假期必刷7 椭囲-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

三022 富二数学) 方技二00 m2得m=2:由=一m- 2得 消去二次项得x十y一2=0，即为公共弦所在直线的方程 m>1, (0<m<1. (2)由两圆方程可得国心连线为y=x,由圆的性质所求 圆的圆心在y=x上， m=号：所以”m=2”是“精国C的离心率为号的充分不 由yx, {r+2y-3=0.得x=y=1,故所求圆的圆心C1,1D. 必要条件.] 6.D[设m=|PF1,n=PF21,∠F,PF2=0,由题意得 半径r=|AC1=√(-1-1)2+(3-1)2=2√2， mncos0=9.易知a=5,b=4,c=√a2-b2-3,则|F1F2 .所求周的方程为(x-1)2+(y-1)2=8. =2c=6,m+n=2a=10,由余弦定理可得cos0 14.解：(1)园C1的方程可化为(x m2+n2-FF22,所以(m+m）2-2mn-36=2 mcos0 -2)2+(y-3)2=4, 2mn =18,即100-2mn-36=18,解得mn=23,即|PF1|· 则圆心C1(2,3),半径为2， |PF21=23.] 由(3-2)2+(5-3)2>4，可知 点P在圆C1的外部，作出圆C D[设Pcw号+=1.可得P() 及过，点P的切线如图所示， 由图可知，过点P的切线（的斜 20十之寸4主 率存在，设1的方程为y一5= k(x-3).即kx-y+5-3k=0, 则國心C1到直线1的距离为2-3+5-3=2，解得 √1+姻 :△OAB的面积是△OPF面积的号倍， 质=0成友=一亭，所以直线1的方程为4缸十3y一27=0 5×2c→2a2=56c· :.ub-2x u 2+后- 5 或y=5. (2由十y-4-6y+9=0. {x2+y2+2x-4y-4=0, 两式相减得直线AB的方程为6x十2y-13=0, 则圈心C1到直线AB的距离4=12+6-13=西 e= √40 4 所以AB1=2√-=36 &AB[:黄国C的方程为+号-1ia=26=. 2 1,由椭圆的定义可知|PF1十|PFz|=2a=4,故A正确： 高考冲浪 1.C[因为a,bc成等差数列，所以a一2b+c=0,直线a.x+by 离心奉-后-号故B正境：△PF,的面积S8r天 十c=0恒过P(1,一2).当PC⊥AB时.AB取得最小值，此 =lR,F=p两0≤p<原，△PF,E 时1PC=1,AB1=2√5-PC平=4.] 面积最大值为√3，故C错误： 2.D[圆x2+y2-2.x十6y=0的标准方程为(x-1)2十(y F(-1,0),F2(1,0),F1F2=2,.以线段FF2为直 十3)2=10，国心坐标为(1，-3)，因此圆心到直线x一y十 径的圆的方程为x2十y2=1,其圆心为(0,0)，半径为1，又 2=0的距离d= 1+3+2 =3√2.] 直线方程为x十y一2=0，∴圆心到直线的距离d= w1+(-1)2T 1-2L=2>1, 假期必刷7椭圆 √1+1 ∴：以线段FF2为直径的圖与直线x十y一2=0相离，故 技能提升台技能提升 D错误.] 1.B2.A3.B 4B[设∠EPF,=20,0<K受 苦+r- 10.解析：取AB的中点为E,因为|MA|-|NB|,所以 所以S△FR=am∠FPE=an. 2 1ME=NE,设A(1y),B(,2,可得十2× x1+x2 由cos∠F,PF2=cos20=cos20-sin20_1-tan29_3 cos20+sin2 0 1+tan20 5 二器=一之即c·=一合镜直线AB:y=r T1-x2 解程m0=子， 十m,k0,m>0,令x=0y=m,令y=0,=-是，所 由椭圆方程可知，a2-9,b2-6,c2-a2-b2-3, 所以.Sam,B=×F,FXp=×25X3p 以(·）以X兰 2 2k =6×2,解得：呢=3， 又：|MN|=23,即MN=√m2+(2m)2=23,即 即=9X(-号)号周光0P川=+玩 m2+2m2=12,m=2,所以直线1的方程为y=-号+2， 即x十2y-22=0. 答案：x十√2y-2W2=0 ·65· 飞曼快乐傲湖 c900= 11.26 1 x2(x1十2)一x1(2十2) 5 1x2+2(.x1十x2)十4 12解，设所束错圆的标准方粒为导+芳-10>>0 ty? 1 2√/(x1+x2)2-4x1x2 =2, k x1x2十2(x1十x2)十4 设焦点F1(-c,0),F2(c,0). 代入韦达定理式子可得 FA⊥F2A,∴F1A·F2A=0, -(16k2+8k) -4×16k2+16k 而F1A=(-4十C,3),F2A=(一4-c,3), 1 1+4k2 1十4k2 =2, .(-4+c)·(-4-c)+32=0, 16k2+16k+2 ∴.c2-25,即c=5..F1(-5,0),F2(5,0) 1+4k2 16k一8)十4 1十4k2 ∴.2a=AF|+|AF2 化简可得 =√/(-4+5)2+32+√(-4-5)2+37 264(2k2+k)2-4×16(k2+k)(1+42) =/10+√/90=4√10. 1+4k2 =2, .a=2/10, 16k2+16k+-32k2-16k,4+16k2 .b=a2-c2=(210)2-52=15. 