假期必刷19 导数的应用(二)-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷１９　导数的应用(二)　　　　 １．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (１)分析实际问题中各量之间的关系,列出实 际问题的数学模型,写出实际问题中变量 之间的函数关系式y＝f(x)． (２)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)＝０． (３)比较函数在区间端点和f′(x)＝０的点的 函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值． (４)回归实际问题作答． ２．不等式问题 (１)证明不等式时,可构造函数,将问题转化为 函数的极值或最值问题． (２)求解不等式恒成立问题时,可以考虑将参 数分离出来,将参数范围问题转化为研究 新函数的值域问题． １．实际问题中的最值． (１)注意函数定义域的确定． (２)在实际问题中,如果函数在区间内只有一 个极值点,那么只要根据实际意义判定是 最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较． ２．判断方程根的个数时,可以利用数形结合思 想及函数的单调性． １．已知函数f(x)＝x３＋ax２＋(a＋６)x＋１有极 大值和极小值,则实数a的取值范围是 (　　) A．(－１,２)　　B．(－∞,－３)∪(６,＋∞) C．(－３,６) D．(－∞,－１)∪(２,＋∞) ２．已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与 年产量x(单位:万件)的函数关系式为y＝ －１３x ３＋８１x－２８６,则该生产厂家获取的最 大年利润为 (　　) A．３００万元 B．２５２万元 C．２００万元 D．１２８万元 ３．已知函数f(x)＝x２＋mx＋lnx 是单调递 增函数,则m 的取值范围是 (　　) A．m＞－２ ２ B．m≥－２ ２ C．m＜２ ２ D．m≤２ ２ ４．要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为２０cm,要 使其体积最大,则其高为 (　　) A．２０ ３３ cm B．１００cm C．２０cm D．２０３cm ５．已知f(x)为 R上的奇函数,f′(x)为f(x) 的导函数,若f(x)＝f(２－x)＋４x－４,则 f′(２０２５)＝ (　　) A．１ B．－２０２５ C．２ D．２０２５ ６．已知函数f(x)＝(x＋m)ex－n(lnx＋x)的 图象在点(１,f(１))处的切线方程为y＝(２e －２)x＋１－e,若不等式f(x)≥a恒成立, 则a的最大值为 (　　) A．１ B．－１ C．２ D．e ７．(多选)下列命题正确的是 (　　) A．函数在某区间上或定义域内的极大值是 唯一的 B．函数的极大值不一定比极小值小 C．对可导函数f(x),f′(x０)＝０是x０ 点为 极值点的充要条件． D．函数的最大值不一定是极大值,函数的 最小值也不一定是极小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 ８．(多选)若函数f(x)＝ax３＋bx２＋cx＋d有 极值,则导函数f′(x)的图象可能是 (　　) ９．在半径为r的半圆内作一内接梯形,使其下 底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积 最大时,梯形的上底长为　　　　． １０．已知f(x)＝x３－ax在[１,＋∞)上是增函 数,则a的最大值是　　　　． １１．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投 入运营,据市场分析,每辆客车营运的总利 润y(万元)与营运年数x(x∈N∗)满足y＝ －x２＋１２x－２５,则每辆客车营运　　　　 年,可使其营运年平均利润最大,最大利润 为　　　　万元． １２．设函数f(x)＝a２x２＋ax－３lnx＋１,其中 a＞０． (１)讨论f(x)的单调性; (２)若y＝f(x)的图象与x轴没有公共点, 求a的取值范围． １３．已知函数f(x)＝alnx(a＞０),e为自然对 数的底数． (１)过点A(２,f(２))的切线斜率为２,求实 数a的值; (２)当x＞０时,求证:f(x)≥a(１－１x ) ; (３)在区间(１,e)上e x a －e １ ax＜０恒成立,求 实数a的取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 １４．已知x＝－１,x＝２是函数f(x)＝－x ３ ３＋ ax２＋bx＋１的两个极值点． (１)求f(x)的解析式; (２)记g(x)＝f(x)－m,x∈[－２,４],若函 数g(x)有三个零点,求实数 m 的取值 范围． １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１６)已知函数f(x)＝ ex－ax－a３． (１)当a＝１时,求曲线y＝f(x)在点(１,f(１)) 处的切线方程; (２)若f(x)有极小值,且极小值小于０,求a 的取值范围． ２．