假期必刷18 导数的应用(一)-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

火曼快乐隧阴 c900= 且H'(x)=lnx十1，当x>1时，H'(x)>0,H(.x)单调 递增， 的切点 注意到H(e)=e,故roln zo=e存在唯一的实数根a= 即0=ln e,此时yo=1, +十，a=a2 故点A的坐标为A(e,1). 答案：ln2 答案：(e.1) 假期必刷18 导数的应用（一） 11.解析：依题意得，y|,-0=-5e5r|x-0=-5, 因此所求的切线方程是y一3=一5x, 技能提升台技能提升 1.D 即5.x+y-3=0. 答案：-55.x十y-3=0 2.B了（气是-由巴知得2二2： 12.解：(1)y=6.x3+2x2-3x-1. 1f(1)=a-b=0, .y'=18.x2+4x-3. 所以a=b=-2,即广(x)=- 2+2 (2):y=x-sin2cos乏=x—2sinx· 所以了②)=一号十层=一言故造&] iy-1-ton r. 3.D 4.B[(x)=3.x2-3,由(x)=0,得x=土1. (3):y= 1 2 1G+后金y= 2 (1-x)21 又因为f(-2)=-2.f(-1)=2. f(1)=-2,f(2)=2. 13.解：)y=xlnx(x>0),∴y=1nx+x·↓=lnx fmax()=2,fmin (r)=-2.] +1,∴.y=lnx十1(.x>0). 5.C[由f(.x)=x3+3ax2+b.x+a2,得f(x)=3.x2+6ax (2)由(1)得k=y1x=1=ln1+1=1. 十b.因为「(x)在x=一1处有极值0，所以 当x=1时y=0,切点为(1,0).切线方程为y一0= 1×(.x-1),即y=x-1. 》0中{61=0解得8或 1(-1)=0,1 13-64+b=0, 7 14.解：1)方程7x-4)-12=0可化为y=4x一3. 8当g时)=ar+i+3=3+1≥ 当1=2时y=2又f=4+点 0,则f(x)在R上单调递增，函数无极值，舍去. 当公6时，f)=3x+12x+9,◆f)=0,得 20-2,交解程8：故)=x—子 一1或x=一3，经检验x=一1和x=一3都为函数的极 于是 1b=3, a十4-4 雀点，除上，公8：所以了）-3+12+9-24] (2)设P(0y0)为曲线上任一点，由广(x)=1+3 A[国为n<兰+b长c∈[，]所以h< 十u≤xe',所以问题可转化为求直线y=hx十a的纵戴距 可得曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为 a的最小值.先考虑不等式右半边，设f(x)=xe,则 了)=e+1>0.所以)在x,受]上单调选 增，所以)在x[,]上的国象上回，所以直线 令x=0,得y= 6,从而得切线与直线x=0的交点坐 y=bx十a与f(x)的图象相切时，切，点横坐标越大，纵藏 标为0， 距想小，个切点精坐标为受则切点为（侵·受）切线 令y=x,得x=2to,从而得切线与直线y=x的交点坐 针本为号，切线方程为y=(停一号）下面考感不 标为(2x0,2ro), 所以曲线在点P(x0yo)处的切线与直线x=0,y=x所 等式法*边，对于y=e(侵一呈)当y=0时=品 国成的三角形西积为2-2x=6。】 <1,即这条切线与g(x)=xlnx的图象无交点.g'(x)= 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 血+1,8)的国象在（侵（侵）)处的切线斜奉为 所国成的三角形的面积为定值，此定值为6. 高考冲浪 血三+1，在1，g1)处的切线斜单为1，均小于直线) 1.A[f(x) =e+2cos)1+2)-（e+2sinr）·2L,所以f(0) e(侵一)的鲜华，所以可令直线y=c十0在 (1+x2)2 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 (侵26+)处与f()的图泉相交，在16十0处与 =3(x一0)，即3x一y十1=0，切线与两坐标轴的交点分 g(x)的图象相交，此时a取最小值，此时直线方程为y= 1 别为(01)，(30）小所以切线与两坐标轴所国成的三 一(.x-1)+0=3e(.x-1),我距为-3e.] 2.