假期必刷8 双曲线-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

## 快乐期 11.2 #5 1.x(r+2)-X(x+2) 1x+2(x+x)+4 1.2、(+)42 -1(a>b>0). -2. | 1+2(r+x)+4 设焦点F(-c,0),F(c,0). 代入韦达定理式子可得 .FAFA..'FA·FA=0. 2. (-(16^{}+8) {-4×16^+16k 16&+16+2( 1+4k^{2 而FA=(-4+c,3),FA=(-4-c,3). 1+4h^{} -2. '(-4+c)·(-4-c)+3-0. -16^}-8) 1+4^{} $C2-25,即c-5.'$F(-5,0),F(5,0). 1+4^{② )+4 $2a-]AF+lAF 化简可得 -(-4+5)+3+(-4-5)+3{ 2V64(2^}+)2-4×16(^}+)(1+4^) =10+90-410. 1+4} -2. '-210. 16^+16 -32^-16^ 4+16^{} '$*-a--(2/10)?-5-15. 1+42 1+4? 1+4^{} 即 一2,可得 13.解:(1)由的定义得2a-PF |+|PF。|-4. .-2. 在△PFF。中,由余弦定理可得 的值为-4. F F -PF PF-2lPF PFcos120* 高考冲浪 1.A [设P点坐标为(工’,y),中点M坐标为(x,y),则x’ =工,y -2y,代入圆的方程为r^{+4y{②}-16,化为标准方 (2)设点P(m,n),由题意可知m>0. 2.解:(1)由已知得b-3.将点P(3.)及b-3代入C.得 #-$4#,故点P的标为4,)#4 $+(3-)n-一9,对n一-2 -1. {2c2,解得{=. -2, 14.解:(1)依题意可知: 5 2-62十c2, 1-③. 故园E的方程为+y②-1. kr-- -3 (2)由题可设直线方程为:y-1=k(x+2),B(x1·y) C(x,y2). 因为dn-p -12,所以|3-m125. (-1-(r十2). ## 5.则m--3或 一 5 联立直线和回E方程: 可得(1十4h②)2 5 9(舍去),所以-3 +(16^{}+8)x+16{}+16=0,由△>0可得(16^{2}+8)^{}- 4×(1+4)(16^+16)>0. 解得k<0. -(16^2}8). -3.所以B(0-3)或B(-3-). 根据韦达定理可得x1十x2一一 1+4^{} 16{^{②+16{ $1二 1+4&; 当B坐标为(-3.-)时,(;y-。 71 假期必刷8 双曲线 r1 _ 技能提升台 技能提升 xM1-1 1.D 2.C 同理可得点N的横坐标xN-1-y 2则有 3.D[由.,}2+6} =1 -5 2 2 MN= 解得2 =1-1-2= - (x+2)-(r+2) 渐近线y--2x与园无法相交, 所以双曲线的一条渐近线不妨取y-2x. ·66· -002 11.解析:过F且斜率为的直线1y一 则圆心(2,3)到渐近线的距离 #(x十c),渐近线 -12×2-315 4a 2+1 联立{ ## 4.C 得B(),由 FB-3| FAl. 得A(-). 抛物线方程组成方程组 1-1 y-r+1, 点A在双曲线上,于是25^} +1=.-(){}-4-0.()2} =4.所以e 所以离心率3、 #1()#5 ##^{。 答案:3、 6.A [如图,设|PF |=m,|PFl 一n,则m>n>0.由双曲线定义 知,m-”-4.又mn-12,故m= 6.n-2.由于点P在以F;F。为 直径的圆上,所以PF 上PF。, 1. 又点1在_然上。 故tan PFF- 从而tan POF=tan2 PF$ F 一 =1(a>0,b>0). 同上方法解得^2}-9. 且?- #.此时顶点坐标为 n 点(3-4、)#(-5)在双曲线上, (## 0),渐近线方程为y-士5×,焦距2-2,离 m '.点的坐标满足方程, -1表示焦点在y轴上的双曲线,且a^{}-- 1三 32m-9n-1. 25-81n1. ### [-1 m 解此方程组得 -m 2} 坐标、焦距和离心率。 13.解:'a-1,b-③,c-2 .直线/过点F。,且倾斜角为45^{· '直线/的方程为y=x-2. .双曲线渐近线与x轴夹角为30{或150} 又.F为右焦点,P是双曲线上一点, 代入双曲线方程,得2r②+4x-7-0. $0P0F30{或150{<PPOF<180{ 设A(x1,y).B(x,y2). .POF不可能为60{}。] .x1·x=- 9.2-2-1 '.A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上. 10.解析:双曲线y2} 一1的渐近线方程为 n “$+--21·12--7, x,故n=-3. -m $.