假期必刷10 直线与圆锥曲线的位置关系-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷１０　直线与圆锥曲线的位置关系　　　　　　 　直线与圆锥曲线的位置关系的判定 (１)代数法:把圆锥曲线方程与直线方程联立消 去y,整理得到关于x的方程ax２＋bx＋c＝０． 方程ax２＋bx＋c＝０的解 l与C１ 的交点 a＝０ b＝０ 无解(含l是双曲线的渐 近线) 　　　　 b≠０ 有一解(含l与抛物线的 对称轴平行或与双曲线 的渐近线平行) 　　　　 a≠０ Δ＞０ 两个　　的解 　　　　 Δ＝０ 两个相等的解 　　　　 Δ＜０ 无实数解 无公共点 (２)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲 线和直线,利用图象和性质可判定直线与 圆锥曲线的位置关系． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)无公共点　一个交点　不等　两个交点 　一个切点 １．直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k(k≠０)的直线l与圆锥曲线C相交于 A,B两点,A(x１,y１),B(x２,y２),则|AB|＝ １＋k２ |x１－x２|＝ １＋k２􀅰 (x１＋x２)２－４x１x２＝ １＋ １ k２ 􀅰|y１－y２|＝ １＋ １ k２ 􀅰 (y１＋y２)２－４y１y２．特别, 若直线过抛物线的焦点,则弦长|AB|＝x１＋ x２＋p＝ ２p sin２α (α为弦AB 的倾斜角)． ２．中点弦的重要结论 AB 为椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的 弦, A(x１,y１),B(x２,y２),弦中点 M(x０,y０)． (１)斜率:k＝－ b２x０ a２y０ ． (２)弦AB 的斜率与弦中点M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值－b ２ a２ １．直线y＝kx－k＋１与椭圆x ２ ９＋ y２ ４＝１ 的位 置关系为 (　　 ) A．相交　　　　　　　B．相切 C．相离 D．不确定 ２．直线y＝x＋１截抛物线y２＝２px(p≠０)所 得弦长为２ ６,此抛物线方程为 (　　) A．y２＝－２x B．y２＝６x C．y２＝－２x或y２＝６x D．以上都不对 ３．若直线y＝kx与双曲线x ２ ９－ y２ ４＝１ 相交,则 k的取值范围是 (　　) A．０,２３ æ è ç ö ø ÷ B．－２３ ,０ æ è ç ö ø ÷ C．－２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ D．－∞,－２３ æ è ç ö ø ÷∪ ２３ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２􀅰 ４．过点P(２,１)的直线l与双曲线x２－y ２ ３＝１ 相交于A,B 两点．若P 是线段AB 的中点, 则直线l的方程是 (　　) A．６x－y－１１＝０ B．６x＋y－１３＝０ C．２x－３y－１＝０ D．３x－２y－４＝０ ５．已知F 为抛物线C:y２＝４x的焦点,过点F 的直线l交抛物线C 于A,B 两点．若|AB| ＝８,则线段AB 的中点M 到直线x＋１＝０ 的距离为 (　　) A．２　　　B．４　　　C．８　　　D．１６ ６．已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的右焦点 为F(３,０),过点F 的直线交E 于A,B 两 点．若AB 的中点坐标为(１,－１),则E 的方 程为 (　　) A．x ２ ４５＋ y２ ３６＝１ B． x２ ３６＋ y２ ２７＝１ C．x ２ ２７＋ y２ １８＝１ D． x２ １８＋ y２ ９＝１ ７．(多选)已知椭圆的方程为x ２ ２＋ y２ ４＝１ ,斜率 为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交 于A,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列 结论正确的是 (　　) A．直线AB 与OM 垂直 B．若点M(１,１),则直线方程为２x＋y－３＝０ C．若直线方程为y＝x＋１,则点 M １３ ,３ ４ æ è ç ö ø ÷ D．若直线方程为y＝x＋２,则|AB|＝４ ２３ ８．(多选)已知抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点 F(２,０),直线y＝kx＋m 与该抛物线相交于 A,B 两点,M(２,１)是AB 的中点,点P 在抛 物线上,O 为坐标原点,则下列结论正确 的是 (　　) A．k＝２ B．m＝－７ C．(|PF|＋|PM|)min＝４ D．△AOB 的面积是７ １５４ ９．斜率为 ３的直线过抛物线C:y２＝４x的焦点, 且与C交于A,B两点,则|AB|＝ 　． １０．