1+42 1+42 1+43 “所底精周的标准方程为后+盖-1， 即 /'+4+--4-一 =2,可得 13.解：(1)由椭圖的定义得2a=|PF1|+|PF2|=4, ∴.a=2. k -名·两造干方对有日-解得友=一4故 在△PFF2中，由余弦定理可得 k的值为一4. IF F212=PF12+PF212-2PFIPF2Icos 120. 高考冲浪 4c2=15c=压62=a2-c2=4-15=1 1.A[设P点坐标为(x'y),中点M坐标为(x,y),则x' 2 44 =x,y=2y,代入圆的方程为x2十4y2=16,化为标准方 故精同C的方程为号+4y-1。 为后+号-1g>0.] (2)设.点P(m,n),由题意可知m>0. :SarE=2PE,PF,m120=号×(2+3)× 2.解：1由已知得6=3，将点P3,受)及6=3代入C,得 9 2-@x9-1, 2-2×2c×1nl..n=±0 是+2=1，期公2=12，所以=-份=3 将点P的坐标代入格国C的方程可得气+ 1 =1,解得 所以C的离心率=￡=E=1 a232 m=45,故点P的坐标为 2)由已知得SaB即=号PA·dg-A=号 5 5 b=1 va=2, 14.解：(1)依题意可知：2c=2、√3，解得b=1 √9+(B-)×dB-m=9,则da-m=25, 5 a2=b2+c2, (c=√3， 3一 3 1 1 故精国E的方程为+y=1 kAp=- -3 0y=-r十3，设过点B且与 (2)由题可设直线方程为：y一1=k(x十2)，B(1y1): PA平行的直线为'：y=一21十m, C(x2.y2). y1=k(x+2, 因为d-1=125,所以3m=125,则m=一3或 联立直线和椭圆E方程：{ 5 5 4+2-1. 可得(1+4k2)x + +(16k2+8欧).x+16k2+16k=0,由△>0可得(16k2+8k)2 9(舍去)，所以：y=- 4×(1+42)(16k2+16)>0, 2x3 解得k0, 根据韦达定理可得1十2=二（16k2+8) 联立1=音-3和C方程后+苦1，得=0， 1十4k2 12=16k2+166 =-3:所以B(0,-3)减B(-3,)} 1+4k2 当B坐标为(0，-3)时，：=名一3： 直线AB的斜率为k他=当一 ,AB的直线方程为： 当B坐标为(3，一受)时= y=当1 x十1，令y=0,可得点M的横坐标 假期必刷8双曲线 技能提升台技能提升 xMF1一yn 1.D2.C 同理可得点N的横坐标正N一一 2.则有 3.D[由e=5,则号=2+=1+ a2 a2 3 =5, k(1+2)-k(x2十2) 解得=2. 1 x3 渐近线y=一2x与圆无法相交， 所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x, ·66·　　　假期必刷７　椭　圆　　　　　　　　　　 １．椭圆的定义 条件 结论１ 结论２ 平面内的动点M 与平 面内的两个定点F１,F２ |MF１|＋|MF２|＝２a ２a＞|F１F２| M 点的 轨迹为 椭圆　 　　　　为 椭圆的焦点 　　　　为 椭圆的焦距 ２．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 　　　(a＞b＞０)　　　(a＞b＞０) 性 质 范围 　　　　≤x≤ 　　　　 　　　　≤y≤ 　　　　 　　　　≤x≤ 　　　　 　　　　≤y≤ 　　　　 对称性 对称轴:　　　　 对称中心:　　　　 顶点 A１ 　　　, A２ 　　　 B１ 　　　, B２ 　　　 A１ 　　　, A２ 　　　 B１ 　　　, B２ 　　　 轴 长轴A１A２ 的长为２a 短轴B１B２ 的长为２b 焦距 |F１F２|＝２c 离心率 e＝ca∈　　　　 a,b,c 的关系 a２＝　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．F１,F２　|F１F２| ２．x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１　y ２ a２ ＋x ２ b２ ＝１　－a　a　－b　b －b　b　－a　a　坐标轴　原点　(－a,０) (a,０)　(０,－b)　(０,b)　(０,－a)　(０,a) (－b,０)　(b,０)　(０,１)　b２＋c２ 求椭圆的标准方程的两种方法 (１)定义法:根据椭圆的定义,确定a２,b２ 的 值,结合焦点位置可写出椭圆方程． (２)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭 圆的标准方程,结合已知条件求出a,b;若 焦点位置不明确,则需分焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax２＋By２＝１(A＞０,B＞０,A≠B)． １．设点P 是椭圆x ２ a２ ＋y ２ ４＝１ (a＞２)上的一点, F１,F２ 是 椭 圆 的 两 个 焦 点,若|F１F２|＝ ４ ３,则|PF１|＋|PF２|＝ (　　) A．４　　　　　　　　B．８ C．４ ２ D．