|AB|=v 1+11x-x 答案:-3 -G+)4r-×(-2)-4--6. ·67· ## 快乐期 假期必刷9 抛物线 技能提升台 技能提升 因为a2-1,所以c2-4. 1.B 因为a?+-^2,所以^}-3,所以b-③(负值舍去).$ 2.A [因为抛物线的标准方程为y②一4r,所以其准线方程 (2)因为△MA。P为等腰三角形, 为r--1.] ①若MA。为底,则点P在直线x-一 3.B 4.B 5.D [因为抛物线C:y2-8x的焦点F(2,0),准线方程为 限矛盾,故含去 x--2.点M在C上. ②若A。P为底,则MP-MA。,与MP→MA。矛盾, 所以M到准线x=-2的距离为|MF|, 故舍去。 又M到直线x一-3的距离为5. ③若MP为底,则MA一PA. 所以|MF|+1-5,故|MF|-4.故选D.] 设P(xo.yo).x>0.yo0. 6.C [由抛物线的方程为2一4x,知F(1,0).当过点A的 直线斜率不存在,即直线与y轴重合时,满足直线与抛物 则。 (x-1)?+(yo-0){}-3,即(x。-1)+y-9. 线C有唯一公共点.当过点A的直线斜率为0时,直线方 程为y一2,满足直线与抛物线C有唯一公共点,当过点A 的直线斜率存在且不为0时,设直线方程为v一kx十2,由 -4x, =(4k-4)2}-4×4×^{}-0,解得 -,此时满足条件 得x。-2,y。-2②,即P点坐标为P(2,2②). (3)由A(-1.0).A(1.0).设P(x1·y).Q(x·y),则 的直线有1条,综上,过点A与抛物线C有唯一公共点的 R(-2,-y),设直线(;x-y-2(). 直线有3条,] 7.AC {#-2()# 8.BD[对于A..点P(9,6)在抛物线C上..'.18-36,解 联立” 得力一2,故C的方程为y②}-4x,焦点为F(1,0),准线方 ### 得(6m②}-1)y?-46{my+ +#2_4#1# 46{}n #((一1,解{# 36}-0,则{ 3{ 立抛物线方程得 或 12-4.c. AR-(-+1.-y)A-(-1,y)又由AR·AP -1.得(-xr+1(r-1)-y-1. 即(x-1)(x.-1)+yy=-1,即(my-3)(my-3) +1y--1, 化简后可得到(n+1)yy-3n(y+y)+10-0. 所以3^}(m}+1)-12m^{}6+10(6^m2-1)=0,化简$ 1D正确。 2n2+36-10-0. ##(0) 310,得62-3,所以62} 11.解析:不妨设F(-c.0).F(c,0).N(xo·y)(xo0.y ### (1 ###) xoc4解得xo= (yo=c-ro 高考冲浪 1.C [设F(0.-4).F。(0,4).P(-6,4). O.(-3,0),故抛物线方程为y②-32(x十3). 则 F F-2c-8. PF |- 6+(4+4)-10.lPF 答案:2-32(x十3) 6十(4-4)②-6. 12.解:设所求抛物线的标准方程为x2一2y(>0). 设A(xo'yo),由题可知M(o.一). -2] :1AFl-3.:yo+-3. 2.解析:由题知:lAF |-5.|AF |-13,|FF-2c ·1AM1-V17..(2o号)-17. 13-5-12,解得c-6,1AFl-AFl-2a-8,解得 a-4,所以e--3 '一8,代入方程x-2y,得 8-2^(3-),解得-2或p-4. 答案 '所求抛物线的标准方程为x②一4y或x②一8y. .68·　　假期必刷８　双 曲 线　　　　 １．双曲线的定义 条件 结论１ 结论２ 平面内的动点M 与 平面内的两个定点 F１,F２ 　 　　　　　　＝２a ２a＜|F１F２| M点的 轨迹为 双曲线 F１,F２ 为双曲线 的 　, 　　　　为双曲 线的焦距 ２．双曲线的标准方程和几何性质 图形 标准方程 　　　　 (a＞０,b＞０) 　　　　 (a＞０,b＞０) 性 质 范围 　　　　　　 　　　　　　 对称性 对称轴:　 　　 对称中心:　　　 对称轴:　　 　 对称中心:　　　 顶点 顶点坐标: A１ 　　　, A２ 　　　　 顶点坐标: A１ 　　　　, A２ 　　　　 渐近线 　　　　　　 　　　　 离心率 e＝　　　　,e∈　　　　 实、虚轴 线段 A１A２ 叫做双曲线的实轴, 它的长|A１A２|＝　　　　; 线段B１B２ 叫做双曲线的虚轴,它 的长|B１B２|＝　　　　; a,b,c间 的关系 c２＝　　　　(c＞a＞０,c＞b＞０) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．||MF１|－|MF２||　焦点　|F１F２| ２．