假期必刷11 数列的概念与简单表示法-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷１１　数列的概念与简单表示法　　　 １．数列的概念 (１)数列的定义:按照　　　　排列的一列数 称为数列,数列中的每一个数叫做这个数 列的　　． (２)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可 以看成以　　　　　　　　　　　　　　 　　为定义域的函数an＝f(n)．当自变量 按照从小到大的顺序依次取值时所对应的 一列函数值． (３)数列有三种表示法,它们分别是　　　　、 　　　　和　　　　　　． ２．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数 分类 有穷数列 项数　　　 无穷数列 项数　　　 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an＋１　　an 递减数列 an＋１　　an 常数列 an＋１＝an 其中n∈N∗ 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的 前一项,有些项小于它的前一 项的数列 ３．数列的两种常用的表示方法 (１)通项公式:如果数列{an}的第n 项an 与 　　　　之间的关系可以用一个式子　　 　　　来表示,那么这个公式叫做这个数 列的通项公式． (２)递推公式:如果已知数列{an}的第１项(或 前几项),且从第二项(或某一项)开始的任 一项an 与它的前一项an－１(或前几项)间 的关系可以用一个公式来表示,那么这个 公式就叫做这个数列的递推公式． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)一定顺序　项　(２)正整数集N∗(或它 的有限子集)　(３)列表法　图象法　通项公 式法 ２．有限　无限　＞　＜ ３．(１)序号n　an＝f(n) １．若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为 an,则an＝ S１,n＝１, Sn－Sn－１,n≥２．{ ２．在数列{an}中,若an 最大,则 an≥an－１, an≥an＋１,{ 若an 最小,则 an≤an－１, an≤an＋１．{ １．已知n∈N∗ ,给出４个表达式: ①an＝ ０,n为奇数, １,n为偶数,{ ②an＝ １＋(－１)n ２ ,③an ＝１＋cosnπ２ ,④an＝ sin nπ ２ ． 其中能作为 数列:０,１,０,１,０,１,０,１,􀆺的通项公式的是 (　　 ) A．①②③　　　　B．①②④ C．②③④ D．①③④ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰 ２．已知数列１,３,５,７,􀆺,２n－１,则３ ５ 是它的 (　　) A．第２２项　　　　　　　B．第２３项 C．第２４项 D．第２８项 ３．大衍数列,来源于«乾坤谱»中对易传“大衍 之数五十”的推论．主要用于解释中国传统 文化中的太极衍生原理．数列中的每一项, 都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪 数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界 数学史上第一道数列题．其前１０项依次是 ０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、４０、５０􀆺,则此数列 第２０项为 (　　 ) A．１８０ B．２００ C．１２８ D．１６２ ４．已 知 数 列 {an}满 足a１ ＝０,a２ ＝１,an ＝ ２＋an－２,n为奇数, ２×an－２,n为偶数{ (n≥３),则数列{an}的 前９项和为 (　　) A．３５ B．４８ C．５０ D．５１ ５．已知数列 {an}的通项公式为an＝ ６３ ２n ,若 a１×a２×􀆺×an≤a１×a２×􀆺×ak 对n∈ N∗ 恒成立,则正整数k的值为 (　　) A．５ B．６ C．７ D．８ ６．数列{an}的前n项和为Sn,若a１＝１,an＋１＝ ３Sn(n≥１),则a６ 等于 (　　) A．３×４４ B．３×４４＋１ C．４５ D．４５＋１ ７．(多选)下列有关数列的说法正确的是 (　　) A．数列的图象是一群孤立的点 B．如果一个数列不是递增数列,那么它一 定是递减数列 C．数列０,２,４,６,８,􀆺的一个通项公式为 an＝２n D．