假期必刷9 抛物线-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷９　抛 物 线　　　　　　　 １．抛物线的定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F∉ l)的　　　　的点的轨迹叫做抛物线．　　 　　叫做抛物线的焦点,　　　　叫做抛物 线的准线． ２．抛物线的标准方程(p＞０) 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．距离相等　定点　定直线 ２． 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y２＝２px (p２ ,０) x＝－p２ y２＝－２px (－p２ ,０) x＝p２ x２＝２py (０,p２ ) y＝－ p ２ x２＝－２py (０,－p２ ) y＝ p ２ 判断焦点位置及开口方向的记忆口诀 焦点要看一次项,符号确定开口方向; 如果y是一次项,负时向下,正向上; 如果x是一次项,负时向左,正向右． １．已知抛物线的准线方程为x＝－７,则抛物 线的标准方程为 (　　) A．x２＝－２８y　　　　B．y２＝２８x C．y２＝－２８x D．x２＝２８y ２．已知抛物线的标准方程y２＝４x,则它的准 线方程是 (　　) A．x＝－１ B．x＝１ C．y＝－１ D．y＝１ ３．已知抛物线y２＝２px(p＞０),过其焦点且斜 率为１的直线交抛物线于A,B 两点,若线 段AB 的中点的纵坐标为２,则该抛物线的 准线方程为 (　　) A􀆰x＝１ B􀆰x＝－１ C􀆰x＝２ D􀆰x＝－２ ４．已知抛物线y２＝２px(p＞０)的准线经过点 (－１,１),则该抛物线的焦点坐标为 (　　) A．(－１,０) B．(１,０) C．(０,－１) D．(０,１) ５．已知抛物线C:y２＝８x的焦点为F,点 M 在 C 上,若 M 到直线x＝－３的距离为５,则 |MF|＝ (　　) A．７ B．６ C．５ D．４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３２􀅰 ６．已知抛物线C:y２＝４x 的焦点为F,过点 A(０,２)且与抛物线C 有唯一公共点的直 线有 (　　) A．１条 B．２条 C．３条 D．４条 ７．(多选)已知抛物线的顶点为原点,焦点在y 轴上,抛物线上点 M(m,－２)到焦点的距离 为４,则m 的值可能为 (　　) A．－４ B．－２ C．４ D．２ ８．(多选)已知抛物线C:y２＝２px 的焦点为 F,点P(９,６)在C 上,直线PF 交C 于另一 点Q,则 (　　) A．C的准线方程为x＝１ B．直线PQ 的斜率为３４ C．|FQ|＝２ D．线段PQ 的中点的横坐标为４１９ ９．设抛物线y２＝２px(p＞０)的焦点为F,点 A(０,２),若线段FA 的中点B在抛物线上,则 点B到该抛物线准线的距离为　　　　． １０．已知抛物线:y２＝２px(p＞０)．若第一象限 的A,B 两点在抛物线上,焦点为F,|AF| ＝２,|BF|＝４,|AB|＝３,则直线AB 的斜 率为　　　　． １１．应用抛物线和双曲线的 光学性质,可以设计制造 反射式天文望远镜,这种 望远镜的特点是镜筒可 以很短而观察天体运动 又很清楚．某天文仪器厂设计制造的一种 反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中 心截口示意图)所示．其中,一个反射镜 PO１Q 弧所在的曲线为抛物线,另一个反 射镜 MO２N 弧所在的曲线为双曲线的一 个分支．已知F１,F２ 是双曲线的两个焦点, 其中F２ 同时又是抛物线的焦点,且∠NF２F１ ＝４５°,tan∠NF１F２＝ １ ４ ,△NF１F２ 的面积为 １０,|O１F２|＝８,以F１F２ 的中点O 为原点, F１F２ 所在直线为x轴,建立平面直角坐标 系,则抛物线方程为　　　　　　　　　． １２．若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦 点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线 上的一点,且|AM|＝ １７,|AF|＝３,求此 抛物线的标准方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２􀅰 １３．已知抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点为 F,抛物线C与直线l１:y＝－x的一个交点 的横坐标为８． (１)求抛物线C的方程; (２)不过原点的直线l２ 与l１ 垂直,且与抛 物线交于不同的两点A,B,若线段AB 的 中点 为 P,且|OP|＝|PB|,求 △FAB 的面积． １４．在平面直角坐标系xOy中,设点P 的轨迹 为曲线C．