已知直线y＝x＋m 被椭圆４x２＋y２＝１截 得的弦长为２ ２ ５ ,则m 的值为　　　　． １１．过点M(２,－２p)作抛物线x２＝２py(p＞０)的 两条切线,切点分别为A,B,若线段AB 的 中点的纵坐标为６,则p的值是　　　　． １２．已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的离心 率为 ３ ２ ,左、右 顶 点 分 别 为 A(－２,０), B(２,０)． (１)求椭圆C的方程; (２)过点E(１,０)作斜率为k的直线l与椭 圆C 交于不同的两点M,N(异于A,B 两 点),直线AM,AN 分别交直线x＝１于P, Q 两点,当|PQ|＝２时,求k的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 １３．如图所示,点A,B 分别 是椭圆x ２ ３６＋ y２ ２０＝１ 长轴 的左、右端点,点F 是椭 圆的右焦点,点 P 在椭 圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF． (１)求点P 的坐标; (２)设 M 是椭圆长轴AB 上的一点,点 M 到直线AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的 点到点 M 的距离d 的最小值． １４．已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右 焦点分别为F１,F２,点P １, ３ ２ æ è ç ö ø ÷在C 上,且 PF２⊥F１F２． (１)求C的标准方程; (２)设C的左、右顶点分别为A,B,O 为坐 标原点,直线l过右焦点F２ 且不与x轴垂 直,l与C 交于M,N 两点,直线AM 与直 线BN 相交于点Q,证明:点 Q 在定 直 线上． １．(２０２４􀅰天津卷,１８)已知椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a ＞b＞０)的离心率e＝１２ ,左顶点为A,下顶 点为 B,C 是线段OB 的中点,其中S△ABC ＝３ ３２ ． (１)求椭圆的方程; (２)过点 ０,－３２ æ è ç ö ø ÷的动直线与椭圆有两个交 点P,Q．在y轴上是否存在点T 使得TP →􀅰 TQ → ≤０．若存在,求出点T 纵坐标的取值范 围,若不存在,请说明理由． ２．(２０２４􀅰北京卷,１９)已知椭圆方程C:x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０),焦点和短轴端点构成边长 为２的正方形,过 (０,t)(t＞ ２)的直线l与 椭圆交于A、B,点C(０,１),连接AC 交椭圆 于D． (１)求椭圆E 的方程和离心率; (２)若直线BD 的斜率为０,求t． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 三022 富二数学) 13.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， 假期必刷10直线与圆锥曲线的位置关系 .(-8)2=2p×8. ∴2p=8,抛物线方程为y2=8.x. 技能提升台技能提升 (2)由直线l2与41垂直，可设直线l2:x=y十m, L.A[直线y=kx一k+1=(x一1)+1恒过定点(1,1)，又 A(x1y1).B(x2y2),且直线2与x轴的交点为M. 点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.] 由=8，得y-8y-8m=0, 2.c[由得r2+(2-2px+1=0.1+=2p {y2=2p.x x=y十m, △=64十32m>0, -2,x1x2=1.∴2v6=√1+1P·√(x+t2)2-4x1.x2=√2 ∴.m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m, ·√(2p-2)2-4.解得p=-1或p=3, 12= 经=㎡ .抛物线方程为y2=-2x或y2=6x.故选C.] 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, 品C[风南线写一学-1的新远线方程海=士导，若主 0 4 ∴m=8或m=0(会)，.直线l2:x=y十8，M(8,0). 故SaB=Sa+SaM=言·FM·0-为 线与双由线相文，最彩结合，得∈（号，号）门 =3√(y十y2)2-4y1y2=24V5. 4.A[设A(x1y1),B(x2y2),则 两式相减 14.解：)选①：设P,由题意PF=十之 /-+2=1+ 得直线1的斜率为二兰-3十2)_3X2=6.又直 x1一x2 y1十3y 1 整理可得y2=x十|x,即y2=2.x(x>0) 线1过点P(2,1),所以直线1的方程为y一1=6(x一2)， 或y=0(x≤0)， 即6x一y一11=0，经检验此时直线1与双曲线有两个 所以曲线C的方程为y2-2x(x>0)或y=0(x≤0). 交点.] 