解析：由题知y=(e十x)'=e+1,当x=0时，切线斜率 7.BCD[由题可知f(x)的定义城为(0，十∞)，f()= k=2, 则切线方程为y=2x+1,y=[n(x+1)+a]'=中有 -6-2c=a心2-6一2c,由函数x)既有极大值也有 2.释x=-y=2x(号）十1=0=lh+1)+a 极小值，知f(x)在(0，十∞)上有两个不等实根，令h(x) =ax2-bx-2c,则h(.x)在(0，十o∞)上有两个不等实根， ·80· 三022 高二数学 b2+8ac>0, 十∞).令g(x)= y △>0， b0: (x-2)e-a(x+ 所以x1十r2>0,即 x1x2>0, 2c0. 2-0,得a一号 e.将函数g(x)= b2+8ac>0, (x-2)e-a(x+ y=a 所以ab>0, 所以b与a同号，c与a异号，故x<0,所 2)的零点问题，转 ac<0. 以A错误，B.C.D正确.故选BCD.] 化为直线y=a与西数f)-子国象的文点的楼 8.ACD[由二次函数的图象和性质可知A正确，B错误， 坐标问题.作出直线y=a与函数f(x)的大致图象，如图 因为函数y=2.x2一4.x+1在(2,4)上单调递增，并且x子 2,x≠4，所以无最大值、无最小值：对于C,了(x)=3.x2 所杀，当-2时>0因为-1》=二子 12=3(x十2)·(x-2),令了(.x)=0得x=2或x=-2, 所以x=2和x=-2是函数∫(x)在[-一3,3]上的两个极 =-3<0(2)= e -0所以当a是0]时 2+21 值点，且f(2)=-16,f(一2)=16，又f(x)在区间端点的 函数值为f(3)=一9，f(一3)=9，比较以上函数值，可得 直线a与南线了)=子文点的精坐标范围是 f(x)mmx=16,f(x)mim=一16，所以C正确.对于D,由C [-1,2].故函数g(x)的零点的取值范围是[-1,2]. 知，y=x3一12x在（一2,2）上单调递减，故在（一2,2）上无 答案：(-0，-2)，(-2，十∞)[-1,2] 最大值也无最小值，正确，门 12.解：因fx)=+knx 9.解析：由函数的解析式可得了(x)=a"In u+(1十a)r x 1n(1+a)≥0在区间(0，十o)上恒成立， ∫了(x)=二t--)+k=k红-1 na一在区间(0，十∞)上恒成立， 1若长0，则在[仁上恤有f)<0, In(1-+a) 故(H）=1≥-na两a+1ea2 In a 所以在[日]上单调递减， 故ln(1+a)>0, 所以f(x)n=f(e)=e+kne= +k-1 e 故nat)≥-lna·脚aa+1)≥l 10<a<1, 10<a<1, f)=f()=e-k-1. 5k<1 (2)若>0，由<得>e, e 结合超高可得实其口的取值花国是[， 答案5,1 所以在[日小上单满递戏。 10.解析：f(x)=x3+x2-5.x+2,f(x)=3.x2+2x-5, 由f四)=0，得x=-号或x=1. 所以fx)m=fe)=1e+k1nc=+k-1, 当x变化时，了(x),f(x)的变化情况如下表： f)=f(日)-e-k-1 5 5 3 1 (1.+∞) 蜂上降运，省时f)=十一1 f(r)mix-e-k-1. (x】 0 13.解：(1)f(.x)=3a.z2+2b.x-3. 229 f(x) 依题意f1)=/(-1D=0,即3a十2b-3=0, 27 13a-2b-3=0. 根据上表与右图知，当x= 时 y229 解得名所以)=-3 3 27 f/(x)=3.x2-3=3(x+1)(.x-1). 函数取得极大值且极大值为 令f(x)=0,得，x=一1或1. f(）器当x-1时画数取 229 若x∈(-∞，-1)U(1,十∞)，则f(.x)>0, 故f(x)在(-∞，一1)和(1.，十∞)上是增函数： 得极小值且极小值为f(1)=一1. 若x∈(-1,1)，则f(x)<0, 根据题意结合图形可知k的取值 故f(x)在(-1,1)上是减函数。 范围为(-1,27 229 所以，f(一1)=2是极大值：f(1)=一2是极小值. 229 (2)曲线方程为y=x3-3,点A(0,16)不在曲线上。 