假期必刷17 导数的有关概念及其计算-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

快乐假期 c900号 假期必刷17导数的有关概念及其计算 学然后知不足，教然后知困。 完成日期： 月 《《思维整合室 3.导数的运算法则 知识梳理 (1)[f(.x)±g(x)]' (2)汇f(x)·g(x)]'= 1.导数的概念 (1)定义：称函数y=f(x)在x=x。处的瞬时 [别 (3 (g(x)≠0). 变化率lim f(x+△x)-fx）=lim Ay 4.复合函数的导数 △z △z 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= 为函数y=f(x)在x=x。处的导数，记作 f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'= 或y'1-,即f(xo)=lim Ay A.0△T ,即y对x的导数等于y对u的导 lim f(x+△x)-f(x) 数与u对x的导数的乘积. △r+0 △x 自测自查 (2)几何意义：函数f(x)在点x处的导数 1.(1)f(x)(2)y-f(x)=f(x)(x-x) f(xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (xo,f(x。))处的切线的斜率（瞬时速度就 2.0nx"-1 cos x -sinx a'In a e 是位移函数s(t)对时间t的导数).相应 1 3.(1)f(x)±g() xln a x 地，切线方程为 (2)f(x)g(x)+f(.x)g'(x) (3)函数f(x)的导函数： f(x,+△)-fx）为 （3)fxg)-fg' 称函数了(x)=im Lg(x)F 4.y'·u △x f(x)的导函数. 要点记忆 2.基本初等函数的导数公式 1.深刻理解“函数在一点处的导数”“导函数” 原函数 导函数 “导数”的区别与联系. f(x)=c(c为常数) f(x)= (1)函数f(x)在点x处的导数f广(x)是一个 f(x)=x"(n∈Q) f(x)= 常数 f(x)=sin x f(x)= (2)函数y=f(x)的导函数，是针对某一区间 f(x)=cos x f(x)= 内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在 f(z)=a' f(.x)= 区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区 间(a,b)内的每一个确定的值x。都对应着 f(x)=e f(x)= 一个确定的导数f(x).这样就在开区间 f(x)=logax f(.x)= (a,b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数f(x).在不产生混淆的情 f(z)=Inx f(x)= 况下，导函数也简称导数. ·46· 三022 高二数学的) 2.曲线y=f(z)“在点P(xoyo)处的切线”与 6.设函数f)=年十f1)x,则f) “过点P(xy)的切线”的区别与联系 (1)曲线y=f(x)在点P(,%)处的切线是指P 为切点、切线斜率为=子(x)的切线，是唯 A.3 B.- 的一条切线。 (2)曲线y=f(x)过点P(xo,y)的切线，是指 c D. 切线经过点P.点P可以是切点，也可以不 7.(多选)曲线y=x3十x一2在P点处的切线平 是切点，而且这样的直线可能有多条. 行于直线y=4x一1，则切线方程为( 【《技能提升台 A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4x-8 D.y=4x-2 技能提升 8.(多选)下列求导运算不正确的是() 1.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+△x)上的 Aa+y=1+号 平均变化率Ay等于 ( △.x B.(log:r)-xln 2 1 A.4 B.4+2△x C.(3)'=3·loge C.4+2(△x) D.42 D.(x2cos x)'=-2xsin x 2.已知f(x)=xlnx,若f(xo)=2,则x 9.曲线y=21nx在点(1,0)处的切线方程为 等于 A.e B.e 10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线 c D.In 2 y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过 点（一e,一1）(e为自然对数的底数)，则点 3.已知曲线y=-ae十xlnx在点(1，ae)处的 A的坐标是 切线方程为y=2x十b,则 11.曲线y=er+2在点(0,3)处的导数为 A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 ,在点(0,3)处的切线方程为 C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=-1 4.曲线y=2sinx十cosx在点（π，一1）处的切 12.