假期作业十一 导数的有关概念及其计算-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业

三0022 高二数学蜀) 假期作业十一导数的有关概念及其计算 《《思维整合室 3.导数的运算法则 知识梳理 (1)[f(.x)±g(x)]' (2)[f(x)·g(x)]'= 1.导数的概念 (1)定义：称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时 (g(x)≠0). 变化率lim fx+△)-fx）=1im △y 4.复合函数的导数 △x 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y= 为函数y=f(x)在x=x。处的导数，记作 f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'= 或y1-,即∫(xo)=1imAy= 0△.x ,即y对x的导数等于y对u的导 lim f(x+Ar)-f(z) 数与u对x的导数的乘积. △◆0 △x 自测自查 (2)几何意义：函数∫(x)在点x。处的导数 1.(1)f(x)(2)y-fx)=f(x)(x-x) f(xo)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (xo,f(xo))处的切线的斜率（瞬时速度就 2.0n.x"-1 cos x -sina a'In a e 是位移函数s(t)对时间t的导数).相应 1 13.f(x)±g(x) xln a x 地，切线方程为 (2)f(x)g(x)+f(.x)g'(x) (3)函数f(x)的导函数： 称函数了(x)=im f(x,+△)-fx）为 （3)fxg)-f)g' Lg(x)P 4.yn'·u △x f(x)的导函数. 要点记忆 2.基本初等函数的导数公式 1.深刻理解“函数在一点处的导数”“导函数” 原函数 导函数 “导数”的区别与联系。 f(x)=c(c为常数) f(x)= (1)函数f(x)在点x处的导数f(x)是一个 f(x)=x"(n∈Q) f(x)= 常数 f(x)=sin x f(x)= (2)函数y=∫(x)的导函数，是针对某一区间 f(x)=cos x f(x)= 内任意点x而言的.如果函数y=f(x)在 f(x)=a' f(x)= 区间(a,b)内每一点x都可导，是指对于区 间(a,b)内的每一个确定的值x。都对应着 f(x)=e" f(x)= 一个确定的导数f(x).这样就在开区间 f(x)=logax f(x)= (a,b)内构成了一个新函数，就是函数 f(x)的导函数(x).在不产生混淆的情 f(x)=Inx f(x)= 况下，导函数也简称导数 ·29· 火受快乐限期 c900- 2.曲线y=f(x)“在点P(xoy)处的切线”与 6.设函数fx)=年十f1)x,则f1)= “过点P(x0y)的切线”的区别与联系 ( (1)曲线y=f(x)在点P(x,%)处的切线是指P 为切点、切线斜率为k=(.x)的切线，是唯 A B.- 的一条切线。 (2)曲线y=f(x)过点P(x,o)的切线，是指 c D. 切线经过点P.点P可以是切点，也可以不 7.(多选)曲线y=x十x一2在P点处的切线平 是切点，而且这样的直线可能有多条。 行于直线y=4x一1，则切线方程为( 【《技能提升台 A.y=4x B.y=4x-4 C.y=4x-8 D.y=4x-2 技能提升 8.(多选)下列求导运算不正确的是() 1.函数f(x)=2x2-1在区间(1,1+△x)上的 A+=1+ 平均变化率Ay等于 ( △.x B.(log:r)-xln 2 1 A.4 B.4+2△x C.(3)′=3·log3e C.4+2(△x) D.42 D.(x2cos )'=-2xsin x 2.已知f(x)=xlnx,若f(x。)=2,则xo 9.曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为 等于 A.e B.e 10.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线 c D.In 2 y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过 点（一e,一1）(e为自然对数的底数)，则点 3.已知曲线y=ae十xlnx在点(1，ae)处的 A的坐标是 切线方程为y=2x十b,则 11.曲线y=er十2在点(0,3)处的导数为 A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1 ,在点(0,3)处的切线方程为 C.a=e1,b=1 D.a=e1,b=-1 4.曲线y=2sinx十cosx在点（π，一1）处的切 12.