选②：过P作y轴的垂线，垂足 5.B[如图，抛物线v2=4x的焦点 y 为F(1,0),准线为直线x=一1， 为，交直线=一于点P, 即x十1=0.过A,B作准线的垂 设动圆的圆心为E,半径为r,则 线，垂足分别为C,D,则有AB 点E到y轴的距离为r, =AF+BF=AC+BD 在梯形OFPH中，由中位线性 =8.过AB的中点M作准线的垂 0 质可得PH=2-之 线，垂足为N,则MN为直角梯形 ABDC的中位线，则|MN|= 所以P1-2-号+号-2 多AC+BD)-4,岸点M到 又PF|=2r,所以|PP'I=|PFf, 准线x十1=0的距离为4.] ri yi z,y吃 由抛物线的定义知，点P是以F(合0）为焦点的抛 6.D[设A).Br2),则+F-1, =1, 62 物线， 两式作差并化简变形得出一业 所以曲线C的方程为y2=2.. 工1一x2 (2)设M(x1y).N(x2,y2),将y=k(xr-2)代入y =2x, 、十而二2=0=（一卫=1， x1-x23-1 201+x2=2 消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. y1+y2=-2,所以a2=262,又国为a2-62=c2=9,于是 剥4=4(2k2+12-42·h>0H+=22+D a2=18,b2=9.故选D.] 2 7.BD[设A(x1y),B(x2,y2),M(m,n),y1+y2≠0，由 _42+2,x12=4 2 题唐得于+营=1，兽+号=1，两我相减可得 故1MN1=√/1十k2E1-x2 (y1-2)y十22+一x)十》=0，所以kB 4 2 =√1十k/(x1十x2)2-4x1x2 -1+g/2-16=2而. 2十2因为m=122n=22,所以w yI+yz 2 k 化简得(1十k2)(16k2+4)=40k,解得2=1（负值舍 卫=当十型，所以kkaM=一2，故A错误.因为kAkM mx1十x2 去)故k=士1， =一2，kM=1,所以kB=一2，则直线方程为y一1= 高考冲浪 一2(x一1)，即2x+y一3=0，故B正确.由 1.解析：设P点坐标为(x0,y%),P到准线的距离为9，即x0 十1=9，x0=8,代入抛物线方程，可得y0=士42，则P .可得2+红一8=0，所以十-号 到x轴的距离为4w2. 则中点M(吉号)故C特误由{品 答案：4√2 2+y4,可得 2.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则p=8,所 32+4r=0,解得1=0=-3，则1AB1=1中T× 以其焦点坐标为(4,0). 答案：(4,0) ·69· 飞曼快乐假阴 c900= 8.BCD[如图，由题意得抛物线的 (2)设直线MN的方程为y=k(x一1)(k≠0)，联立直线 方程为y2=8.x,点P是抛物线y =8x上的一点，过点P向抛物线 MN与辅國的方程 +y2=1,整理得1+42) 4 的准线作垂线，垂足为P,则|PF y=k(x-1), +IPM=IPP'1+|PM1,因为 8k2x+4k2-4=0. (IPP'+PMI)min =IMP'l, 8k2 以(|PF+|PM)min=4,故C正 设M(,y),N(2归)，则西十=1十4e1 确：设A(x1y1),B(x2y2),x1子 4k2-4 x2,则y=8.x1y吃=8.x2,所以呢 1+4k2 一=8(x2一)，所以k=2一当=8 ，因为M(2, x2一x1y2十y1 因为直线AM的方程为y一汁2红+2)，令=1 1)为AB的中点，所以y1十y2=2,所以k=4,故A不正 得y= 3y1 确：所以直线AB的方程为y=4x十m,因为直线过点 2所以P M(2,1),所以m=一7，故B正确：所以直线AB的方程为 周为直线AV的方程为y产2中2》，令=1 {y2=8x, 得y= =0.所以十%二2，所以m一=25，所以 以Q) 3y2 (y13y2=-14.1 因此PQ= 3y13y2 =2. △A0B的面积为0C1m--7压，故D正确.] x1+2x2+2 即 3k(x1-1)3k(.x2-1) 9.解析：设A(x1y1),B(x2y),又直线AB: +2 x2+2 =2. y=3(.x-1). 化简得9k(x1一x2)=2x1x2十2(x1+x2)+4, 由5x-1》,得，3r2-10x十3=0，则十2 10 将x十x2= 8k2 1+4k21-2 件人释6小 y2=4z 4h2-4+2×8k2 所以1AB=1十+p-9+2- =21+42十1+4 4 1十4，所以(-2)2 72k2 答案9 a所a(e 64k2 一42-4 64k2 1+4k2(1+42)2 化简得k2一1，进而得k=士1. 10.解析：把直线y=x十m代入椭圆方程得4x2十(x十m) 13.解：(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0), =1,即5.x2+2mx十m2一1=0，设该直线与椭圆相交于 设点P的坐标是(x,y), 两点A(x1y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程5x2+2md +m2-1=0的两根，△=4m2-20(m2-1)=一16m2+ 则AP=(x+6.y),FP=(x-4,y). 