答案：-12 设切点为M(x0y%),到点M的坐标满足y0=x-3.xo 11.解析：易知f(x)的定义战为（一o∞，一2）U(-2,十6∞). 因f(x6)=3(x一1)， f(x)= +e-+引e 故切线的方程为y-y%=3(x品-1)(x一xa). 注意到点A(0,16)在切线上，有 +2.周为f(x)≥0在(-0，-2)U(-2,+)上 16-(.x8-3x0)=3(x号-1D(0-x0). 化简得x=一8，解得x0=一2. 恒成立，所以f(x)的单调递增区间为（一∞，一2），（一2， 所以，切.点为M(-2,-2),切线方程为9x一y十16=0. ·81· 火曼快乐隧阴 c900-= 14.解：(1)若a=1,则f(x)=x2十x-lnx,x>0. f(x)≥a恒成立，所以a≤1，所以a的最大值为l.] ∴f(x)=2x+1-1=2x2+x-1=2-1Dx+D 7.BD 8.ABC x 9.解析：设上底的一半为x,高为h,则h一√2一x梯形面积 f)在(，上单递减，在（侵十上单递 S=(r+P-7剥S=2x二r+r,令S=0得 2-x 增m=(）-h-是+n2 (②)由已加释了u)=2a+a<0在[1,2]上s成立， x=乞当xe(0,)时，S>0.s单洞递增，当r6 (位）时S<0,S单润递减.S在上=乞时取得最大 a≤-2x在[1,2]上恤成立.令g(x)=-2x,r∈ x 值所以梯形面积最大时，梯形的上底长为 [1,2],则g(x)=--2<0,g(x)在[1,2]单调道 答案：r 10.解析：f(x)=3.x2-a≥0在[1，十o∞)上恒成立， 减gnm=g2)=一子a≤-子即实数a的取 即a≤3.x2在[1，十∞)上恒成立，所以a≤3. 答案：3 范为(，一号引 11.解析：，总利润y(万元)与营运年数x之间的关系式为 y=-x2+12x-25, 高考冲浪 1,ACD[首先有f(x)=(x-1)2(.x-4), 年均利胸之=-一空+12=-(+空）十12 则f(x)=3(x-1)(x-3), 对于A有，x=3左右的两侧符号变化为由负到正，故其 (位-1+空◆-1+学=0，得x=5 为极小值点，故A正确： ,运营5年的年平均利润最大，最大利润为2万元 对于B有，当0<x<1时，函数单调递增且x2<x 答案：52 故f(x2)<f（x),故B错误； 12.解：(1)因为f(x)=a2x2十a.x-3lnx十1，所以定义域为 对于C有，当1<x<2时，得1<2x一13且f(1)=0, (0,十∞)， f(3)=-4.故-4<f(2x一1)<0，故C正确： 所以f(.x)=2a2x+a- 3=2a2x2+a.x-3 对于D有，当一1<x<0时，f(x)单调递增，f(2-x)> f(x)成立，故D正确.] -(2ax+3)(ax-1) 2.AD[求导得f(x)=6.x(x-a),于是A正确，当a>1 时，极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1一a3<0,所以必 有三个零，点：B错，a<0时x=0应为极小值，点：C错，任 因为a>0x>0,所以2at+30. 何三次函数不存在对称轴：D正确，当a=2时∫(x)= 2(x-1)3-6(x-1)-3,关于(1，-3)中心对称.] 令f(x)>0→ax-1>0→a>1→x>1 假期必刷19导数的应用（二） f(x)单调递增 技能提升台技能提升 ()0-101 1.B2.C3.B4.A 5.C[fx)=f(2-x)+4x-4.求导得f(x)=-(2-x)+ 因为>0，所以0<≤寻，x)单调递浅。 4,即(x)十了(2一x)=4①.因为「(x)为R上的奇函 数，则f(-x)=一f(x),求导得(x)=f(一x),所以 蜂上)在(0，)上单调适减，在（日，+）单调递增。 F(x)是R上的偶函数，所以f(2一x)=f(x一2)，结合 ①式可得，f(x)十(x-2)=4,所以子(x一2)+f(x一4)= (2)由D得知)有最小值（日） 4,两式相减得∫(x)=了(x一4)，所以了(x)是周期为4 的周期函数，所以f(2025)=f(1).由①式，令x=1,得 f(日）=1+1-3n是+1=3+3na. f(1)=2,所以f(2025)=f(1)=2.] 