４ ７ ２．椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)上任意一点到两 焦点的距离分别为d１,d２,焦距为２c,若d１,２c, d２ 成等差数列,则椭圆的离心率为 (　　) A．１２ B． ２ ２ C．３２ D． ３ ４ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７１􀅰 ３．已知椭圆C的焦点为F１(－１,０),F２(１,０),过 F２ 的直线与C 交于A,B 两点．若|AF２|＝ ２|F２B|,|AB|＝|BF１|,则C的方程为 (　　) A．x ２ ２＋y ２＝１ B．x ２ ３＋ y２ ２＝１ C．x ２ ４＋ y２ ３＝１ D． x２ ５＋ y２ ４＝１ ４．已知椭圆x ２ ９＋ y２ ６＝１ ,F１,F２ 为两个焦点,O 为原点,P 为椭圆上一点,cos∠F１PF２＝ ３ ５ ,则|PO|＝ (　　) A．２５ B． ３０ ２ C．３５ D． ３５ ２ ５．已知椭圆C:x ２ m＋y ２＝１(m＞０),则“m＝２” 是“椭圆C的离心率为 ２２ ”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ６．设椭圆x ２ ２５＋ y２ １６＝１ 的左、右焦点分别为F１、 F２,点P 在椭圆上,且满足PF１ →􀅰PF２ → ＝９, 则|PF１|􀅰|PF２|的值是 (　　) A．１４ B．１７ C．２０ D．２３ ７．(多选)如图,F 为椭圆 x２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０) 的右焦点,过F 作x 轴 的垂线交椭圆于点P, 点A,B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积是△OPF 面 积的５ ２ 倍,则该椭圆的离心率是 (　　) A．１５５ B． ２ ５ ５ C．１０５ D． ５ ５ ８．(多选)设椭圆C:x ２ ４＋ y２ ３＝１ 的左、右焦点 分别为F１,F２,P 是椭圆C 上的动点,则下 列说法正确的是 (　　) A．|PF１|＋|PF２|＝４ B．椭圆C的离心率e＝１２ C．△PF１F２ 面积的最大值为２ ３ D．以线段F１F２ 为直径的圆与直线x＋y－２ ＝０相切 ９．若椭圆的焦点在y 轴上,长轴的长为４,离 心率e＝ ３２ ,则其标准方程为 　． １０．已知直线l与椭圆x ２ ６＋ y２ ３＝１ 在第一象限 交于A,B 两点,l与x 轴、y 轴分别交于 M,N 两点,且|MA|＝|NB|,|MN|＝ ２ ３,则l的方程为　　　　　　　　． １１．已知椭 圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),焦 点 F１(－c,０),F２(c,０),c＞０,若过F１ 的直 线和圆 (x－１２c) ２ ＋y２＝c２ 相切,与椭圆的第 一象限交于点P,且PF２⊥x轴,则该直线的 斜率是　　　　,椭圆的离心率是　　　　． １２．已知椭圆的中心在原点,两焦点F１,F２ 在 x轴上,且过点A(－４,３)．若F１A⊥F２A, 求椭圆的标准方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８１􀅰 １３．已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的左、右 焦点分别为F１,F２,点P 为椭圆C 上一点, ∠F１PF２＝１２０°,|PF１|＝２＋ ３,|PF２|＝ ２－ ３． (１)求椭圆C的方程; (２)求点P 的坐标． １４．已知椭圆E:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的一个顶 点为A(０,１),焦距为２ ３． (１)求椭圆E 的方程; (２)过点P(－２,１)作斜率为k的直线与椭 圆E 交于不同的两点B,C,直线AB,AC 分别与x 轴交于点M,N．当|MN|＝２时, 求k的值． １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,５)已知曲线C:x２＋y２ ＝１６(y＞０),从C 上任意一点P 向x 轴作 垂线段PP′,P′为垂足,则线段PP′的中点 M 的轨迹方程为 (　　) A．x ２ １６＋ y２ ４＝１ (y＞０) B．x ２ １６＋ y２ ８＝１ (y＞０) C．y ２ １６＋ x２ ４＝１ (y＞０) D．y ２ １６＋ x２ ８＝１ (y＞０) ２．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,１６)已知 A(０,３)和 P ３,３２ æ è ç ö ø ÷为椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)上 两点． (１)求C的离心率; (２)若过 P 的直线l 交C 于另一点B,且 △ABP 的面积为９,求l的方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９１􀅰