假期必刷16 数列求和-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷１６　数列求和　　　　　　　 １．特殊数列的求和公式 (１)等差数列的前n项和公式: Sn＝ n(a１＋an) ２ ＝na１＋　　　　． (２)等比数列的前n项和公式: Sn＝ na１,q＝１, a１－anq １－q ＝　　　　　　． ì î í ï ï ï ï ２．数列求和的几种常用方法 (１)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项,使其转 化为几个等差、等比数列,再求解． (２)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差,在求和时,中 间的一些项可以相互抵消,从而求得其和． (３)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和 一个等比数列的对应项之积构成的,这个 数列的前n项和可用错位相减法求解． (４)倒序相加法 如果一个数列{an}中,与首末两端等“距 离”的两项的和相等或等于同一个常数,那 么求这个数列的前n项和可用倒序相加法 求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)n (n－１) ２ d　 (２) a１(１－qn) １－q ,q≠１ １．１＋２＋３＋４＋􀆺＋n＝n (n＋１) ２ ． ２．１２＋２２＋􀆺＋n２＝n (n＋１)(２n＋１) ６ ． ３．裂项求和常用的三种变形 (１) １n(n＋１)＝ １ n－ １ n＋１． (２) １(２n－１)(２n＋１)＝ １ ２ １ ２n－１－ １ ２n＋１ æ è ç ö ø ÷． (３) １ n＋ n＋１ ＝ n＋１－ n． １．已知数列{an}的前n项和为Sn,a１＝ １ １０１２ , an＋an＋１＋an＋２＝ n＋２ １０１２ ,则S２０２３＝ (　　) A．６７５　　　　　　　B．６７４ C．１３８４ D．２０２３ ２．数列{an}的通项公式是an＝(－１)n(２n－１),则 该数列的前１００项之和为 (　　) A．－２００ B．－１００ C．２００ D．１００ ３．已知数列{an}: １ ２ ,１ ３＋ ２ ３ ,１ ４＋ ２ ４＋ ３ ４ ,１ ５＋ ２ ５＋ ３ ５＋ ４ ５ ,􀆺,那么数列{bn}＝ １ anan＋１{ }的 前n项和为 (　　) A．４１－ １n＋１ æ è ç ö ø ÷ B．４ １２－ １ n＋１ æ è ç ö ø ÷ C．１－ １n＋１ D． １ ２－ １ n＋１ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３４􀅰 ４．已知数列{an}的前n项和Sn 满足Sn＝n２＋ n,则数列 ４anan＋１{ }的前８项的和为 (　　) A．６７ B． ７ ８ C．８９ D． ９ １０ ５．已知数列{an}满足a１＋ １ ２a２＋ １ ２２ a３＋􀆺＋ １ ２n－１ an＝n,n∈N∗ ,记数列{２an－n}的前n 项和为Sn,则Sn＝ (　　 ) A．２n－n ２ ２－ n ２－１ B．２ n＋１－n ２ ２－ n ２－２ C．２n－n ２ ２－ n ２ D．２ n－n ２ ２－ n ２－３ ６．已知数列{an}满足２an＋１－an＝n＋２,a１＝５,若 {an}的前n项和为Sn,则满足不等式Sn＞ ２０２３的最小整数n的值是 (　　) A．６０ B．６２ C．６３ D．６５ ７．(多选)已知首项为－１的等差数列{an}的 前n项和为Sn,公差为d,且S７＞S８,S８＜ S９,则 (　　) A．１８＜d＜ １ ７ B．S１０＞S５ C．(Sn)min＝S８ D．S１５＞０ ８．(多选)如图,由正 方形可以构成一系 列的长方 形,在 正 方形内绘出一个圆 的１ ４ ,就 可 以 近 似 地得到等角螺线,第一个和第二个正方形的 边长为１,第三个正方形边长为２,􀆺,其边 长依次记为a１,a２,a３,􀆺,得到数列{an},每 一段等角螺线与正方形围成的扇形面积记 为bn,得到数列{bn},则下列说法正确的有 (　　) A．a８＝２１ B．a１＋a２＋􀆺＋a１４＝a１６－１ C．a２１＋a２２＋􀆺＋a２１４＝２a１４a１５ D．４(b２０－b１９)＝πa１９a２０ ９．