x ２ a２ －y ２ b２ ＝１　y ２ a２ －x ２ b２ ＝１　x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a　坐标轴　原点　坐标轴 原点　(－a,０)　(a,０)　(０,－a)　(０,a) y＝±bax　y＝± a bx　 c a　 (１,＋∞)　２a ２b　a２＋b２ 待定系数法求双曲线标准方程的步骤 　　当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两 种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论, 也可设双曲线方程为mx２－ny２＝１(mn＞０), 直接求得． １．已知双曲线x ２ a２ －y２＝１(a＞０)的离心率是 ５, 则a＝ (　　) A．６　　　　　　　　　B．４ C．２ D．１２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０２􀅰 ２．双曲线x２－y ２ m＝１ 的离心率大于 ２的充分 必要条件是 (　　) A．m＞１２ B．m≥１ C．m＞１ D．m＞２ ３．已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的离 心率为 ５,C 的一条渐近线与圆(x－２)２＋ (y－３)２＝１交于A,B 两点,则|AB|＝ (　　) A．５５ B． ２ ５ ５ C．３ ５５ D． ４ ５ ５ ４．渐近线方程为x±y＝０的双曲线的离心 率是 (　　) A．２２ B．１ C．２ D．２ ５．设双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的渐近线 与抛物线y＝x２＋１相切,则该双曲线的离 心率等于 (　　) A．３ B．２ C．６ D．５ ６．已知F１,F２ 分别是双曲线 x２ ４－ y２ b２ ＝１(b＞０) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上一点,且点 P 在以F１F２ 为直径的圆上,若|PF１|􀅰 |PF２|＝１２,O为坐标原点,则tan∠POF２＝ (　　) A．３４ B． ４ ３ C．３５ D． ４ ５ ７．(多选)已知双曲线的方程为５mx２－my２＝５ (m∈R,m≠０),则随m 的变化而变化的是 (　　) A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 ８．(多选)已知F 是双曲线x ２ ３a２ －y ２ a２ ＝１(a＞０) 的右焦点,O 为坐标原点,设P 是双曲线C 上一点,则∠POF的大小可能是 (　　) A．１５° B．２５° C．６０° D．１６５° ９．设双曲线C 的两个焦点为(－ ２,０),(２, ０),一个顶点是(１,０),则C的方程为　　　 　　　　　． １０．已知双曲线y２＋x ２ m＝１ 的渐近线方程为y ＝± ３３x ,则m＝　　　　． １１．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左焦 点为F,过F 且斜率为b４a 的直线交双曲线 于点A(x１,y１),交双曲线的渐近线于点 B(x２,y２),且x１＜０＜x２,若|FB|＝３|FA|, 则双曲线的离心率是　　　　． １２．求适合下列条件的双曲线的标准方程: (１)a＝４,经过点A １,４ １０３ æ è ç ö ø ÷; (２)焦点在y轴上,且过点 ３,－４ ２( ), ９ ４ ,５ æ è ç ö ø ÷． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１２􀅰 １３．已知双曲线３x２－y２＝３,直线l过右焦点 F２,且倾斜角为４５°,与双曲线交于A,B 两 点．问A,B 两点是否位于双曲线的同一支 上,并求弦AB 的长． １４．(２０２４􀅰上海卷,２０)已知双曲线Γ:x２－y ２ b２ ＝１,(b＞０),左、右顶点分别为A１,A２,过点 M(－２,０)的直线交双曲线Γ于P、Q两点． (１)若Γ的离心率为２,求b; (２)若b＝２ ６３ ,△MA２P 为等腰三角形,且 点P 在第一象限,求点P 的坐标; (３)连接QO(O为坐标原点)并延长交Γ于 点R,若A１R →􀅰A２P → ＝１,求b的取值范围． １．(２０２４􀅰全国甲卷(文),６)已知双曲线的两 个焦点分别为(０,４)、(０,－４),点P(－６,４) 在该双曲线上,则该双曲线C的离心率是 (　　) A．４　　　B．３　　　C．２　　　D．２ ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１２)设双曲线C:x ２ a２ － y２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１, F２,过F２ 作平行于y轴的直线交C 于A,B 两点．若|F１A|＝１３,|AB|＝１０,则C 的离 心率为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２２􀅰