若f(x)的图象与x轴没有公共点，而3+3na>0, 6.A[了x)=(x+m+1De-n(仔+Hx>0以.因为函 In a>-1,a>1 e 数f(x)=(x十m)e-n(lnx+x)的图象在点(1，f(1) 处的切线方程为y=(2e一2)x+1-e,所以 a的取植范国是（日十∞）】月 (f1)=(m十2)e-2n=2e-2解得m=0·所以f(x) f(1)=(m+1)e-n=e-1, 1n=1, 181)解：f(x)=兰f2)=号=2.解得a=4. =e-lnx-,则f)=(x+1De-子-1=(x+D (2)i证明：令g)=ax-1+子） (e-）令g)=e->0.则g)=t+月 >0(x>0),所以函数g(x)在(0，十∞)上单调递增.又 g(侵)=E-2<0,g(1)=e-1>0,则存在m∈ 所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十0∞)上单调递增： (21使得g(x)=0,即存在∈（侵小使得 所以g)最小值为g1)=0.所以fx)≥a-士）H 了(xo)=0,则区=，故0=1nn0,当0 (3)解：由题意可知e÷<中r,化简得二1<1nx,a> x0时，f(x)<0,当x>xo时，(x)>0,所以函数f(x) 在(0，xn)上单调递减，在(xo,十oo)上单调递增，所以 In x-(-1).I f(x)mim=f(xa)=xoe一lnxo一xo=L.又因为不等式 (In .r)2 ·82·假期必刷１８　导数的应用(一)　　　　　　　　 １．函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)　　　　０,那 么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)　　　　０,那么函数y＝f(x)在这个 区间内单调递减． ２．函数的极值 (１)判断f(x０)是极值的方法． 一般地,当函数f(x)在点x０ 处连续时, ①如果在x０ 附近的左侧　　　　,右侧 　　　　,那么f(x０)是极大值; ②如果在x０ 附近的左侧　　　　,右侧 　　　　,那么f(x０)是极小值． (２)求可导函数极值的步骤． ①求f′(x); ②求方程　　　　的根; ③检查f′(x)在方程　　　　的根的左右两 侧导数值的符号．如果左正右负,那么f(x)在 这个根处取得　　　　;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得　　　　． ３．函数的最值 (１)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a, b]上必有最大值与最小值． (２)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则　　 　　为函数的最小值,　　　　为函数的 最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减, 则　　　　为函数的最大值,　　　　为 函数的最小值． (３)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可 导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值 的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的　　　　; ②将f(x)的各极值与　　　　进行比较, 其中最大的一个是最大值,最小的一个是 最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．＞　＜　２．(１)①f′(x)＞０　f′(x)＜０ ②f′(x)＜０　f′(x)＞０　(２)②f′(x)＝０　 ③f′(x)＝０　极大值　极小值　３．(２)f(a) f(b)　f(a)　f(b)　(３)①极值　②f(a),f(b) １．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况, 是在局部对函数值进行的比较;函数的最值表 示函数在一个区间上的情况,是对函数在整个 区间上的函数值进行的比较． ２．