数列{an}满足a１＝２,且an＋１－an＝２n(n∈ N∗),则数列 １an{ }的前１０项和为　　　　． １０．数列{an}的前n项和Sn＝n２－４n＋２,则 |a１|＋|a２|＋􀆺＋|a１０|＝　　　　． １１．若数列{an}的通项公式为an＝cos２n°,且该 数列的前n项和为Sn,则S８９＝　　　　． １２．设数列{an}满足a１＋３a２＋􀆺＋(２n－１)an ＝２n． (１)求{an}的通项公式; (２)求数列 an２n＋１{ }的前n项和． １３．已知数列{an}的通项公式为an＝２n＋４,数 列{bn}的首项为b１＝２． (１)若{bn}是公差为３的等差数列,求证: {abn}也是等差数列． (２)若{abn}是公比为２的等比数列,求数列 {bn}的前n项和． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４４􀅰 １４．在① Sn n ＝ an＋１ ２ ,②an＋１an＝２Sn,③a２n＋an＝ ２Sn 这三个条件中任选一个,补充在下面 的问题中,并解答该问题． 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a１＝１, 满足　　　　． (１)求an; (２)若bn＝(an＋１)􀅰２ an,求数列{bn}的前 n项和Tn． 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个 解答计分． １．(２０２４􀅰天津卷,１９)已知数列{an}是等比数 列,公比大于０．其前n项和为Sn．若a１＝１, S２＝a３－１． (１)求数列{an}的前n项和Sn; (２)设bn＝ k,n＝ak bn－１＋２k,ak＜n＜ak＋１ { ,k∈N∗． (ⅰ)当k≥２,n＝ak＋１时,求证:bn－１≥ak􀅰bn; (ⅱ)求∑ 　　 　　Sn i＝１ bi． ２．(２０２４􀅰全国甲卷(理),１８)记Sn 为数列 {an}的前n项和,已知４Sn＝３an＋４． (１)求{an}的通项公式; (２)设bn＝(－１)n－１nan,求数列{bn}的前n 项和Tn． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 化曼快乐假研 c900号 综上，只可能a,2-1一a=0(j=1,2,3,4),而a,1十 8.AB[由图中数据可得d1=42=1,dg=2,a4=3,am a2=a.a十a,4=,5十a,6=a,7十a,8,故{am}=2(A) 是常数列，充分性得证 a1十a,-m≥3，由题意可得6，=×受Xa=c2 假期必刷16 数列求和 对于A:a5=a1十a3=3+2=5,46=a5十a1=5+3=8,a1 技能提升台技能提升 =a6十a5=8+5=13.则ag=a7十a6=13+8=21,故A 1.A[S2o23=a1+(a2十aa十ai)+(a5+a6+a1)+…+ 正确：对于B:am=ag-1十ag-2,可得a-g=an一am-1…则 a1十a2十…十a14=(a3-a2)+(a4一43)+…+(a16 1 (a2018+a2o19十a202)+(a2081十a202+a2023）=1012 a5)=a16-a2=a16-1,故B正确：对于C:aw-1=an +02+1d2+…+9020+2028=675x0+2023 4 7 am-2(a≥3)，∴a后-1=am-1uw-1=aw-1(an一a-2） 1012+1012 2×1012 an-1an一aw-1am-2（n≥3)，.a十a号十…十a=a十 =675.] (a2a3-u2a1)+(a3a,-a3a2）+…+(a1ua1s-a14a13)= 2.D[S10=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2 a-a2a1十a14a15=a14a16,故C错误；对于D:4(b20 ×50=100.] bo)=4(于-子ai）=x(aa-aib)=x(aw-a) 1 （a20十a19)=a18a21,故D错送.] 1十2十3+…十”三粒 9.解析：：u1=2,且a+1一am=2",.