假期必刷12 等差数列的概念-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷１１　数列的概念与简单表示法 技能提升台　技能提升 １．A　[检验知①②③都是所给数列的通项公式．] ２．B　[观察可知数列的通项公式是an＝ ２n－１, 令an＝ ２n－１＝３ ５＝ ４５,得n＝２３．] ３．B　[由０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、４０、５０􀆺, 可得偶数项的通项公式:a２n＝２n２． 则此数列第２０项a２０＝２×１０２＝２００．] ４．A　[由题得当n＝３时,a３＝２＋０＝２,当n＝４时,a４＝２ ×１＝２,当n＝５时,a５＝２＋２＝４,当n＝６时,a６＝２×２＝ ４,当n＝７时,a７＝２＋４＝６,当n＝８时,a８＝２×４＝８,当 n＝９时,a９＝２＋６＝８,所以{an}的前９项和S９＝a１＋a２ ＋􀆺＋a９＝１＋２＋２＋４＋４＋６＋８＋８＝３５．] ５．A　[an＝ ６３ ２n ,当n≤５时,an＞１;当n≥６时,an＜１,由题 意知,a１×a２×􀆺×ak 是{an}的前n项乘积的最大值,所 以k＝５．] ６．A　[当n≥１时,an＋１＝３Sn,则an＋２＝３Sn＋１, ∴an＋２－an＋１＝３Sn＋１－３Sn＝３an＋１,即an＋２＝４an＋１, ∴该数列从第二项开始是以４为公比的等比数列． 又a２＝３S１＝３a１＝３,∴an＝ １　　(n＝１), ３×４n－２(n≥２)．{ ∴当n＝６时,a６＝３×４６－２＝３×４４．] ７．AD　[对于选项 A,因为数列是一类特殊的函数,其自变 量n∈N∗,所以数列的图象是一群孤立的点,故 A 正确; 对于选项B,常数列既不是递增数列,也不是递减数列,故 B错误;对于选项C,当n＝１时,a１＝２≠０,故 C错误;对 于选 项 D,因 为a１＝(２)０,a２＝ ２,a３＝(２)２,a４＝ (２)３,a５＝(２)４,􀆺,所以该数列的一个通项公式为an ＝(２)n－１,故 D正确．] ８．BD　[由an＋１－an＝ １ n(n＋１)＝ １ n－ １ n＋１ 得,当n≥２时, an－an－１＝ １ n－１－ １ n ,an－１－an－２＝ １ n－２－ １ n－１ ,􀆺,a３ －a２＝ １ ２－ １ ３ ,a２－a１＝１－ １ ２ ,将各式相加得an－a１＝ １－１n (n≥２),则an＝２－ １ n (n≥２)．当n＝１时,a１＝２－１ ＝１,满足上式,所以an＝２－ １ n ,当n＝３时,a３＝２－ １ ３ ＝５３． ] ９．解析:∵Sn＝ a１(４n－１) ３ ,a４＝３２, ∴a４＝S４－S３＝ ２５５a１ ３ － ６３a１ ３ ＝３２ ,∴a１＝ １ ２． 答案:１ ２ １０．解析:a１＝S１＝２－３＝－１, 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝(２n２－３n)－[２(n－１)２－ ３(n－１)]＝４n－５,由于a１ 也适合此等式,∴an＝４n－５． 答案:an＝４n－５ １１．解析:图③中共挖掉了８×９＋１＝７３(个)．设每次挖掉的 正方形个数为an,根据图形得a１＝１＝８０,a２＝８１,a３＝ ８２,则an＝８n－１,故递推公式为an＝８an－１(n≥２)． 答案:an＝８an－１(n≥２) １２．解:(１)设an＝kn＋b(k≠０),则 k＋b＝３, １０k＋b＝２１,{ 解 得 k＝２, b＝１,{ ∴an＝２n＋１(n∈N ∗),∴a２０２４＝４０４９． (２)∵a２,a４,a６,a８,􀆺为５,９,１３,１７,􀆺,∴bn＝４n＋１． １３．解:(１)因为an＝１＋ ６ n ,所以数列{an}是递减数列． 证明:在数列{an}中,an＝１＋ ６ n ,则an＋１＝１＋ ６ n＋１ ,所 以an＋１－an＝ １＋ ６ n＋１( ) － １＋ ６ n( ) ＝ ６ n＋１－ ６ n ＝ － ６n(n＋１)＜０ ,故数列{an}是递减数列． (２)若an＝n,即１＋ ６ n＝n ,变形可得n２－n－６＝０,解得 n＝３或n＝－２(舍去),故n＝３． １４．解:(１)因为Sn＝n２－n＋１,取n＝１可得S１＝１,故a１＝１; 取n＝２可得S２＝４－２＋１＝３,即a１＋a２＝３,故a２＝２; 取n＝３可得S３＝９－３＋１＝７,即a１＋a２＋a３＝７,故a３ ＝４．