作业(7) 双曲线及其方程-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教B版）

一、选择题:本题共8小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是 (　　) A. B.1 C. D.2 2.已知双曲线的一个焦点坐标为(,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 (　　) A.-y2=1 B.-x2=1 C.-y2=1 D.-=1 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为 (　　) A. B. C.2 D.或2 4.已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P是双曲线右支上一点,M是PF1的中点,若|OM|=1(O为坐标原点),则|PF1|= (　　) A.10 B.8 C.6 D.4 5.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点坐标为(2,1),则双曲线C的方程为 (　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.x2-=1 6.已知双曲线x2-ky2=1(k>0)的一个焦点是(,0),则其渐近线的方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 7.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为双曲线C右支上的点,若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PFQ的周长为 (　　) A.28 B.36 C.44 D.48 8.已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,M为双曲线右支上一点且满足·=0,若直线MF2与双曲线右支的另一个交点为N,则△MF1N的面积为 (　　) A.12 B.12 C.24 D.24 二、选择题:本题共4小题,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 9.已知椭圆C1:+=1与双曲线C2:+=1(9<k<16),下列关于两曲线的说法正确的是 (　　) A.C1的长轴长与C2的实轴长相等 B.C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率不相等 10.设双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别是F1,F2,以线段F1F2为直径的圆交双曲线于A,B,C,D四点,若A,B,C,D,F1,F2恰为正六边形的六个顶点,则下列说法正确的是 (　　) A.∠F1BF2= B.四边形ABCD的面积为(a2+b2) C.双曲线的离心率为+1 D.双曲线的渐近线方程为y=±x 11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,则有 (　　) A.渐近线方程为y=±x B.渐近线方程为y=±x C.∠MAN=120° D.∠MAN=60° 12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两个顶点分别是A1,A2,左、右两个焦点分别是F1,F2,P是双曲线上异于A1,A2的任意一点,给出下列结论,其中正确的是 (　　) A.||PA1|-|PA2||=2a B.直线PA1,PA2的斜率之积等于定值 C.使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有四个 D.若·=b2,则·=0 三、填空题:本题共4小题,将答案填在题中横线上. 13.已知双曲线x2-=1的右焦点为F,则F到其中一条渐近线的距离为　　　　　.  14.设F是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,若点P的坐标为(0,2b),线段PF的中点在双曲线C上,则双曲线的离心率为　　　　　.  15.已知F1,F2分别是双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为　　　　　.  16.已知双曲线C的离心率为,焦点为F1,F2,点A在双曲线C上,若=3,则∠AF2F1的余弦值为　　　　　.  四、解答题:本题共2小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-). (1)求双曲线C的方程,并写出其离心率与渐近线方程; (2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=10上,求实数m的值. 18.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-2,0),F2(2,0),点P(3,)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)记O为坐标原点,过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E,F,若△OEF的面积为2,求直线l的方程. 作业(七)　双曲线及其方程 1.C　解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=a,所以双曲线的离心率e==.故选C. 2.A　解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵双曲线的一个焦点坐标为(,0),且经过点(-5,2), ∴,得a=,b=1,∴双曲线的标准方程为-y2=1,故选A. 3.D　解析:由双曲线-=1(a>0,b>0)的两渐近线的夹角为60°,可知=或=,则双曲线的离心率e==2或,故选D. 4.A　解析:因为M是PF1的中点,O是F1F2的中点,所以|OM|=|PF2|,又|OM|=1,所以|PF2|=2.因为P在双曲线的右支上,故|PF1|-|PF2|=2×4=8,故|PF1|=8+2=10,故选A. 5.B　解析:设P(2,1),由题意知,点P在y=x上,所以a=2b.连接PF1,PF2,因为点P在以F1F2为直径的圆上,所以·=0,又F1(-c,0),F2(c,0),所以(-c-2,-1)·(c-2,-1)=0,即(-c-2)(c-2)+1=0,所以c=.