数列１,２,２,２ ２,４,􀆺的一个通项公式 为an＝(２)n－１ ８．(多选)在数列{an}中,a１＝１,an＋１－an＝ １ n(n＋１) ,则 (　　) A．a３＝ ７ ４ B．a３＝ ５ ３ C．an＝２－ １ n＋１ D．an＝２－ １ n ９．设 数 列 {an}的 前 n 项 和 为Sn,且 Sn ＝ a１(４n－１) ３ ,若a４＝３２,则a１＝　　　　． １０．已知数列{an}的前n项和Sn＝２n２－３n,则 {an}的通项公式为　　　　． １１．一个正方形被等分成九个相等的小正方 形,将最中间的一个小正方形挖掉,得图 ①;再将剩下的每个正方形都分成九个相 等的小正方形,并将其最中间的一个小正 方形挖掉,得图②;如此继续下去,则图③ 中共挖掉了　　　　个正方形,请写出每 次挖掉的正方形个数所构成的数列的一个 递推公式:　　　　　　　　． １２．已知在数列{an}中,a１＝３,a１０＝２１,an 是 关于项数n 的一次函数． (１)求{an}的通项公式,并求a２０２４; (２)若{bn}是由a２,a４,a６,a８,􀆺组成的,试 归纳{bn}的一个通项公式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 １３．已知数列{an}的通项公式为an＝１＋ ６ n． (１)判断数列{an}的单调性,并证明你的 结论; (２)若数列{an}中存在an＝n 的项,求n 的值． １４．设数列{an}的前n项和为Sn,Sn＝n２－n＋１． (１)写出a１,a２,a３ 的值; (２)求数列{an}的通项公式． １．(２０２３􀅰新课标Ⅰ卷,７)记Sn 为数列{an}的 前n 项 和,设 甲:{an}为 等 差 数 列;乙: Sn n{ }为等差数列．则 (　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 ２．(２０２３􀅰天津卷,６)已知{an}为等比数列,Sn 为数列{an}的前n项和,an＋１＝２Sn＋２,则 a４ 的值为 (　　) A．３ B．１８ C．５４ D．１５２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 假期必刷１１　数列的概念与简单表示法 技能提升台　技能提升 １．A　[检验知①②③都是所给数列的通项公式．] ２．B　[观察可知数列的通项公式是an＝ ２n－１, 令an＝ ２n－１＝３ ５＝ ４５,得n＝２３．] ３．B　[由０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、４０、５０􀆺, 可得偶数项的通项公式:a２n＝２n２． 则此数列第２０项a２０＝２×１０２＝２００．] ４．A　[由题得当n＝３时,a３＝２＋０＝２,当n＝４时,a４＝２ ×１＝２,当n＝５时,a５＝２＋２＝４,当n＝６时,a６＝２×２＝ ４,当n＝７时,a７＝２＋４＝６,当n＝８时,a８＝２×４＝８,当 n＝９时,a９＝２＋６＝８,所以{an}的前９项和S９＝a１＋a２ ＋􀆺＋a９＝１＋２＋２＋４＋４＋６＋８＋８＝３５．] ５．A　[an＝ ６３ ２n ,当n≤５时,an＞１;当n≥６时,an＜１,由题 意知,a１×a２×􀆺×ak 是{an}的前n项乘积的最大值,所 以k＝５．] ６．A　[当n≥１时,an＋１＝３Sn,则an＋２＝３Sn＋１, ∴an＋２－an＋１＝３Sn＋１－３Sn＝３an＋１,即an＋２＝４an＋１, ∴该数列从第二项开始是以４为公比的等比数列． 又a２＝３S１＝３a１＝３,∴an＝ １　　(n＝１), ３×４n－２(n≥２)．{ ∴当n＝６时,a６＝３×４６－２＝３×４４．] ７．AD　[对于选项 A,因为数列是一类特殊的函数,其自变 量n∈N∗,所以数列的图象是一群孤立的点,故 A 正确; 对于选项B,常数列既不是递增数列,也不是递减数列,故 B错误;对于选项C,当n＝１时,a１＝２≠０,故 C错误;对 于选 项 D,因 为a１＝(２)０,a２＝ ２,a３＝(２)２,a４＝ (２)３,a５＝(２)４,􀆺,所以该数列的一个通项公式为an ＝(２)n－１,故 D正确．] ８．BD　[由an＋１－an＝ １ n(n＋１)＝ １ n－ １ n＋１ 得,当n≥２时, an－an－１＝ １ n－１－ １ n ,an－１－an－２＝ １ n－２－ １ n－１ ,􀆺,a３ －a２＝ １ ２－ １ ３ ,a２－a１＝１－ １ ２ ,将各式相加得an－a１＝ １－１n (n≥２),则an＝２－ １ n (n≥２)．当n＝１时,a１＝２－１ ＝１,满足上式,所以an＝２－ １ n ,当n＝３时,a３＝２－ １ ３ ＝５３． ] ９．