(２０２４􀅰全国甲卷(文),２０)已知函数f(x) ＝a(x－１)－lnx＋１． (１)求f(x)的单调区间; (２)若a≤２时,证明:当x＞１时,f(x)＜ ex－１恒成立． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４５􀅰 飞曼快乐傲湖 c900-= 14.解：(1)若a=1,则f(x)=x2十x-lnx,x>0. f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为l.] ∴f(x)=2x+1-1=2x2+x-1=(2x-1Dx+1D 7.BD 8.ABC 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h=√2一x梯形面积 )在(,上单调递减，在（侵十上单递 S=(r+P-7剥S=2xr+r,令S=0得 2-x2 增m=(）-h-是+n2 (②)由已知释了)=2+u<0在[1,2]上恒成立 x=乞当x(0,)时，S>0,s单洞递增，当x∈ (位）时S<0.S单调递减.S在上=乞时取得最大 a<-2在[1,2]上恤成立.令gx)= x -2.x.x∈ 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为r, [1,2],则(x)=-三-2<0.∴g(x)在[1,2]单调道 答案：r 10.解析：f(x)=3.x2-a≥0在[1，十o∞)上恒成立， 减gm=g2)=子a<-子中宾数e的取 即u≤3.x2在[1，十∞)上恒成立，所以a≤3. 答案：3 雀范为(，一号引 11.解析：，总利润y(万元)与营运年数工之间的关系式为 y=-x2+12x-25, 高考冲浪 1.ACD[首先有f(x)=(x-1)2(.x-4). 年均利胸之=-一空+12=-(+空）十12 则f(x)=3(,x-1)(x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 (位-1+孕◆-1+学-0，得=5 为极小值点，故A正确； ,运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x, 答案：52 故f(x2)<f（x),故B错误； 12.解：(1)因为f(x)=a2x2+a.x-3lnx+1,所以定义域为 对于C有，当1<x<2时，得1<2x一13且f(1)=0, (0,十∞)， f(3)=一4.故-4<f(2x-1)<0,故C正确： 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2-x)> 所以f(.x)=2a2x+a- 3=2a2x2+a.x-3 f(x)成立，故D正确.] -(2ar+3)(a.x-1) 2.AD[求导得(x)=6x(xr-a),于是A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 有三个零，点：B错，a<0时x=0应为极小值，点：C错，任 因为a>0.x>0,所以2at+30. 何三次函数不存在对称轴：D正确，当a=2时∫(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 令f(x)>0→ax-1>0→a>1→x>1 假期必刷19导数的应用（二） f(x)单调递增 技能提升台技能提升 ()<0-101 1.B2.C3.B4.A 5.C[fx)=f(2-x)+4x-4.求导得f(x)=-(2-x)+ 因为>0，所以0<r≤寻x单调递浅。 4,即(x)十了(2一x)=4①.因为f(x)为R上的奇函 数，则f(-x)=一f(x),求导得(x)=f(一x),所以 蜂上)在(0，)上单调适减，在（日，+）单调递增 F(x)是R上的偶函数，所以f(2一x)=f(x一2)，结合 ①式可得，f(x)+f(x-2)=4,所以f(x一2)+f(x一4)= 2)由D得知)有最小值（日） 4,两式相减得∫(x)=了(x一4).所以了(x)是周期为4 的周期函数，所以f(2025)=f(1).由①式，令x=1,得 f(日)）=1+1-3na+1=3+3na, f(1)=2,所以f(2025)=f(1)=2.] 若f(x)的图象与x轴没有公共点，而3+3na>0, 6.A了)=(+m+lDe-n(位+H小>0.图为画 In a>-1,a>1 e 数f(x)=(x十m)e-n(lnx+x)的图象在点(1，f(1) 处的切线方程为y=(2e一2)x十1-e,所以 a的取植范国是（日十∞）】月 (f1)=(m十2)e-2n=2e-2解得{m=0·所以f(x) f1)=(m+1)e-n=e-1, {n=1, 181)解：fx)=兰了2)=号=2.解得a=4. =er-lnx-,则f)=(x+1De-子-1=(x+D (2)i证明：令gx)=a(x-1+）片 (e-）令g)=e->0.则g)=心+月 >0(x>0),所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增.又 8(合)=6-2<0，g1)=e-1>0,则存在∈ 即a()>0，解得>1 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十o∞)上单调递增： (21使得g()=0,即存在∈(2小使得 所以g)最小值为g1)=0.