求下列各函数的导数. 线方程为 () (1)y=(2x2-1)(3x+1). A.x-y-π-1=0 B.2.x-y-2x-1=0 C.2.x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0 5.若函数f(x)=n(er)+受r-b的图象在 (2)y=x-sin 点M(1,1)处的切线与直线2x-y+6=0 垂直，则b= 25 B.0 4 c. 5 0.2 ·30· 三0022 高二数学的 (3)y=1 +1 14.设函数f(x)=ax-,曲线y=fx)在点 1-x'1+ (2,f(2)处的切线方程为7x一4y-12=0. (1)求f(x)的解析式： (2)求证：曲线y=f(x)上任一点处的切线 与直线x=0和直线y=x所围成的三角形 面积为定值，并求此定值 13.已知函数y=xlnx(x>0). (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数的图象在x=1处的切线 方程. 高考冲浪 1.(2024·全国甲卷（文），7)设函数f(x)= e+2sin工，则曲线y=f(x)在点(0,1)处的 1+x2 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ( A吉 B号 c号 n号 2.(2024·新课标I卷，13)若曲线y=e+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x十1) 十a的切线，则a= ·31.快乐假期 c900= 令g-521则g+g1=0,即a,g+g-1D=0, Tm-Sm=2k2-k=k(2k-1), 2 当n>5即k>2时，k(2k-1)>0,所以Tm>Sm: 所以ar+2十an+1一an=0,故a223=d2021十a22s=2023. 答案：2023 当n=2k+1∈N)时，T,=k+1D(-1D+k士1k×4+ 2 12.解：(1)设等比数列{an的公北为9(g≠0).因为a2=g· 1 14+k2D×8=62+11k-1, 2 aa,=287所以ag·ag=27所以=动解得 1 S=(2+1)X5+25+12×2=k2+12+5. 2 T。-Sm=2k2-k-6=(2k+3)(k-2), 当n>5即k>2时，(2k+3)(k-2)>0, 2)由于a,=(合）广所以6，=a,=1·(合）广所以工 所以Tm>Sn 高考冲浪 =1x名+2×()++…（得）广@ 1.解析：由题意不妨设x>y,若x,y均在[a1a2],则有x一 y∈[0，a2-a],若x,y均在[amaw+1],则有x-y∈[0， 号工=1x(合)广+2x(后)广++u-)…(传)广 am+1-am],若x,y分别在两个区间，则x-y∈[an一a2, am+1一a1],又因为g>1,总有ln是闭区间，则am一a2≤ …(传）@ am+1一am恒成立即可，化简得g"-1(g-2)十g≥0，所以有 ①-@得号，=言+（合）++（传）+（信） 9≥2恒成立. 答案：[2，十0∞) 2.解：(1)因为2Sm=3aw+1-3,所以2S+1=3am+2-3,两 式相减可得2au+1=3au+2一3am+1,即3a1+2=5ar+1,所 1-3 以等比载列a,}的公北g=号又周为25=3a-3=5☑ 是-(+)小（合） -3,即2a1=5a1-3,所以a1=1,所以{an}的道项公式为 13.解：(1)设等比数列{an}的公比为q (停)。 因为S一S,=5-5,所以2a=-@,解得g 2 (2)周为25，-3a+1-3,所以S-是（a+1-1D 因为a2=- 子，所以数列(a,的道项公式为a, [()- (小（)=-3x()月 设数列{S。}的前n项和为T则 -(] 则T 3× -川] 1-() 1-号 1-（) 9×(停)广g 所以T,=1-s-()八所以1T=()门 假期作业十一 导数的有关概念及其 计算 =(合）广由1T.>202 技能提升台技能提升 可得（侵）广223中<1g2023且EN 1.B2.B3.D4.C 5.C[由题意知f)=受r2+b加，所以f(x)=ar+ 故满足T,>2023的n最大值为10. 14.(1)解：设{an的首项为a1,公差为d,由S,=32, f)=+b加1=1， a=2, 得4a1+6d=32, F)=a+6=-1. 解得 5则= b= · 2, 又b=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,=4g-6=a1+2d-6, 所以T3=4a1+4d-12=16,即a1十d=7, 由a十6d,32解得e5· （)-草 {a1+d=7, 1d=2, 所以{an}的通项公式为 6B[周为f)-吊十了)，所以了(x) am=2n+3. (2)证明：由（1)知，=2二3Cn为奇数) +2fr=D+2f,故fD (x+1)2 {4n十6(n为偶数). a+1D+2f,解得f)=-÷.] e 当m=2k(k∈N)时，T,=k(-1D+,D×4+14k十 2 7.AB 8.ACD k(k-1D×8=6k2+7k, 2 以解折：y-子初线斜奉=y1=2, S.