当n≥2时am=(an n十1 am-1)+(aw-1一am-2)+…+(a2-a1)+a1=2m-1+2-2 ++…+6,=4(1-)+4(合-号)十… +…+2+2=1-2 1-2 十1=2"，当n=1时上式也成立，am +4) =2", an (侵)八心鼓列{亿}的前10项和为 =-)(合)++（合】 合×-品 1023 =)门 1-日 10241 4.C[当n≥2时，am=Sn-Sa-1=21, 当n=1时，a1=2也符合上式，∴.an=2n(n∈N), 答案贸 11 10.解析：当n=1时，a1=S1=-1. 上a+1-22m+2nm十Dwn十中p 当n≥2时，an=S4-Sw-1=2n-5. “数列{年}的前8项的和为（什-）十 4w=1,n=1, a4m十1 {2n-5,n>2. (++（合） 令21-50，得号当N<2时a,<0,当≥3时， am>0,∴.la1|+|a2|+…+|a1o=-(a1+ag)+(a3+ 5.B[由题设a1=1且a1+24,+2za+… 2m-24W-1= a4+…+a10)=S1a-2S2=66. 答案：66 1 n-1(n≥2).故204m=1且n≥2， 11.解析：cos2n°=sin2(90°-n), 所以an=2-1,又a1=1也满足，故am=2-1,则2an一n S89=cos21°+c0s22°+cos23°+…十cos289°， =20一n, S89=c0s289°+c0s288°+c0s287°+…+c0s21 所以S。=(2十22+…十2")-(1十2十…十n)= cos289°=sin21°.cos288°=sin22.c0s287°=sinm23°，…， cos21°=sin289°，.2S89=(cos21°+cos289°)+(cos22°+ 2x2-1-号号-2] eos288)+…+(cos289°+cos21)=(cos21°+sin21°)+ 1-2 2 1 (cos22°+sin22°)+…+(cos289°+sin289)=1×89 6.C[由2a+1-a,=n+2,得4+1=之a,十zn+l, 805w-号 a1-(n+1)=号(a,-.又周为a1-1=4最到 答案：盟 (a。一n)是首项为4，公比为2的等比数列，则a。一n=4X 12.解：(1)因为a1+3ag+…+(2n-1)m=2m,① 故当n≥2时，a1+3ag十…+(2n-3)am-1=2(n-1).@ =23-",∴.an=n+23-",∴.Sn=(1+2+3+…+ ①-②得(2n-1)aw=2,所以a,-2n m)+(22+2+20+2-1+…十23-")=8-23-+n(n+1 2 又因为n=1时，41=2适合上式， 从而(an}的通项公式为4，一2m- 2 当n≥1时，Sn单调递增，S62=1961-2-0<2023,S6 =2024-2-60>2023. 故满足不等式S>2023的最小整数n的值为63.] (2记(2千}的前项和为5… 7.AC[对于A:因为S,>S%.Sg<S,所以a8=S8-S<0, an ,=5,5>0则e二1什0解得g<4<分 由1)知2n十市(2m-1)(2m+D2m2n+ 1ag=-1+8d>0, 故A正确：对于B,S10-Ss=a6十a7+a8十ag十a10=5a8 <0,则So<S5,故B错误：对于C:因为d>0,所以数列 2程 {am}为递增数列，因为a1<0ag<0,ag>0,即数列{am}的 =12m+2n+ 前8项为负数，从第9项开始，都为正数，则(Sm)min一S8: 13.(1)证明：因为数列{bn}是首项为b1=2,公差为3的等差 故C正确：对于D:S15=15a,十a5)=15a8<0,故D 数列， 2 所以bn=2+3(n-1)=3n-1, 错误.] 所以a6.=2b,+4=2(3n-1)+4=6n+2, ·78· 三022 高二数学的， 所以a -a=6(n十1)+2-(6m+2)=6. 当且仅当k=2时，等号成立， 所以教列(a是以6为公差的等差数列. 所以bm-1≥ak·bm: (2)解：因为{}是公比为2的等比数列，数列(b,}的首 (i)由(1)可知：S。=2”-1=a+1-1, 项为b1=2,an=2n+4, 若n=1,则S1=1,b1=1: 所以a=a2=2×2+4=8, 若n≥2，则a+1一44=2-1. 所以a=8×2m一1=2n+2. 