解析:∵Sn＝ a１(４n－１) ３ ,a４＝３２, ∴a４＝S４－S３＝ ２５５a１ ３ － ６３a１ ３ ＝３２ ,∴a１＝ １ ２． 答案:１ ２ １０．解析:a１＝S１＝２－３＝－１, 当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝(２n２－３n)－[２(n－１)２－ ３(n－１)]＝４n－５,由于a１ 也适合此等式,∴an＝４n－５． 答案:an＝４n－５ １１．解析:图③中共挖掉了８×９＋１＝７３(个)．设每次挖掉的 正方形个数为an,根据图形得a１＝１＝８０,a２＝８１,a３＝ ８２,则an＝８n－１,故递推公式为an＝８an－１(n≥２)． 答案:an＝８an－１(n≥２) １２．解:(１)设an＝kn＋b(k≠０),则 k＋b＝３, １０k＋b＝２１,{ 解 得 k＝２, b＝１,{ ∴an＝２n＋１(n∈N ∗),∴a２０２４＝４０４９． (２)∵a２,a４,a６,a８,􀆺为５,９,１３,１７,􀆺,∴bn＝４n＋１． １３．解:(１)因为an＝１＋ ６ n ,所以数列{an}是递减数列． 证明:在数列{an}中,an＝１＋ ６ n ,则an＋１＝１＋ ６ n＋１ ,所 以an＋１－an＝ １＋ ６ n＋１( ) － １＋ ６ n( ) ＝ ６ n＋１－ ６ n ＝ － ６n(n＋１)＜０ ,故数列{an}是递减数列． (２)若an＝n,即１＋ ６ n＝n ,变形可得n２－n－６＝０,解得 n＝３或n＝－２(舍去),故n＝３． １４．解:(１)因为Sn＝n２－n＋１,取n＝１可得S１＝１,故a１＝１; 取n＝２可得S２＝４－２＋１＝３,即a１＋a２＝３,故a２＝２; 取n＝３可得S３＝９－３＋１＝７,即a１＋a２＋a３＝７,故a３ ＝４．所以a１＝１,a２＝２,a３＝４． (２)当n≥２时,an＝Sn－Sn－１＝n２－n＋１－(n－１)２＋ (n－１)－１＝２n－２,又∵a１＝１,不满足上式．所以数列 {an}的通项公式为an＝ １,n＝１, ２n－２,n≥２．{ 高考冲浪 １．C　[因为{an}为等差数列,设其首项为a１,公差为d,则 Sn＝na１＋ n(n－１) ２ d ,Sn n ＝a１＋ n－１ ２ d＝ d ２n＋a１－ d ２ , Sn＋１ n＋１－ Sn n ＝ d ２ , 故 Sn n{ }为等差数列,则甲是乙的充分条件; 反 之, Sn n{ } 为 等 差 数 列, 即 Sn＋１ n＋１ － Sn n ＝ nSn＋１－(n＋１)Sn n(n＋１) ＝ nan＋１－Sn n(n＋１) 为常数,设为t, 即 nan＋１－Sn n(n＋１)＝t ,故Sn＝nan＋１－t􀅰n(n＋１),故Sn－１＝ (n－１)an－t􀅰n(n－１),n≥２, 两式相减有:an＝nan＋１－(n－１)an－２tn⇒an＋１－an＝ ２t,且为常数,对n＝１也成立,故{an}为等差数列,则甲是 乙的必要条件,故甲是乙的充要条件．故选C．] ２．C　[由题意可得:当n＝１时,a２＝２a１＋２, 即a１q＝２a１＋２,　① 当n＝２时,a３＝２(a１＋a２)＋２, 即a１q２＝２(a１＋a１q)＋２,　② 联立①②可得a１＝２,q＝３,则a４＝a１q３＝２×３３＝５４．] 假期必刷１２　等差数列的概念 技能提升台　技能提升 １．B　[如果数列{an}是等差数列,根据等差中项的定义可 得a３＋a９＝２a６,反之a３＋a９＝２a６ 成立,不一定得到数列 {an}是等差数列．] ２．D　[设 十 二 节 气 自 冬 至 日 起 的 日 影 长 构 成 等 差 数 列 {an},则立春当日日影长为a４＝９．５尺,春分当日日影长 为a７＝６尺,所以立夏当日日影长 为a１０＝２a７－a４＝ ２．５尺．] ３．A　[设等差数列{an}的公差为d,∵a３＋a４＋a５＝３,a８＝８, ∴３a４＝３,即a１＋３d＝１,a１＋７d＝８, 联立解得 a１＝－ １７ ４ , d＝７４． ì î í ïï ï 则a１２＝－ １７ ４＋ ７ ４×１１＝１５． ] ４．D　[设等差数列{an}的公差为d,则d＝ a２０２３－a１００ ２０２３－１００＝－ １,所以a２１２３＝a１００＋(２１２３－１００)d＝２０２３－２０２３＝０．] ５．D　[等差数列{an}的公差为１,且a２,a４,a７ 成等比数列,∴ (a１＋３)２＝(a１＋１)(a１＋６),解得a１＝３． ∴an＝３＋(n－１)＝n＋２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２７􀅰