求下列各函数的导数， 线方程为 () (1)y=(2x2-1)(3x+1). A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2x-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π十1=0 5.若函数f(x)=n(er)+受x-b的图象在 (2)y=x-sin 0s克 点M(1,1)处的切线与直线2.x-y+6=0 垂直，则b= A.- 25 B.0 4 c. 25 0. ·47· 快乐假期 c900= (3)y= 1-G1+ 14.设函数f(x)=ax-,曲线y=f(r)在点 (2,f(2)处的切线方程为7x一4y-12=0. (1)求f(x)的解析式； (2)求证：曲线y=f(x)上任一点处的切线 与直线x=0和直线y=x所围成的三角形 面积为定值，并求此定值 13.已知函数y=xlnx(x>0). (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图象在x=1处的切线 方程. 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），7)设函数f(x)= e+2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( A君 c号 n号 2.(2024·新课标I卷，13)若曲线y=e+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x十1) 十a的切线，则a= ·48·所以a -a-6(n+1)+2-(6n+2)-6. 当且仅当k一2时,等号成立, 所以数列(a.是以6为公差的等差数列。 所以b-a·b。; (2)解:因为a。)是公比为2的等比数列,数列(b)的首 (lì)由(1)可知:S-2-1-a+1-1. 项为h-2.a.-2n+4. 若n-],则S=1,=1; 所以a-a-2x2+4-8. 若n2,则a+1-a-2*-1. 所以a-8×2-1-2n+2. 当$2 -1 i 2^*-1时,-b-1=2 k,可知 b 为等差$ 又因为a.一2n+4. 数列, 所以a.-2b十4. 所以2+4-2-+2. 2 解得6-2-+1-2, -1[(3-1)4 -(3k-4)4{-1]. 所以b+b+b++b=(21+1-2)+(22+1-2)+ (23+1-2)+.+(2“+1-2)-22+23+.-+2-+1-2n= 所以b-1+[5×42-2×4+8×43-5×42+. 2-2-+2 2-1-2-2n-2-+?-2n-4. (3n-1)4"-(3n-4)4"-1](3n-1)4”+1. 所以数列(b.)的前n项和为2“t?-2n-4. 14.解:(1)若选①,即2S.=na+1 (3n-1)4"+1 当n2时,2S-.=(n-1)a.. 两式作差得2a。-na!-(n-1)a 2.解:(1)因为4$ -3a +4.所以4$ +=3a1+4,两式 即(n+1)a.-na.+1. 相减可得:4a1-3a+1-3a. .11 即:+1=-3a,又因为4S -3a+4,所以a=4,故数 an 列a。是首项为4,公比为一3的等比数列,a。一4·(一 3)-1; n-1 (2)b-(-1)-1na.-4n·3“-1. 当n-1时也成立,.,a.一n. 所以T-4(1×3+2×3+3×3+..+n×31). 若选②,即2S-a+1. 当”2时,2S-a-1 3T.=4(1×3+2×3+3×3+..+”×3”),两式相减可 得:-2T.-4(1+3l+3+..+3*-1-n·3)= 两式作差得2a:-aan+1-a-1: 由>0,得a+1-a-1-2. -n·3”)-(2-4n)3”-2,T.-(2n-1)3”+1. 当n-1时,2S-aa,得a-2. 又:a1-1,-2, 假期奖刷17 导数的有关概念 '{a是公差为2,首项为2的等差数列, 及其计算 a2n-!)是公差为2,首项为1的等差数列,故a。=n. 若选③,即a2+a=2S. 技能提升台 技能提升 当n2时,^}-1+a-1-2S.-1' 1.B 2.B 3.D 4.C 两式相减得a^{}+a.-a-:-a-1-2a 5.C [由题意知/(x)-2+blnx,所以/(x)-ax十 即(a+a-1)(a-a)-1)-0, 由a→0,得a.-a-1-1-0. # [(1)-+6hn 1. (-2, 即-a-1-1. 解得 'a。是首项为1,公差为1的等差数列. ## 故a-n. (-#)#. (2)b-(n+1)·2”, T.=2×2+3×2+4×2+..+(n+1)·2”. 2T.-2×2+3×2+.+n×2”+(n+1)·2+1.两式 6.B [因为(x)- +f(1)g*②,所以f(c)- 相减,得-T-4+2^+2}+.+2-(n+1)·2+1-4 #(+1-+/(1)- 4(1-2-) -(n+1)·2x+1 (x1)② ()2}+2/(1)x,故/(1) 1-2 -4-4+2+1-(n+1)·2+1--n·2+1. 故T.-n·2+1. 高考冲浪 7.AB 8.ACD 9.解析:“'y-2.切线斜率b-yl-1=2. 1.解:(1)设等比数列a。)的公比为g>0. 因为a-1,S=a-1,即a+a=a-1. 