所以a１＝１,a２＝２,a３＝４． (２)当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝n２－n＋１－(n－１)２＋ (n－１)－１＝２n－２,又∵a１＝１,不满足上式．所以数列 {an}的通项公式为an＝ １,n＝１, ２n－２,n≥２．{ 高考冲浪 １．C　[因为{an}为等差数列,设其首项为a１,公差为d,则 Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d ,Sn n ＝a１＋ n－１ ２ d＝ d ２n＋a１－ d ２ , Sn＋１ n＋１－ Sn n ＝ d ２ , 故 Sn n{ }为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反 之, Sn n{ } 为 等 差 数 列, 即 Sn＋１ n＋１ － Sn n ＝ nSn＋１－(n＋１)Sn n(n＋１) ＝ nan＋１－Sn n(n＋１) 为常数,设为t, 即 nan＋１－Sn n(n＋１)＝t ,故Sn＝nan＋１－t􀅰n(n＋１),故Sn－１＝ (n－１)an－t􀅰n(n－１),n≥２, 两式相减有:an＝nan＋１－(n－１)an－２tn⇒an＋１－an＝ ２t,且为常数,对n＝１也成立,故{an}为等差数列,则甲是 乙的必要条件,故甲是乙的充要条件．故选C．] ２．C　[由题意可得:当n＝１时,a２＝２a１＋２, 即a１q＝２a１＋２,　① 当n＝２时,a３＝２(a１＋a２)＋２, 即a１q２＝２(a１＋a１q)＋２,　② 联立①②可得a１＝２,q＝３,则a４＝a１q３＝２×３３＝５４．] 假期必刷１２　等差数列的概念 技能提升台　技能提升 １．B　[如果数列{an}是等差数列,根据等差中项的定义可 得a３＋a９＝２a６,反之a３＋a９＝２a６ 成立,不一定得到数列 {an}是等差数列．] ２．D　[设 十 二 节 气 自 冬 至 日 起 的 日 影 长 构 成 等 差 数 列 {an},则立春当日日影长为a４＝９．５尺,春分当日日影长 为a７＝６尺,所以立夏当日日影长 为a１０＝２a７－a４＝ ２．５尺．] ３．A　[设等差数列{an}的公差为d,∵a３＋a４＋a５＝３,a８＝８, ∴３a４＝３,即a１＋３d＝１,a１＋７d＝８, 联立解得 a１＝－ １７ ４ , d＝７４． ì î í ïï ï 则a１２＝－ １７ ４＋ ７ ４×１１＝１５． ] ４．D　[设等差数列{an}的公差为d,则d＝ a２０２３－a１００ ２０２３－１００＝－ １,所以a２１２３＝a１００＋(２１２３－１００)d＝２０２３－２０２３＝０．] ５．D　[等差数列{an}的公差为１,且a２,a４,a７ 成等比数列,∴ (a１＋３)２＝(a１＋１)(a１＋６),解得a１＝３． ∴an＝３＋(n－１)＝n＋２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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(n２＋３n＋２)－[(n－１)２＋３(n－１)＋２]＝２n＋２,∵当 n＝１时,a１＝６不满足上式, ∴an＝ ６,n＝１, ２n＋２,n≥２．{ ∵a２－a１≠a３－a４,∴{an}不是等 差数列． １３．解:(１)因为在等差数列{an}中,a２＋a５＝２a１＋５d＝２４, a１７＝a１＋１６d＝６６,解得d＝４,a１＝２,所以a２０２４＝２＋ ２０２３×４＝８０９４． (２)由(１)得an＝２＋４(n－１)＝４n－２．令４n－２＝２０２４, 得n＝２０２６４ ∉N ∗,故２０２４不为数列{an}中的项． １４．解:(１)∵a１＝２,且 １ a１ － １a２ ＝ ２４S１－１ ,∴ １２ － １ a２ ＝ ２ ４×２－１＝ ２ ７ ,解得a２＝ １４ ３． (２)由１an － １an＋１ ＝ ２４Sn－１ (n∈N∗), 可得４Sn－１＝ ２anan＋１ an＋１－an ,① ∴４Sn－１－１＝ ２an－１an an－an－１ (n≥２)．② 由①－②得４an＝ ２anan＋１ an＋１－an － ２an－１an an－an－１ , an≠０,∴ an＋１ an＋１－an － an－１ an－an－１ ＝２, ∴ an＋１－an＋an an＋１－an － an－１ an－an－１ ＝ ２,即 an an＋１－an － an－１ an－an－１ ＝１(n≥２),即bn－bn－１＝１(n≥２)． 