=2k×5+2(2-×2=4k2+8歌. .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 2 答案：2x-y-2=0 ·50· 三022 富二数， 10.解析：设点A(oo),则o=lnx0.又y'=上 高考冲浪 x 1.A[f(x) 当x=0时y'=1 =e+2osr)1+r2)（e+2sin)·2红，所以f(0) (1+x2)2 点A在曲线y=nr上的切线为y一为=（(r一0 =3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y一1 =3(x一0)，即3.x一y+1=0,切线与两坐标轴的交点分 中h0话一1 别为0D·(一30）所以切线与两坐标轴所图成的三 我入点(-e.得-1-n-。-1 即coln xo=e, 角彩的西积为日×1X号日，】 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0,1)时，H(x)<0, 2.解析：由题知y'=(e十x)'=e十1，当x=0时，切线斜乖 当x∈(1，十∞)时，H(x)>0, k=2, 且H'(x)=nx+1,当x>1时，H'(x)>0,H(x)单调 递增， 则切线方程为y=2x+1,y=[n(x+1D+a]'=中 注意到H(e)=e,故zoln=e存在唯一的实数根o= 2,得x=一 e,此时yo=1, y=2x()十1=0，y=ln+1)+a 故点A的坐标为A(e,1). 答案：(e,1) 的初点（0小 11.解析：依题意得，y,=0=一5er|=0=-5, 即0=ln(-号+1）十a,故a=ln2. 因此所求的切线方程是y一3=一5.x, 即5x+y-3=0. 答案：ln2 答案：-55x十y一3=0 假期作业十二 导数的应用（一） 12.解：(1)y=6.x3+2x2-3.x-1. 技能提升台技能提升 y=18x2+4x-3. 1. (2y=-n营c0s专=r-之nr 2B了0-兰-会由条#，年0 iy-1-tonr. 所以a=b=-2,即了(x)=-2+2。 (3)y=,1+1 (1-x)2 所以了2)=一号+是-合故选R] 13.解：1)：y=nx(x>0)y=1lnx十x·1=nx x 3.D +1,.y=lnx+1(x>0). 4.B[f(x)=3.x2-3.由f(.x)=0,得x=士1. (2)由(1)得k=y1x-1=ln1+1=1. 又因为f(-2)=-2,f(-1)=2, 当x=1时，y=0,,切，点为(1,0)，∴切线方程为y一0 f1)=-2.f(2)=2. 1×(x-1),即y=x-1. fmax(r)=2,fmin(.r)=-2.] 14.解：1)方程7z-4-12=0可化为)=子r-3. 5.C[由f(.x)=x3+3a.x2+bx+a2,得f(x)=3.x2+6ax 十b.因为f(x)在x=一1处有极值0，所以 当x=2时y=号又f)=a+名， T2 1)=0,1+3“解得63或 {f(-1)=0,{3-6a+b=0, 2a二22解得：故x)=x-3 于是 8s8g时f)-3r2+6r+8=3+1≥ 1b=3. x a十44' 0,则f(x)在R上单调递增，函数无极值，舍去. (2)设P(x0%)为曲线上任一点，由广(x)=1+3 当=2时，fx=3x2+12z+9,令f(x=0,得x 1b=9 可得曲线在点P(0y)处的切线方程为 一1或x=一3，经检验x=一1和x=一3都为函数的极 值点，综上，侣所以了0-3+12+9=24] .A[国为nr≤号+be,re[,]所以lnrc 点，从而得切线与直线工=0的交点坐 十a≤xe,所以问题可转化为求直线y=b.x十a的纵戴距 令x=0,得y= a的最小值，先考虑不等式右半边，设f(x)=xe,则 标为0- 了)=e(+1>0,所以)在x,号]上单调逆 令y=x,得x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐 标为(2x0,2u), 增，所以代在x∈[，]上的图象上回所以直线 所以曲线在点P(xo,y%)处的切线与直线x=0,y=x所 y=br十a与f(x)的图象相切时，切点横坐标越大，纵截 国成的三角形西积为引一马2，=8 距想小，令切点横坐标为受，则切点为（侵·受）切线 故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x 所国成的三角形的面积为定值，此定值为6. 斜单为c,切线方程为y=心（侵x-号）下西考感不 ·51·