可得1+q--1,整理得q{}--2-0,解得q-2或q$ '.切线的方程为y-0-2(x-1),即2x-y-2-0. 答案:2r-y-2-0 一1(舍去), (2)(I)由(1)可知a.-2-1,且 N*,k>2, 当x=x。时,y-1 当n=a1-24时, 。) 1,即a<n-1<a1 3o 即y-lnx。-王-1. 可知a-2^-1,b.-h十1, b1-b+(a+1--1)·2-k+2(2-1-1 代入点(-e,-1),得-1-lnxo-二-1. -(2-1). To 可得b1-a·b-(2*-1)-(+1)2^-1-(k-1 即xolno=e. $*1- >2( -1)- - -20\$$$ 考查品数H(x)=xlnx,当xE(0,1)时,H(x)<0. 当x(1,十oo)时,H(x)>0. .79· ### 乐期 且H'(x)=lnx+1,当x>1时,H'(x)>0,H(x)单调 的切点(一。). 递增, 注意到H(e)-e,故xolnxo=e存在唯一的实数根xo #0-1n-+1)+a,故o-1n 2. e.此时-1. 故点A的坐标为A(e,1). 答案:ln2 答案:(e.1) 假期※刷18 导数的应用(一) 11.解析:依题意得,y-。--5e-5xl。--5. 因此所求的切线方程是y一3一一5x, 技能提升台 技能提升 即5x+y-3-0. 1.D 答案:-5 5x+y-3-0 (/(1)-a-b-0. 12.解:(1).y=6x+2x2-3x-1. '-18r+4x-3. 所以/(2)一一 .y'-1-cosx. 3.D 4.B [/(c)=3x②-3,由/(c)=0,得=士1. _..- 1-1+1- 又因为/(-2)=-2.f(-1)=2. (1一)? 13.解:(1):yxln x(x>o). y'=1·Inx十x.1=lnx f(1)--2.f(2)-2. 故fmx(r)-2.fmi(c)--2.] 2 +1...y'-lnx十1(x>0). 5.C[由f(x)=x3+3ar②+bx+a?,得f(x)-3x?+6 (2)由(1)得 -y|-1-ln1+1-1. 十6.因为f(x)在x一一1处有极值0,所以 1-1+3-十a2}-0解得 #二#或# 当x三1时,v一0..切点为(1,0)..,切线方程为y-0 3-6a十-0, 1×(x-1).即y-x-1. =?(=1.时,/()-3-{+6七+3-3(+1)?} 6-9. 16-3 0.则/(x)在R上单调递增,函数无极值,舍去. 2--. 一1或r--3,经检验x=-1和x--3都为函数的极 值点,综上。(二所以(1)-3+12十9-24.] 16-3. 1-9. 6.A [因为 [1]所以n 十axe,所以问题可转化为求直线y一br十a的纵截距 可得曲线在点P(xo,y。)处的切线方程为 #\o-(1)(x-) a的最小值,先考虑不等式右半边,设f(x)一xe,则 f(x)-e(cx+1)>0,所以f(x)在xE[1,]上单调递 -(c。-3)-(1+)(x-c-o). 增,所以(x)在x[1]上的图象“上四”,所以直线 令x-o,得y--.从而得切线与直线x-0的交点坐 y-bx十a与f(x)的图象相切时,切点横坐标越大,纵截 #距越小,今点横坐标为, 切点为(),线 为(0) #斜率为,切线方程y一(#),下面考虑不# 令y=x,得x一2r。.从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2xo,2xo). 等#左$达边,对于①#({-o#)当-时0 0 所以曲线在点P(x。·yo)处的切线与直线x-0,y=x所 12xo|=6. <1,即这条切线与g(x)一xlnx的图象无交点,g'(x) ln.x+1.x(2)的图象在(},8()处的切线斜率为 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x-0.y-x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为6. n31.在(1.ig(1))处的切线斜率为1.均小于直线y一 高考冲浪 1.A/(x) (e+2cos x)(1+x2)-(e十2sinx)·2x,所以r(0) #(-)的斜率,所以可令直线y-十a在 (1+r2)② -3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1 -3(x-0),即3x一y十1-0,切线与两坐标轴的交点分 g(x)的图象相交,此时a取最小值,此时直线方程为y一 别为(0.1).(一-.0).,所以切线与两坐标轴所国成的三 #形的#1### _(x-1)+0=3e{(x-1),截距为-3e^{,] 1 2.解析:由题知y'-(e十x)'=e十1,当x-0时,切线斜率 7.BCD [由题可知/(x)的定义域为(0.十co),/(o)- -2. --2ca^*}-br-2c,由画数/(c)既有极大值也有 则切线方程为y-2x+1,y'-[ln(x+1)+a]-1 十1 2.得---2x(-)+1-0.y-1n(c+1)+a 极小值,知f(x)在(0,十)上有两个不等实根,令h(x) -x2-bx-2c,则h(x)在(0,十o)上有两个不等实根 .80.