f′(x)＞０在(a,b)上成立是f(x)在(a,b)上 单调递增的充分不必要条件． ３．对于可导函数f(x),f′(x０)＝０ 是函数 f(x)在 x＝x０ 处 有 极 值 的 必 要 不 充 分 条件． １．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图 所示,则函数y＝f(x)的图象可能是 (　　) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９４􀅰 ２．当x＝１时,函数f(x)＝alnx＋bx 取得最大 值－２,则f′(２)＝ (　　) A．－１ B．－１２ C．１２ D．１ ３．函数f(x)＝xlnx的单调递减区间是 (　　) A．(－∞,０) B．(１e ,＋∞ ) C．(－∞,１e ) D．(０ ,１ e ) ４．函数f(x)＝x３－３x在闭区间[－２,２]上的 最大值和最小值分别是 (　　) A．１,－１ B．２,－２ C．４,－１４ D．４,－４ ５．已知函数f(x)＝x３＋３ax２＋bx＋a２ 在x＝ －１处有极值０,则f′(１)＝ (　　) A．６ B．１２ C．２４ D．１２或２４ ６．若不等式lnx≤ax＋b≤e x(a,b∈R)对任意 的x∈ １,３２ é ë êê ù û úú恒成立,则a的最小值为 (　　) A．－３e ３ ２ B．－５２e ３ ２ C．３２ln ３ ２ D．３e－３ln ３ ２ ７．(多选)若函数f(x)＝alnx＋bx＋ c x２ (a≠０) 既有极大值也有极小值,则 (　　) A．bc＞０ B．ab＞０ C．b２＋８ac＞０ D．ac＜０ ８．(多选)给出下面四个命题,其中正确的是 (　　) A．函数y＝x２－５x＋４(x∈[－１,３])的最 大值为１０,最小值为－９４ B．函数y＝２x２－４x＋１(x∈(２,４))的最大 值为１７,最小值为１ C．函数y＝x３－１２x(x∈[－３,３])的最大值 为１６,最小值为－１６ D．函数y＝x３－１２x(－２＜x＜２)无最大值, 也无最小值 ９．设a∈(０,１),若函数f(x)＝ax＋(１＋a)x 在(０,＋∞)上单调递增,则a的取值范围是 　　　　． １０．函数f(x)＝x３＋x２－５x＋２的图象与直 线y＝k恰有三个不同的交点,则实数k的 取值范围是　　　　． １１．函数f(x)＝x－２x＋２ 􀅰ex 的单调递增区间为 　　　　;若a∈ －３e ,０é ë êê ù û úú,则函数g(x)＝ (x－２)ex－a(x＋２)的零点的取值范围是 　　　　． １２．已知函数f(x)＝１－xx ＋klnx ,k＜１e ,求函 数f(x)在 １e ,eé ë êê ù û úú上的最大值和最小值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０５􀅰 １３．已知函数f(x)＝ax３＋bx２－３x在x＝±１ 处取得极值． (１)f(１)和f(－１)是函数f(x)的极大值 还是极小值? (２)过点A(０,１６)作曲线y＝f(x)的切线, 求此切线方程． １４．已知函数f(x)＝x２＋ax－lnx． (１)若a＝１,求函数y＝f(x)的最小值; (２)若函数y＝f(x)在[１,２]上单调递减, 求实数a的取值范围． １．(多选)(２０２４􀅰新课标 Ⅰ 卷,１０)设 函 数 f(x)＝(x－１)２(x－４),则 (　　) A．x＝３是f(x)的极小值点 B．当０＜x＜１时,f(x)＜f(x２) C．当１＜x＜２时,－４＜f(２x－１)＜０ D．当－１＜x＜０时,f(２－x)＞f(x) ２．(多选)(２０２４􀅰新课标 Ⅱ 卷,１１)设 函 数 f(x)＝２x３－３ax２＋１,则 (　　) A．当a＞１时,f(x)有三个零点 B．当a＜０时,x＝０是f(x)的极大值点 C．存在a,b,使得x＝b为曲线f(x)的对 称轴 D．存在a,使得点(１,f(１))为曲线y＝f(x) 的对称中心 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１５􀅰