又b１＝ a１ a２－a１ ＝ ２１４ ３－２ ＝３４ ,∴数列{bn}是首项为 ３ ４ ,公 差为１的等差数列,∴{bn}的通项公式为bn＝ ３ ４＋ (n－ １)×１＝n－１４． 高考冲浪 １．C　[①充分性证明: 若{an}为递增数列,则对∀n∈N∗,an＋１＞an,公差d＝ an＋１－an＞０,取正整数N０,aN０＝a１＋(N０－１)d≥０成立 则当n＞N０ 时,存在an＞０． ②必要性证明: 若存在正整数N０,当n＞N０ 时,an＞０, ∵an＝a１＋(n－１)d, ∴d＞ d－a１ n ,对∀n＞N０,n∈N都成立, ∵lim n→＋∞ d－a１ n ＝０ ,且d≠０, ∴d＞０, ∴对∀n∈N,都有an＋１－an＝d＞０,an＋１＞an,即:{an}为 递增数列． 所以“{an}为递增数列”是“存在正整数 N０,当n＞N０ 时, an＞０”的充要条件． ∴选C．] ２．D　[由Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d 得S９＝９a１＋３６d＝１,∴a１ ＋４d＝１９ ,∴a３＋a７＝２a５＝２(a１＋４d)＝ ２ ９． ] 假期必刷１３　等差数列的前n项和公式 技能提升台　技能提升 １．B　[设等差数列{an}的公差为d,则２(a１＋６d)－(a１＋ １０d)＝a１＋２d＝４,所以S５＝５a１＋ ５×４ ２ d＝５ (a１＋２d)＝ ５×４＝２０．] ２．B　[设等差数列{an}的公差为d．因为S３＝７,S６－S３＝ ９,且S３,S６－S３,S９－S６ 成等差数列,所以S９－S６＝ ２(S６－S３)－S３＝１１,即a７＋a８＋a９＝１１．] ３．B　[∵ Sn Tn ＝７n＋５n－３ ,∴由等差数列的性质及等差数列的 求和公式可得 a１５ b１５ ＝ ２a１５ ２b１５ ＝ a１＋a２９ ２ ×２９ b１＋b２９ ２ ×２９ ＝ S２９ T２９ ＝７×２９＋５２９－３ ＝８．] ４．A　[∵数列{an}的前n项和为Sn,且an＋１＝an＋２,S５＝ －３５,∴数列{an}是等差数列,公差d＝an＋１－an＝２,且 ５a１＋１０d＝－３５,解得a１＝－１１．∴Sn＝－１１n＋ n(n－１) ２ ×２＝n２－１２n＝(n－６)２－３６,∴当Sn 取得最小值时,n 的值是６．] ５．C　[设每一层有n环,由题可知从内到外每环之间构成 公差d＝９,a１＝９的等差数列．由等差数列的性质知Sn, S２n－Sn,S３n－S２n成等差数列,且(S３n－S２n)－(S２n－ Sn)＝n２d,则９n２＝７２９,得n＝９,则三层共有扇面形石板 S３n＝S２７＝２７×９＋ ２７×２６ ２ ×９＝３４０２ (块)．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３７􀅰 假期必刷１２　等差数列的概念　　　　　　　 １．等差数列的概念 (１)如果一个数列从第　　项起,每一项与 它的前一项的差等于　　　　　,那么这个 数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数 列的　　　　,公差通常用字母d表示． 数学语言表达式:an＋１－an＝d(n∈N∗,d为常 数),或an－an－１＝d(n≥２,d为常数)． (２)若a,A,b成等差数列,则A 叫做a,b的等 差中项,且A＝　　　　．数列{an}是等差 数列⇔２an＝an－１＋an＋１(n≥２,n∈N∗)． ２．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a１,公差是d,则 其通项公式为an＝　　　　． 推广:(１)an＝am＋　　　　(m,n∈N∗)． (２)等差数列的通项公式与函数的关系an＝ dn＋(a１－d)是关于n的一次函数． (３)数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p,q为 常数)． ３．等差数列的有关性质 已知数列{an}是等差数列 (１)当m＋n＝p＋q时,am＋an＝ap＋aq(m,n, p,q∈N∗)．特别地,若m＋n＝２p,则am＋ an＝２ap(m,n,p∈N ∗)． (２)等差数列{an}的单调性:当d＞０时,{an} 是　　　　数列;当d＜０时,{an}是　　 　　数列;当d＝０时,{an}是　　　　． (３)若{an}是等差数列,公差为d,则相隔等距 离的 项 组 成 的 数 列 是 等 差 数 列,即ak, ak＋m,ak＋２m,􀆺,仍是等差数列,公差为　　 (k,m∈N∗)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)２　同一个常数　公差　(２)a＋b２ ２．