传递方案种数为____________． 14. 设函数，若方程有三个实数根,满足，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，内角所对的边为，其中 （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 16. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 素质教育是当今教育改革主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的． （1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为（），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为，求的极大值点． （2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为，求的分布列及数学期望． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）当时，判断零点个数，并说明理由． 19. 若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． （1）已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项． （2）已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ （3）对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$