20>0,即m2<号由韦达定理可得十2=20， PA⊥PF,AP.FP=0 1·x2= m,所以1AB1=T· (x+6)(x-4)+y2=0, x1+x2)2-4z1x=2√25 4m2m2-4_2巨，所以 5 5 可得22+9-18=0，得=2成x-6 m=士1. 答案：士1 由于>0，故=号得y59 2 1山，解析：设点A(y),B(x2y2),依题意得，y'= 成P的金标灵（层学习 切线MA的方程是y-y=(x-),即y=x (2)由(1)可得直线AP的方程是x一√3y十6=0，点B p p (6,0) 票又友MC,-2》B于直线MA上，于是有-0-号 设点M的坐标是(m,0). ×2-即-一p=0:月理有疗-一妙=0， 则点M到直线AP的距离是m十6， 2 因此x1x2是方程x2-4x一4p2=0的两根，则x1十x2 于是m6=m-61, 2 =4,1x2=一4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得， 又一6≤m≤6，解得m=2. 十为=12,9=+2型=12. 由辅圆上的点(x,y)到点M的距离为d, 2p 2p 16+8p2=12,解得p=1或p=2. 得d2=(x-2)2+y2=2-4x+4+20-5x2= 2p 答案：1或2 台(-号)广+15，由于-6<<6… 12解：1由题意可知=台-号a=2,所以c=,b 由x)-号气-是)°+15的国象可知 后-=1，所以描周C的方程为号+y=1. 当=号时d取最小值，且最小值为√厅。 ·70· 三022 高二数学 1.I)解：PFFF.P,2) =(1+k2)x1x2 (侵+小国++（侵+）=1+ c=1,.F1(-1.0),F2(1.0) pPF,2+(2- ×(a平e)(2+)+(受+ PE,+PF=号+号=4=2a,a=2 -27-27-182-12+3(3+）+(3+2)2 3+4 6=原C的标准方程为号+号-1 [3+2-12a-45]2+32+）-27 (2)证明：设直线l:y=k(x-1), 3+4k2 M(r),N(zz2),Q(o0). 因为TP·TQ≤0， 由题意知A(一2,0)，B(2,0), ,(3+2t)2-121-45≤0 y=k(.x-1), 后+号-1.年8+-8+-12-0 由 {3(停+-27<0，解得-1≤号 8k2 4k2-12 六+工2=3十421=3+4k2 若过点(0。一)的动直线的率不存在， 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3).Q(0,3). 由A,M,Q三点共线可得y0。= o+2+20 此时需-3<3，两者结合可得-3<. 由B,N,Q三点共线可得0。 综上，存在T0)且-3<1<号使得TP,T0<0, 会 2解：D由题意=号=②.从而a=十乙=3 将听=4-)暖=是(4-)代入上式 得。-2》-42十)+4型 所以精国方程为号十苦-1，高心率为一 2 (xo+2)24+2(x1+x2)+x1x2 (2)显然直线AB斜率存在，否则 8k2 B,D重合，直线BD斜率不存在 又x1+双3+441=二12 3+4k2 与题意不符，同样直线AB斜率 -2)21 不为0，否则直线AB与楠园无 “(0+2)=g,由题意知0>2. 交点，矛盾. x0=4,∴点Q在定直线x=4上 从而设AB:y=kx十t,(t>√2)， 高考冲浪 A(1),B(xgy2). 1.解：1)因为椭周的高心率为e=2,故a=2,6=Bc,共 展主后+苦-1，化药并生聚得1十22+r十2 中c为半焦距， (y=kx+t 所以A-20.B0,-.c0,-} -4=0, 由题意△=16k22-8(2k2+1)(2-2)=8(4k2+2-12) 故5△=吉×2x×停=3，解释=， >0,即k,1应满足4h2+2->0,所以十21十2次 一4k1 所以a=2,原.6=3，故精周方粒为号+号-1 212-4 x1x2-2k2+1' (2)若过点(0，-受)的动直线 y米 若直线BD斜率为0，由辅园的对称性可设D(一x2,y2), 的斜率存在，则可设直线方程 所以AD:y=兰(x一)十1，在直线AD方程中令 为y=kr一 3 x1十x2 x=0, 设P(y),Q(22).T(0,t), 得必=业十2y 3.x2+4y2=36 x1十x2 -是· 由 -(k2+)+x2(k十D x1十x2 可得(3十4k2)x2-12kx-27=0, 故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0且x1+x2 2++_2+=子=1. x十x2 -4k =12k 3十4k229= 27 所以1=2， 3+4k2 此时大痘满足十2-1=4-2>0，即应满足< k≠0 而TP=(x1,y1-t),TQ=(x2:y2-t),故TP·TQ x1x2+（y-）(y2-）=x1x2 2 +(-是-)(-受-） 格上所送，=2满足题意，此时K-号我6>号 2 ·71·