a１＋(n－１)d　(１)(n－m)d ３．(２)递增　递减　常数列　(３)md 已知{an}为等差数列,d为公差． １．有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的 和相等,即a１＋an＝a２＋an－１＝a３＋an－２＝􀆺＝ ak＋an－k＋１＝􀆺． ２．若数列{an},{bn}是公差分别为d１,d２ 的等 差数列,则数列{pan},{an＋p},{pan＋qbn} 都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别 为pd１,d１,pd１＋qd２． ３．若am＝n,an＝m(m≠０),则am＋n＝０． １．“a３＋a９＝２a６”是“数列{an}为等差数列”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰 ２．«周髀算经»中有这样一个问题:冬至、小寒、 大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起, 其日影长依次成等差数列,立春当日日影长 为９．５尺,春分当日日影长为６尺,则立夏 当日日影长为 (　　) A．１６．５尺　　　　　B．１３尺 C．３．５尺 D．２．５尺 ３．在等差数列{an}中,若a３＋a４＋a５＝３,a８＝８, 则a１２的值是 (　　 ) A．１５ B．３０ C．３１ D．６４ ４．已知数列{an}为等差数列,且满足a１００＝ ２０２３,a２０２３＝１００,则a２１２３的值为 (　　) A．２０３３ B．２１２３ C．１２３ D．０ ５．已知等差数列{an}的公差为１,且a２,a４,a７ 成等比数列,则an＝ (　　 ) A．２n＋１ B．２n＋２ C．n＋１ D．n＋２ ６．已知{an}和{bn}是两个等差数列,其中 ak bk (１ ≤k≤５)为常值,a１＝２８８,a５＝９６,b１＝１９２, 则b３＝ (　　) A．６４ B．１２８ C．２５６ D．５１２ ７．(多选)已知各项均为正数的等差数列{an} 单调递增,且a５＝２,则 (　　) A．公差d的取值范围是 －∞,１２ æ è ç ö ø ÷ B．２a７＝a９＋２ C．a８＋a４＞a６＋a５ D．a１＋a９＝４ ８．(多选)已知等差数列{an}满足３a３＝４a４,则 该数列中一定不为零的项为 (　　) A．a６ B．a７ C．a８ D．a９ ９．在等差数列{an}中,a１＝ １ ２０２４ ,am＝ １ n ,an＝ １ m (m≠n),则数列{an}的公差为　　　　． １０．已知△ABC的一个内角为１２０°,并且三边 长构成公差为４的等差数列,则△ABC 的 面积为　　　　． １１．已知在等差数列{an}中,a２＝４,a６＝１６,若 在数列{an}中每相邻两项之间插入三个 数,使得新数列也是一个等差数列,则新数 列的第４１项为　　　　． １２．已知数列{an}的前n项和Sn＝n２＋３n＋２, 判断{an}是否为等差数列． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３３􀅰 １３．在等差数列{an}中,a２＋a５＝２４,a１７＝６６． (１)求a２０２４的值; (２)２０２４是否为数列{an}中的项? 若是, 则为第几项? １４．已知数列{an}的首项为２,前n项和为Sn, 且１ an － １an＋１ ＝ ２４Sn－１ (n∈N∗)． (１)求a２ 的值; (２)设bn＝ an an＋１－an ,求数列{bn}的通项 公式． １．(２０２２􀅰北京卷,６)设{an}是公差不为０的无 穷等差数列,则“{an}为递增数列”是“存在正整 数N０,当n＞N０ 时,an＞０”的 (　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．(２０２４􀅰全国甲卷(文),４)等差数列{an}的 前n项和为Sn,若S９＝１,则a３＋a７＝ (　　) A．－２　　　B．７３　　　C．１　　　D． ２ ９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４３􀅰