又c=,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线C的方程为-y2=1,故选B. 6.C　解析:由x2-ky2=1变形可得x2-=1,因为双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(,0),所以+1=()2(k>0),所以k=,所以双曲线方程为x2-=1,所以其渐近线方程为y=±2x.故选C. 7.C　解析:如图,∵双曲线C:-=1的左焦点为F(-5,0),∴点A(5,0)是双曲线的右焦点,又b=4,∴虚轴长为2b=8, ∴|PQ|=16.∵|PF|-|PA|=2a=6, ① |QF|-|QA|=2a=6, ② ∴①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=12, ∴△PFQ的周长l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44.故选C. 8.C　解析:如图,设|MF1|=m,|MF2|=n, ∵F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点, ∴m-n=2a=4,|F1F2|=2c=2. ∵·=0,∴MF1⊥MF2, ∴m2+n2=4c2=40,又(m-n)2=m2+n2-2mn, ∴2mn=40-16=24, ∴mn=12,结合m-n=4,可得m=6,n=2. 设|NF2|=t,则|NF1|=2a+t=4+t,在Rt△NMF1中,(4+t)2=(t+2)2+62,解得t=6,∴|MN|=6+2=8, ∴△MF1N的面积S=|MN|·|MF1|=×8×6=24.故选C. 9.CD　解析:易知C1的长轴长2a=8,短轴长2b=6,焦距为2c=2=2.当9<k<16时,C2的焦点在x轴上,其中实轴长2a'=2,虚轴长2b'=2,焦距为2c'=2=2=2,故C1的长轴长与C2的实轴长不相等,C1的短轴长与C2的虚轴长不相等,C1与C2的焦距相等,离心率不相等.故选CD. 10.ABC 　解析:不妨设点F1为左焦点,如图所示,因为|F1F2|=2c,|BF2|=c,所以|BF1|==c,又|BF2|2+|BF1|2=|F1F2|2,所以∠F1BF2=,A正确(判断A正确可以以∠F1BF2为直径F1F2所对的圆周角为90°);根据对称性,可知四边形ABCD为矩形,又|AB|=c,|BC|=c,所以四边形ABCD的面积为(a2+b2),B正确;由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,即a-c=2a,则离心率e===+1,C正确;因为e=,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,D错误.故选ABC. 11.BD　解析:双曲线C:-=1的渐近线方程为y=±x,离心率为=,则==1+=,所以=,=,故渐近线方程为y=±x,A错误,B正确;易知A(a,0),取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,|AP|=,则cos∠PAN===,所以cos∠MAN=cos2∠PAN=2×-1=,所以∠MAN=60°,故C错误,D正确.故选BD. 12.BD　解析:设P(x0,y0).对于A,由双曲线的定义,知A错误.对于B,因为A1(-a,0),A2(a,0),所以·=·=,又-=1,所以=(-a2),·=,故B正确.对于C,若P在第一象限,则当|PF1|=2c时,|PF2|=2c-2a,∠PF1F2为等腰三角形,故点P在第一象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P有两个.同理,点P在第二、三、四象限且使得△PF1F2为等腰三角形的点P也各有两个,因此使得△PF1F2为等腰三角形的点P共有八个,故C错误.对于D,由·=+-a2=b2,得+=c2,从而·=+-c2=0,故D正确.故选BD. 13.2　解析:易知双曲线x2-=1的右焦点为F(,0),渐近线方程为y=±2x,所以点F到渐近线的距离d==2. 14.2　解析:由题意得,线段PF的中点坐标为(,b),因为线段PF的中点在双曲线C上,所以-1=1,所以e2==8,所以双曲线的离心率e=2. 15.　解析:由题意知,sin∠MF2F1==, 即|MF2|=3|MF1|. 由双曲线的定义可知|MF2|-|MF1|=2a, 所以|MF2|=3a,|MF1|=a,又|MF1|=, 所以a=b,所以2a2=c2,所以e==. 16.　解析:不妨设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),取A为右支上一点,且|F2A|=m,因为=3,所以|F1A|=3m.由双曲线的定义可得|F1A|-|F2A|=2a,所以m=a,又e==,所以c=a.在△AF1F2中,|F1A|=a,|F1F2|=2a,由余弦定理,得cos∠AF2F1==. 17.解:(1)因为双曲线C与-=1有相同的渐近线, 所以可设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0), 代入M(,-),得-=λ,得λ=, 故双曲线C的方程为x2-=1, 所以a=1,b=,c=,故离心率e=, 渐近线方程为y=±x. (2)联立直线AB与双曲线C的方程,得, 整理得x2-2mx-m2=0, Δ=8m2+8>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为(,), 由根与系数的关系得,x1+x2=2m,y1+y2=(x1+m)+(x2+m)=(x1+x2)+2m=4m, 所以AB的中点坐标为(m,2m), 又点(m,2m)在圆x2+y2=10上, 所以m2+4m2=10,所以m=±. 18.解:(1)由已知得c=2, 又点P(3,)在双曲线C上,∴, 解得a2=2,b2=2, ∴双曲线C的方程为-=1. (2)由题意,知直线l的斜率存在,设直线l的方程为 y=kx+2, 由,得(1-k2)x2-4kx-6=0.(*) 设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个不等实根, ∴1-k2≠0且Δ=16k2+24(1-k2)>0,即k2<2且k2≠1.① 此时x1+x2=,x1x2=-. 又S△OEF=|OQ|·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=2, 即(x1+x2)2-4x1x2=8, ∴()2+=8, 解得k=±.适合①式, ∴直线l的方程为y=x+2或y=-x+2. 学科网（北京）股份有限公司 $