①点P 到F １２ ,０ æ è ç ö ø ÷的距离比P 到y 轴的距离大１２ ;②过点F １２ ,０ æ è ç ö ø ÷ 的动 圆恒与y轴相切,FP 为该圆的直径．在① 和②中选择一个作为条件． (１)选择条件:　　　　,求曲线C的方程; (２)设直线y＝k(x－２)(k≠０)与曲线C相 交于M,N 两点,若|MN|＝２ １０,求实数 k的值． 注:如果选择两个条件分别解答,按第一个 解答计分． １．(２０２４􀅰上海卷,７)已知抛物线y２＝４x上有 一点P 到准线的距离为９,那么点P 到x 轴 的距离为　　　　． ２．(２０２４􀅰北京卷,１１)已知抛物线y２＝１６x, 则焦点坐标为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２􀅰 快乐假期 c900= 4.解，)国为e=2.即2，所以三4 假期必刷9抛物线 技能提升台技能提升 因为a2=1,所以c2=4. 1.B 图为a2+=2,所以=3，所以b=3(负值会去) 2.A[因为抛物线的标准方程为y2=4江，所以其准线方程 (2)因为△MA2P为等腰三角形， 为x=-1.] ①若MA,为底，则点P在直线E=-7,与P在第一象 3.B4.B 5.D[因为抛物线C:y2=8.x的焦点F(2,0),准线方程为 限矛盾，故含去 x=一2，点M在C上， ②若A2P为底，则MP=MA2,与MP>MA2矛盾， 所以M到准线x=一2的距离为|MF, 故舍去 又M到直线x=-3的距离为5， ③若MP为底，则MA2=PA2 所以MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.] 设P(xy0),xa>0,y>0. 6.C[由抛物线的方程为y2=4x,知F(1,0).当过点A的 直线斜率不存在，即直线与y轴重合时，满足直线与抛物 则/(x0-1)2+(yo-0)2=3,即(x0-1)2+y%2=9, 线C有唯一公共点.当过点A的直线斜率为0时，直线方 又周为2-2=1. 程为y=2,满足直线与抛物线C有唯一公共点.当过点A 8 的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx十2，由 得6-12+(8-1D×号-9，得11,2-6w-32-0. ,红十2，得关于x的方程22+(4-4)x+4=0,令 {y2=4x, 得x0=2,%=22,即P点坐标为P(2,2√2). 4=(4k-4)2-4X4X=0,解得灰=合，此时满足条件 (3)由A(-1,0),A2(1,0),设P(x1·y1),Q(x2y2),则 的直线有1条，综上，过点A与抛物线C有唯一公共点的 R(-,-g,液直线1=my-2m>号）}片 直线有3条.] 7.AC 1 8.BD[对于A,点P(9,6)在抛物线C上，.18p=36,解 x=my-2(m>)1 得p=2,故C的方程为y2=4x,焦点为F(1,0),准线方 联立 得(b2m2-1)y2-4bmy+ 程为=-1A错溪：对于B,直线PQ的针率人-日 Ab2m y+业62m2-1了 子B正确：对于C,直钱PQ的方程为y=子-D.联 3b=0,则 3 3b2. 立抛物线方程得 y‘%=m2-司 y2=4x, y=6, A1R=(-x2+1,-为).AP=(-1y).又AR·AP =1,得(-x2+1)(c1-1)-y132=1. 2即Q(日，-)故FQ-号+-号+1 即(x2-1)(x1-1)十y1y2=-1,即(my2-3)(my1-3) 3 +y1y2=-1, 1 化简后可得到(m2+1)y1y2一3m(y十y2)+10=0, 9十9 所以32(m2+1)-12m262+10(b2m2-1)=0,化简 吕，C错误：对子D线段PQ的中点的横坐标为 b2m2+362-10=0, 号D正瑞】 所以62= g反1a.9 又m2≠是所以0 106 1+3 36+得≠3，所以 11.解析：不妨设F1(-c,0),F2(c,0),N(0,yo)(x0>0,y0 6 >0.由am∠NF,E2=子∠NF,R=45则有 ∈(0,3)U(3.号]又6>0，故6的取值范周是(0U 解得=号，物=号，又5a 1 y%=c-x0, 高考冲浪 名FF%-号2-10，解得c=5,0r1-8,则有 1.C[设F1(0,-4)F2(0,4)、P(-6,4), O1(-3,0),故抛物线方程为y2=32(x十3). 则1F1F2=2c=8.|PF11=√62+(4+4)产=10，|PF2|= 答案：y2=32(x+3) 62+(4-4)2=6, 12.解：设所求抛物线的标准方程为x2-2py(p>0), 则2a=1PF-PF1=10-6=4,则e=器=号 设A0,由题可知M(0,-号)】 =2.] :1AF=3%+号-3. 2.解析：由题知：|AF2|=5,|AF1|=13,|F1F2|=2c= √/132-52=12，解得c=6,|AF1l-AF2|=2a=8,解得 1AM=,6+(o+)=17 a=4,所以e=￡=3 ∴x号=8，代入方程x后=2py0,得 a2. 