作业6 双曲线-【课堂快线】2024高二数学寒假作业（人教A版）

一、选择题 1.已知两定点F1(-3,0),F2(3,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中,是双曲线的是 (　　) A.||PF1|-|PF2||=5 B.||PF1|-|PF2||=6 C.||PF1|-|PF2||=7 D.||PF1|-|PF2||=0 2.在双曲线的标准方程中,若a=6,b=8,则其标准方程是 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1或-=1 3.双曲线-y2=1的焦点坐标是 (　　) A.(-,0),(,0) B.(-2,0),(2,0) C.(0,-),(0,) D.(0,-2),(0,2) 4.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于 (　　) A. B. C. D. 5.下面各选项中的曲线,与-=1共焦点的双曲线是 (　　) A.+=1 B.-=1 C.-=1 D.+=1 6.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为 (　　) A.4 B.-4 C.- D. 7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 8.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为 (　　) A.　　B. C.　　D. 二、填空题 9.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=　　　　.  10.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　.  11.已知椭圆+=1(a>b>0),A,B分别为椭圆的左顶点和上顶点,F为右焦点,且AB⊥BF,则椭圆的离心率为　　　　.  三、解答题 12.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离; (2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 13.已知双曲线的渐近线方程是y=±x,焦距为2,求双曲线的标准方程. 14.(多选)已知F1,F2分别是双曲线C:-y2=1的左、右焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则 (　　) A.△MF1F2的面积为 B.点M的横坐标为2或-2 C.C的渐近线方程为y=±x D.以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=3 15.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是　　　　.  16.某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP或BP运到P处(如图),已知|AP|=100,|BP|=150,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工. 作业6　双曲线 1.A　对于选项A,因为|F1F2|=6,所以||PF1|-|PF2||=5<|F1F2|,故动点P的轨迹是双曲线;对于选项B,因为||PF1|-|PF2||=6=|F1F2|,所以动点P的轨迹是以F1和F2为端点的两条射线(含端点);对于选项C,因为||PF1|-|PF2||=7>|F1F2|,所以动点P的轨迹不存在;对于选项D,因为||PF1|-|PF2||=0,所以|PF1|=|PF2|,根据线段垂直平分线的性质可知,动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.D　因为没有说明双曲线的焦点所在的坐标轴,故应分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况进行讨论,显然D选项符合要求. 3.B　由双曲线的标准方程可知a2=3,b2=1,则c2=a2+b2=3+1=4,故c=2.又焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-2,0),(2,0). 4.C　由题意知a2+5=9,解得a=2,e==. 5.C　方法一　因为所求曲线为双曲线,所以可排除选项A,D;又双曲线-=1的焦点在x轴上,所以排除选项B,综上可知,故选C. 方法二　与-=1共焦点的双曲线系方程为-=1,对比四个选项中的曲线方程,发现只有选项C中的方程符合条件(此时λ=-2). 6.C　由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-=1,则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-,故选C. 7.C　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,故有=,所以=,解得=. 8.A　如图,设PF1的中点为M,连接PF2,因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|,|F1F2|=|PF2|.由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e==·=. 9.2　解析:设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,∴c=|OB|=2.又∠AOB=,∴=tan=1,即a=b.又∵a2+b2=c2=8,∴a=2. 10.44　解析:由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上,由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.∴|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,∴△PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 11.　解析:在△ABF中,|AB|=,|BF|=a,|AF|=a+c. 由AB⊥BF得|AB|2+|BF|2=|AF|2, 将b2=a2-c2代入,得a2-ac-c2=0, 取e2+e-1=0,解得e=. 因为0<e<1,所以e=. 12.解:(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,·=0, 则MF1⊥MF2, 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线定义,知m-n=2a=8, ① 又m2+n2=(2c)2=80, ② 由①②得m·n=8, ∴mn=4=|F1F2|·h,∴h=. (2)设所求双曲线C的方程为 -=1(-4<λ<16), 由于双曲线C过点(3,2), ∴-=1, 解得λ=4或λ=-14(舍去), ∴所求双曲线C的方程为-=1. 13.解:当双曲线的焦点在x轴上时,由解得所以所求双曲线的标准方程为-=1. 当双曲线的焦点在y轴上时,由解得所以所求双曲线的标准方程为-=1. 故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1. 14.AB　由双曲线方程知a=2,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x,故C错误;又c==,所以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=5,故D错误;由得或所以点M的横坐标为2或-2,故B正确;又|yM|=1,所以=·|F1F2|·|yM|=,故A正确.故选AB. 15.　解析:设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2, 将y2=b2-x2代入上式, 解得x2==. 又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2, ∴e=∈. 16.解:如图,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设M是分界线(沿AP,BP到点P的路程相等的点的轨迹)上的点,则|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,于是有|MA|-|MB|=|BP|-|AP|=150-100=50,这说明分界线是以A,B为左、右焦点的双曲线的右支,且a=25.在△ABP中,|AB|2=|AP|2+|BP|2-2|AP|·|BP|cos 60°=17 500,从而c2==4 375,b2=3 750,故所求分界线的方程为-=1(x≥25).即在运土时,将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处,右侧的土沿道路BP运到P处最省工. 学科网（北京）股份有限公司 $