5.1.1变化率问题-2024-2025学年寒假高二数学同步练习（人教A版选必二）

5.1.1变化率问题 1．某物体沿水平方向运动，其前进距离s(米)与时间t(秒)的关系为s(t)＝5t＋2t2，则该物体在运动的前2秒的平均速度为(　　) A．18米/秒　　　　　 　 B．13米/秒 C．9米/秒 D.米/秒 2．已知抛物线f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1 3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则该质点在t＝2时的瞬时速度为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 4．已知抛物线f(x)＝x2＋x，则y＝f(x)在点(1，2)处切线的斜率为(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 5．如果某物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么该物体在1.2 s末的瞬时速度为(　　) A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 6. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则平均速度最小的是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]上相应的平均速度与Δt满足的关系式为________． 8．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象． 9．某物体运动规律是s＝t2－4t＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0. 10．设f(x)＝x2，求此抛物线在(x0，y0)，(－1，1)，(2，4)处切线的斜率． 11．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 12．已知一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v(t)＝t2＋3，求当t＝t0时轿车的瞬时加速度a＝________． 13．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________． 14．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s的单位为m，t的单位为s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 15．将石子投入水中，水面产生的圆形波纹不断扩散． (1)当半径r从a增加到a＋h(h>0)时，求圆周长相对于半径的平均变化率； (2)当半径r＝a时，求圆周长相对于半径的瞬时变化率． 16．若一物体运动方程为(位移s的单位为m，时间t的单位为s)s＝f(t)＝ (1)求物体在[3，5]这段时间内的平均速度； (2)求物体的初速度v0； (3)求物体在t＝1时的瞬时速度． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1.1变化率问题 1．某物体沿水平方向运动，其前进距离s(米)与时间t(秒)的关系为s(t)＝5t＋2t2，则该物体在运动的前2秒的平均速度为(　　) A．18米/秒　　　　　 　 B．13米/秒 C．9米/秒 D.米/秒 答案　C 解析　∵s(t)＝5t＋2t2，∴该物体在运动的前2秒的平均速度为＝＝9(米/秒)．故选C. 2．已知抛物线f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　) A．2 B．2.3 C．2.09 D．2.1 答案　B 解析　∵f(1)＝5，f(1.3)＝5.69，∴直线AB的斜率kAB＝＝＝2.3.故选B. 3．若质点A按照规律s＝3t2运动，则该质点在t＝2时的瞬时速度为(　　) A．6 B．12 C．18 D．24 答案　B 解析　由题可得t＝2时的瞬时速度为 ＝ ＝ (12＋3Δt)＝12.故选B. 4．已知抛物线f(x)＝x2＋x，则y＝f(x)在点(1，2)处切线的斜率为(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 答案　C 5．如果某物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么该物体在1.2 s末的瞬时速度为(　　) A．－4.8 m/s B．－0.88 m/s C．0.88 m/s D．4.8 m/s 答案　A 解析　由题意可得1.2 s末的瞬时速度为 ＝ ＝ (－2Δt－4.8)＝－4.8(m/s)． 6. 某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图．记该车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4，则平均速度最小的是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　由题意知，汽车在时间段[t1，t2]，[t2，t3]，[t3，t4]，[t1，t4]上的平均速度的大小分别为1，2，3，4， 设路程y与时间t的函数关系为y＝f(t)， 则1＝，即为经过点(t1，f(t1))，(t2，f(t2))的直线的斜率k1， 同理2为经过点(t2，f(t2))，(t3，f(t3))的直线的斜率k2， 3为经过点(t3，f(t3))，(t4，f(t4))的直线的斜率k3， 4为经过点(t1，f(t1))，(t4，f(t4))的直线的斜率k4. 由题图可知，k3最小，即3最小．故选C. 7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1，1＋Δt]上相应的平均速度与Δt满足的关系式为________． 答案　＝－2Δt－4 解析　Δs＝[4－2(1＋Δt)2]－(4－2×12)＝4－2－4Δt－2(Δt)2－4＋2＝－4Δt－2(Δt)2， ＝＝＝－4－2Δt. 8．如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水面高度h与时间t的函数图象． 解析　由于单位时间内注入水的体积相同， 容器(1)对应的水面高度h随时间t的变化率恒定，函数图象为直线，即为B； 容器(2)对应的水面高度h随时间t的变化率逐渐变大，函数图象先缓后陡，即为A； 容器(3)对应的水面高度h随时间t的变化率逐渐变小，函数图象先陡后缓，即为D； 容器(4)对应的水面高度h随时间t的变化率先变小后变大，函数图象先陡后缓，再变陡，即为C. 9．某物体运动规律是s＝t2－4t＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0. 解析　因为Δs＝(t＋Δt)2－4(t＋Δt)＋5－(t2－4t＋5)＝2tΔt＋(Δt)2－4Δt， 所以瞬时速度为0时，v＝ ＝2t－4＝0，∴t＝2.即当t＝2时，此物体的瞬时速度为0. 10．设f(x)＝x2，求此抛物线在(x0，y0)，(－1，1)，(2，4)处切线的斜率． 解析　抛物线在(x0，y0)处切线的斜率k1＝ ＝ ＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0. 则抛物线在(－1，1)处切线的斜率k2＝－2，在(2，4)处切线的斜率k3＝4. 11．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 答案　A 12．已知一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v(t)＝t2＋3，求当t＝t0时轿车的瞬时加速度a＝________． 答案　2t0 解析　在t0到t0＋Δt这段时间内，轿车的平均加速度为＝＝＝＝2t0＋Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于2t0，即a＝2t0， 所以当t＝t0时轿车的瞬时加速度为2t0. 13．若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________． 答案　1 14．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(s的单位为m，t的单位为s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值． 解析　∵＝ ＝＝4a＋aΔt， ∴ ＝4a＝8，即a＝2. 15．将石子投入水中，水面产生的圆形波纹不断扩散． (1)当半径r从a增加到a＋h(h>0)时，求圆周长相对于半径的平均变化率； (2)当半径r＝a时，求圆周长相对于半径的瞬时变化率． 解析　(1)当半径r从a增加到a＋h(h>0)时，圆周长相对于半径的平均变化率为＝2π. (2)当半径r＝a时，圆周长相对于半径的瞬时变化率为 ＝2π＝2π. 16．若一物体运动方程为(位移s的单位为m，时间t的单位为s)s＝f(t)＝ (1)求物体在[3，5]这段时间内的平均速度； (2)求物体的初速度v0； (3)求物体在t＝1时的瞬时速度． 解析　(1)∵物体在[3，5]这段时间内时间变化量为Δt＝5－3＝2， 位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在[3，5]这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度． ∵＝ ＝ ＝3Δt－18， ∴物体的初速度v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)． (3)∵ ＝ ＝3Δt－12， ∴物体在t＝1时的瞬时速度为 (3Δt－12)＝－12(m/s)． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$