所以fx)≥a-士）月 广(xo)=0,则e=故0=ln-n,当0 (3)解：由题意可知e÷<中r,化简得二1<1nx,a> x0时，f(x)<0,当x>xo时，(x)>0,所以函数f(.x) 在(0，xn)上单调递减，在(xo,十oo)上单调递增，所以 lnx-(x-1). f(x)mim=f(xa)=xoe一lnxo一xo=L.又因为不等式 (In x)2 ·82· 三022 高二载学的 Inz-1+1 2.解：a)fx)=ax-1)-lnx+1,fx)=aL-⊥，x>0. 所以h'(x) x (In c)2 若4≤0，f(x)<0,f(x)的减区间为(0，十∞)无增区间： 由2知，在e,e0上.n-1+>0, 若a>0时，当0<r<时，f(x)<0,当>}时(x) a 所以h'(x)>0,即函数h(x)在(1，e)上单调递增， 所以h(.x)<h(e)=e-l.所以a≥e-1. >0,所以了(x)的减区间为(0，增区间 所以a的取值范国是[e一1，十o∞). 为（日+∞ 解：(1)周为f八x)三-5十ax2十br十1，所以广(.x) (2)因为a≤2，所以当x>1时，e-l一f(x)=e2-1-a(x 一x2+2ax十b,根据极值，点定义，方程f(x)=0的两个 -1)+lnx-1>e-1-2.x+lnx+1.令g(.x)=e1-2x 根即为x1=一1，x2=2. 因为f(x)=-x2+2ux十b,代入x1=-1,x2=2,可 +lnx+1,别g)=e1-2+令A()=g(,则 得/1-2a+b=0, )=c1-之()在1，十)上道增，N()> 1-4+4a+b=0. h'(1)=0,所以h(x)=g'(x)在(1，十o∞)上递增，g'(x)> 解得二立”经登运特合题意，所以了)=一日2十 g(1)=0,故g(x)在(1，+∞)上递增，g(x)>g(1)=0, （b=2. 即：当x>1时，f(x)<e1恒成立. r2+2x+1. 1 假期过关验收卷 1.C[由Sm+1=Sn十am+4得aa+1=S4+1-Sn=an十4， (2)根据题意得g(x)= 33 .数列{am}是以2为首项，4为公差的等差数列，.S20= 20×2+20X19×4=800.] 2+2r+1-mre[-240 2 2.C[因为点P(a,b)在圆C:x2+y2=1内，所以a2+2<1, 因为g(x)有三个零点，所以方 32 123456 设园心C(0,0)到直线ax+by=1的距离为d,则d= 程m=一名2+7+2x+1 1 >1,圆C:x2+y2=1的半径r=1,因为d>r,所 在区间[-一2,4们内有三个实数根， √a+b 到 以直线a.x十by=1与阀C的位置关系为相离.] 即画款)=-号2+2+ 2x十1的图象与直线y=m在区间[一2,4]内有三个 点.D[了=2Ym+当=1时f=2r)+ 交点 解得了0=-，故了)=-+总所以e e e 了(x)=-x2十x+十2，则令f(x)>0,解得-1<x<2:令 (x)<0,解得x>2或x<一1，所以函数f(x)在（一2， -0+-+1. e e 一1)，(2,4)上单调递减，在（一1,2）上单调递增。 又因为-)=-g2)-号(-2)=号，0 4.D[依题意超物线E的顶点垒标为(0，号)则抛物线 -号所以画载了)在[一2,4]内的大致图象加国 的预点到丛点F的距离为台-号十受少>0，解得力=： 于是得抛物线E的方程为x2=一8y十4，令y=0,得x= 所示. 士2，即抛物线E与x轴的交点为M(2,0),N(一2,0)，因 若使画教)=一子+2+2x十1的国象与直线 此，MF气B+(侵=号所以旷石落点的凝选处到 y一m在区间[-24们内有三个交点，则含使一言<m≤ 点F的距离为受] 5.B[a1·as+2ag·as+a2·a8=25,…a3+2a3·as十 高考冲浪 a3=25,即(a3十a5)2=25. 又因为an>0,as十as=5.q∈(0，l).∴aa>a5.又a3 1.解：(1)a=1,f(x)=e-x-1.切点(1，e-2),f(x)=e -1,k=f(1)=e-1 ·as=4,则4=4，a6=1,g=,期a1=16,0 所以要求的切线方程为y一(e一2)=(e一1)(.x-1).即y =25-0. =(e-1)x-1. (2)(x)=e-a,当a≤0时，f(.x)>0,f(.x)在R上单 六6，=5数到6的前n项和S,=”2则 调递增，此时无极值 .a>0,令f(x)=0,x=lna 9与”，则当m≤8时，三>0，当m=9时.三=0当n>9 2 f(x)在（一oo,lna)上单调递减，(lna,十c∞）上单调递增. …f(x)极小值=flna)=a-alna-a3<0, 时<0十受+…+受最大时m的值为8或8. ∴.1-lna-a2<0 6.C[设g(x)=e·f(x)-e(x∈R),则g(x)=e· (u)--g-Ia+l.(a)--2-1<0 f(x)+e·f(.x)-e=e[f(x)+f'(x)-1].f(x) >1-f(x)..f(x)+f(x)-1>0.g'(x)>0,.y= g(a)在(0，十o∞)单调递减，而g(1)=0. g(x)在定义域上单调递增，e2·f(x)>er+5.∴g(x) ∴g(a)<0=a>1 >5.又g(0)=e°·f(0)-e°=6-1=5，.g(x)> ∴.a的取值范园(1，十o). g(0),.x>0,不等式的解集为(0，十o∞).] ·83.