答案： 8=2p(3-专)解得p=2成p=4. ∴.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y. ·68· 三022 富二数学) 13.解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，一8)， 假期必刷10直线与圆锥曲线的位置关系 .(-8)2=2p×8. ∴2p=8,抛物线方程为y2=8.x. 技能提升台技能提升 (2)由直线l2与41垂直，可设直线l2:x=y十m, L.A[直线y=kx一k+1=(x一1)+1恒过定点(1,1)，又 A(x1y1).B(x2y2),且直线2与x轴的交点为M. 点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.] 由=8，得y-8y-8m=0, 2.c[由得r2+(2-2px+1=0.1+=2p {y2=2p.x x=y十m, △=64十32m>0, -2,x1x2=1.∴2v6=√1+1P·√(x+t2)2-4x1.x2=√2 ∴.m>-2.y1+y2=8,y1y2=-8m, ·√(2p-2)2-4.解得p=-1或p=3, 12= 经=㎡ .抛物线方程为y2=-2x或y2=6x.故选C.] 64 由题意可知OA⊥OB,即x1x2十y1y2=m2-8m=0, 品C[风南线写一学-1的新远线方程海=士导，若主 0 4 ∴m=8或m=0(会)，.直线l2:x=y十8，M(8,0). 故SaB=Sa+SaM=言·FM·0-为 线与双由线相文，最彩结合，得∈（号，号）门 =3√(y十y2)2-4y1y2=24V5. 4.A[设A(x1y1),B(x2y2),则 两式相减 14.解：)选①：设P,由题意PF=十之 /-+2=1+ 得直线1的斜率为二兰-3十2)_3X2=6.又直 x1一x2 y1十3y 1 整理可得y2=x十|x,即y2=2.x(x>0) 线1过点P(2,1),所以直线1的方程为y一1=6(x一2)， 或y=0(x≤0)， 即6x一y一11=0，经检验此时直线1与双曲线有两个 所以曲线C的方程为y2-2x(x>0)或y=0(x≤0). 交点.] 选②：过P作y轴的垂线，垂足 5.B[如图，抛物线v2=4x的焦点 y 为F(1,0),准线为直线x=一1， 为，交直线=一于点P, 即x十1=0.过A,B作准线的垂 设动圆的圆心为E,半径为r,则 线，垂足分别为C,D,则有AB 点E到y轴的距离为r, =AF+BF=AC+BD 在梯形OFPH中，由中位线性 =8.过AB的中点M作准线的垂 0 质可得PH=2-之 线，垂足为N,则MN为直角梯形 ABDC的中位线，则|MN|= 所以P1-2-号+号-2 多AC+BD)-4,岸点M到 又PF|=2r,所以|PP'I=|PFf, 准线x十1=0的距离为4.] ri yi z,y吃 由抛物线的定义知，点P是以F(合0）为焦点的抛 6.D[设A).Br2),则+F-1, =1, 62 物线， 两式作差并化简变形得出一业 所以曲线C的方程为y2=2.. 工1一x2 (2)设M(x1y).N(x2,y2),将y=k(xr-2)代入y =2x, 、十而二2=0=（一卫=1， x1-x23-1 201+x2=2 消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0. y1+y2=-2,所以a2=262,又国为a2-62=c2=9,于是 剥4=4(2k2+12-42·h>0H+=22+D a2=18,b2=9.故选D.] 2 7.BD[设A(x1y),B(x2,y2),M(m,n),y1+y2≠0，由 _42+2,x12=4 2 题唐得于+营=1，兽+号=1，两我相减可得 故1MN1=√/1十k2E1-x2 (y1-2)y十22+一x)十》=0，所以kB 4 2 =√1十k/(x1十x2)2-4x1x2 -1+g/2-16=2而. 2十2因为m=122n=22,所以w yI+yz 2 k 化简得(1十k2)(16k2+4)=40k,解得2=1（负值舍 卫=当十型，所以kkaM=一2，故A错误.因为kAkM mx1十x2 去)故k=士1， =一2，kM=1,所以kB=一2，则直线方程为y一1= 高考冲浪 一2(x一1)，即2x+y一3=0，故B正确.由 1.解析：设P点坐标为(x0,y%),P到准线的距离为9，即x0 十1=9，x0=8,代入抛物线方程，可得y0=士42，则P .可得2+红一8=0，所以十-号 到x轴的距离为4w2. 则中点M(吉号)故C特误由{品 答案：4√2 2+y4,可得 2.解析：由题意抛物线的标准方程为y2=2px,则p=8,所 32+4r=0,解得1=0=-3，则1AB1=1中T× 以其焦点坐标为(4,0). 答案：(4,0) ·69·