当24-1<i≤2-1时，b:一b:-1=2k,可知{6》为等差 又因为am=2n十4， 数列， 所以ah=2bn十4， 所以2h,十4=2+2 可得匀6，=k:21+2张221-D=6·4-1 2 解得bn=2r+1-2, 所以b1十b2十b3十…+bn=(21+1-2)+(22+1-2)+ =号[83k-1D4-(3k-44-. (23+1-2)+…+(2m+1-2)=22+23+…+2+1-2n 22-2m+2 所以26，=1+号[5×42-2×4+8×4-5×42+…十 1-2-21=2m+2-2m-4. 所以数列(bn}的前n项和为2+2一2n一4. (31-1)4”-(3m-4)4-1门=(3m-1D4"+1 14.解：(1)若选①，即2Sm=nam+1: 当n≥2时，2Sm-1=(n-1)aw 且n=1,符合上式，综上所述：之6，=（③n-1D4十1 两式作差得2an=1a+1一(n-1)am 2.解：(1)因为4Sm=3am十4，所以4Sm+1=3am+1十4，两式 即(n十1)an=aw+1· 相减可得：4an+1=3a+1一3an· :4+1=n十1 即：am+1=一3am,又因为4S:=3a1十4，所以a1=4,故数 an n 列{n}是首项为4，公比为一3的等比数列，an=4·(一 3)-1； (2)bn=(-1)”-1nam=4n·3”-1, 当n=1时也成立，am=n 所以T.=4(1×3+2×3+3×32+…十nX3"-1), 若选②，即2Sn=aw+1am' 当n≥2时，2Sm-1=a4-1· 3T.=4(1×3+2×32+3×33+…+n×3m),两式相减可 两式作差得2an=an+1一a4m-1: 得：一2T.=4(1+31+32+…+3W-1一n·3")= 由am>0,得am+1一am-1=2. 当n=1时，2S1=a241,得a2=2. 4作等-…3）=2-4ng-2T.=(2m-D3+1. 又a1=1,a2=2, 假期必刷17 导数的有关概念 .{a2m}是公差为2，首项为2的等差数列， {a2m-1)是公差为2，首项为1的等差数列，故an=n. 及其计算 若选③，即a员+am=2Sm, 技能提升台技能提升 当n≥2时，a7-1十4m-1=25m-1, 1.B2.B3.D4.C 两式相减得a后十an一a后-1一am-1=2am· 即(an十am-1)(an-4m-1-1)=0, 5.C[由题意知fr)=受r2+bi加，所以了(r)=ar+ 由an>0,得an-a,-1-1=0. 4=2, 即an一am1=1, r)=受+in1=1. )=a+6=-是. 解得 6=- 5则= .{4n}是首项为1，公差为1的等差数列， 2 故an=n. (2)b.=(n十1)·2n, T。=2×2+3×22+4×23+…+(n十1)·2， ()-5 2Tm=2X22+3×23+…+n×2"+(m+1)·2+1,两式 相减.得-Tm=4十22十23+…十2m-(n+1)·2n+1=4 6B[周为fx)-片十了1)，所以了) +40-2g）-（m+1)·21 re 1-2 +2rx=+2r,故了 (x+1) =4-4+2"+1-(n+1)·2+1=-n·2"+1, =af+2r1.解得f)=-是.] e 故Tn=n·2+, 高考冲浪 7.AB 8.ACD L.解：(1)设等比数列{an}的公比为g>0, 9.解析：“y=是切线斜率=y1-1=2 因为a1=1,S2=a3-1.即a1十ag=a3-1, 可得1十q=g2-1,整理得g2-q-2=0,解得g=2或g= .切线的方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0. 一1（含去）， 答案：2.x-y-2=0 所以5=号=20-1 10.解析：设点A(r0o),则%=ln.又y= (2)(i)由(1)可知an=2m1,且k∈N,k≥2， 当x=0时y=1 o' 当n=ak+1=2≥4时， 则a=2l<2己=1，中a4<-1ag 点A在曲线y=nx上的切线为y一为=（红一）， {n-1=a5+1-1<ak+1 可知a4=2-1,bn=k+1, 即y-lnxa=工-1. b-1=b+(4+1一a4-1)·2k=k+2k(2-1-1) =k(20-1), 代入点(-e,一1，得-1-n0-需-1 可得6-1一ae·bn=k(2-1)-(k十1)26-1=(k-1) 即zoln .to=e, 2-1-k≥2(k-1)-k=k-2>≥0， 考查函数H(x)=xlnx,当x∈(0,1)时，H(x)<0, 当x∈(1，十o∞)时，H(x)>0 ·79·