假期必刷6 直线、圆的位置关系-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷６　直线、圆的位置关系　　　　　　　　　　　　　　 １．直线与圆的位置关系(半径r,圆心到直线的距 离为d) 相离 相切 相交 图形 量 化 方程 观点 Δ　　０ Δ　　０ Δ　　０ 几何 观点 d　　r d　　r d　　r ２．圆 与 圆 的 位 置 关 系 (两 圆 半 径 为 r１, r２,d＝|O１O２|) 相离 外切 相交 内切 内含 图 形 量 的 关 系 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．＜　＝　＞　＞　＝　＜ ２．d＞r１＋r２　d＝r１＋r２　|r１－r２|＜d＜r１ ＋r２　d＝|r１－r２|　d＜|r１－r２| 判断直线与圆的位置关系的三种方法 (１)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半 径r的大小关系判断． (２)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程 组的解的个数来判断． (３)直线系法:若直线恒过定点,可通过点与圆 的位置关系判断,但有一定的局限性,必须 是过定点的直线系． １．圆(x＋１)２＋y２＝２的圆心到直线y＝x＋３ 的距离为 (　　) A．１　　　　　　　　B．２ C．２ D．２ ２ ２．已知点P(４,４)和以C 为圆心的圆(x－１)２ ＋y２＝４,则|CP|＝ (　　) A．４１ B．４ ２ C．５ D．３ ３．若圆x２＋y２＋４x－２y－a２＝０截直线x＋y ＋５＝０所得弦的长度为２,则实数a＝ (　　) A．±２ B．－２ C．±４ D．４ ４．直线x＋y＋２＝０分别与x轴、y轴交于A, B 两点,点 P 在圆(x－２)２＋y２＝２上,则 △ABP 面积的取值范围是 (　　) A．[２,６] B．[４,８] C．[２,３ ２] D．[２ ２,３ ２] ５．已知O为坐标原点,直线l:x＝my＋３与圆 C:x２＋y２－６x＋８＝０相交于A,B 两点,则 OA →􀅰OB → ＝ (　　) A．４ B．６ C．８ D．１０ ６．由动点P 向圆M:(x＋２)２＋(y＋３)２＝１引 两条切线PA,PB,切点分别为 A,B,若四 边形APBM 为正方形,则动点P 的轨迹方 程为 (　　) A．(x＋２)２＋(y＋３)２＝４ B．(x＋２)２＋(y＋３)２＝２ C．(x－２)２＋(y－３)２＝４ D．(x－２)２＋(y－３)２＝２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 ７．(多选)圆x２＋y２－２x＝０和圆x２＋y２＋４y ＝０的位置关系不可能是 (　　) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ８．(多选)瑞士著名数学家欧拉在１７６５年提出 定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直 线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉 线”．若△ABC 满足AC＝BC,顶点 A(０, １),B(２,－１),且其“欧拉线”与圆 M:(x－ ４)２＋y２＝r２ 相切,则下列结论正确的是 (　　) A．题中的“欧拉线”方程为x－y－１＝０ B．圆M 上的点到直线x－y＝０的最小距离 为 ２ ２ C．若圆 M 与圆x２＋(y－a)２＝８有公共点, 则a∈[－４,４] D．若点(x,y)在圆 M 上,则 yx＋１ 的最大值 是３ ４１ ４１ ９．直线x－y＝２被圆(x－４)２＋y２＝４所截得 的弦长为　　　　． １０．写出与圆x２＋y２＝１和(x－３)２＋(y－４)２ ＝１６都相切的一条直线的方程:　　　　 　　　　　． １１．设点A(－２,３),B(０,a),若直线AB 关于 y＝a对称的直线与圆(x＋３)２＋(y＋２)２ ＝１ 有公共点,则a 的取值范围是 　 　 　　． １２．已知圆C:x２＋(y－２)２＝５,直线l:mx－ y＋１＝０． (１)求证:对任意的m∈R,直线l与圆C 总 有两个不同的交点; (２)若圆C 与直线l相交于A,B 两点,求 弦AB 的中点M 的轨迹方程． １３．已知两圆 M:x２＋y２＝１０和 N:x２＋y２＋ ２x＋２y－１４＝０． (１)求两圆的公共弦所在的直线方程; (２)求过两圆交点且圆心在x＋２y－３＝０ 上的圆的方程． １４．已知圆C１:x２＋y２－４x－６y＋９＝０． (１)过点P(３,５)作圆C１ 的切线l,求直线l 的方程; (２)若圆C２:x２＋y２＋２x－４y－４＝０与圆 C１ 相交于A,B 两点,求|AB|． １．(２０２４􀅰全国甲卷,１２)已知b是a,c的等差 中项,直线ax＋by＋c＝０与圆x２＋y２＋４y －１＝０交于A,B 两点,则|AB|的最小值为 (　　) A．１　　　B．２　　　C．４　　　D．２ ５ ２．(２０２４􀅰北京卷,３)圆x２＋y２－２x＋６y＝０ 的圆心到x－y＋２＝０的距离为 (　　) A．２ B．２ C．３ D．３ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰 (3)若圆过A,C,D三点,则线段AC的中垂线方程为y一 4){+-与圆^*+(y-a){②}-8有公共点,则22 r+1,线段AD的中垂线方程为y=一2x十5,联立得 3_(4-)+(0-)<2+3,解得-34 /164965 <34.,故C错误:的几何意义为圆M上的点(X·y) 所以园的方程为(-){}(#)2}-5 与定点P(-1,0)连线的斜率,当过P(-1.0)的直线与圆 (4)若圆过B,C,D三点,则线段BD的中垂线方程为 y-1,线段BC中垂线方程为y=5r一7,联立得 P(一1,0)与圆M相切的直线方程为y一k(x+1),即kx (#^2}1 41 2 .十1 -1, 所以圆的方程为(第-)}(y一1)”-1 的最大值是3,故D正确, 41 答案:(-2)+(y-3)②-13或(x-2)+(y-1)^- $ 9.2v② 或(-分){}+(y-){}-65或(-){+(y-1)} 10.解析:由图可得,两圆外 切,且均与直线/:x=-1 相切,另过两圆圆心的直 线1的方程为y一,可 假期必刷6 直线、圆的位置关 得 与/交点为 技能提升台 技能提升 ##(# 1.#)#切线定## 1.C 2.C 3.A 4.A [:直线x十y十2-0分别交x轴、y轴于A,B两点, 理得,两围另一公切线l。 .*.A(-2,0),B(0,-2)..lABl-2v②.点P在圆( 2)^{}+y②}一2上,..圆心为(2,0),设圆心到直线的距离为 ##### 2 -1,解得- 即1-2,为由于 距离d的范围是[v2.3v②,则S△Aup-ABld'[2, +1 #得0# 两园外切,因此在公切点处存在公切线l。与/垂直,解 6.] 5.C [圆C:r^}+-6x+8-0,即(x-3)+-1,圆心$ 为C(3,0),半径r-1,又直线l:x=my十3,令y-0,则 7 r一3.即直线/恒过点C(3.0).即直线恒过圆心.又直线 l;=my+3与圆C:x2+2-6x+8-0相交于A,B两 其中之一即可) 11.解析:因为kAn-a-3.所以AB关于直线y-a的对称 点,所以CA--CB,所以OA·oB-(OC+CA).(OC+ B)-O+Cc)(-C)-O-cA-3-1* 2 -8.] 4+(③-){} 6.B [因为四边形APBM为正方形,且MA一MB一1,所 以MP一②,故动点P的轨迹是以M为圈心.②为半径的 答案:[ 圆,其方程为(x十2)?十(y+3)②-2.] 7.ABD[圆x+-2x=0的标准方程为(x-1)+2-1. 12.(1)证明:因为直线/:mx-y十1-0恒过定点N(0,1). 圆心为(1,0),半径为1,圆c2十y^②}十4y-0的标准方程为 且点N(0,1)在圆C:r2+(y-2)2-5的内部, 十(y十2)?-4,圆心为(0,-2),半径为2.*圆心距d 所以直线/与圆C总有两个不同的交点. - (1-0)*+(0+2)-5<1+2=3,且5>2-1-1. (2)解:由题知C(0,2),设动点M(x,y). .两圆相交了 当x-0时,M(0,1): 8.ABD[由题意,△ABC的“欧拉线”即AB的垂直平分 当x0时,由垂径定理,知MN1MC, 线,·A(0,1),B(2.-1)..'AB的中点坐标为(1,0), 所以-2.y-1-1, -1-1--1,则AB的垂直平分线方程为y-x-1,即 。 2-0 x-y-1-0,故A正确;.“欧拉线”与圆M:(x-4)}+ -r2相切,且圆心M(4,0)到直线r-y-1-0的距离 为{4--113、 #/2.3v2 1T 13.解:(1)方法一: -14--2②,则圆M上的点到直线x-y-0的最小 将 1士1 --1. 故两圆的交点为A(-1,3),B(3,-1), 由直线方程的两点式可得公共弦所在的直线方程为 x十y-2-0. .64· 方法二:由{ (2+2-10, 5.A [e1-# (*+y②+2r+2y-14=$ ##e-V1-m-# 2'得m=2;由 2’得 n1. 消去二次项得x十y-2一0,即为公共弦所在直线的方程. 0~n1. (2)由两圆方程可得园心连线为y一x,由圆的性质所求 园的园心在y一:上, 必要条件,] 由/:, 得x=y-1,故所求圆的圈心C(1,1). 1r十2y-3-0. 6.D [设m=|PF l,=PF, F$ PF=,由题意得 半径r=lAC = (-1-1)+(3-1)-2 2 mncos θ-9.易知a-5.b-4.c-a-6-3,则 F$ $ '.所求圆的方程为(x-1)②十(y-1)2-8. -2c-6,m+n-2a-10,由余弦定理可得cos 14.解:(1)园C的方程可化为(x m+-|FFl2 # 一.所以(m+n)2-2mn-36-2mncos0 -2)②+(y-3)?-4. 27 -18.即100-2mn-36-18,解得mn=23,即 P$F$ · 则圆心C(2,3),半径为2. [PF。1-23.] 由(3-2)2+(5-3)?4,可知 点P在圆C:的外部,作出圈C 及过点P的切线如图所示, 2-101234x $Aoo0 由图可知,过点P的切线/的斜 率存在,设/的方程为y一5一 (x-3),即hx-y+5-3-0. 则圆心C.到直线1的距离为2-3+5-3- -2,解得 :△OAB的面积是△OPF面积的倍, 1十{} b-2→2^}-5b b-0或b-- 或y-5. (2)由{}46y十9-0 ##_ 1r2+y2+2r-4y-4-0. 两式相减得直线AB的方程为6x+2y-13-0. .__ 则圆心C:到直线AB的距离d-12十6-13110 v40 所以/AB-24-d3、 2 1.由圆的定义可知|PF |+|PF|一2a=4,故A正确; 高考冲浪 1.C [因为a,b.c成等差数列,所以a-2十c-0,直线ax+by -11FF·lypl-lypl,而0<lypl<3.:△PFF2 十c一0恒过P(1,一2),当PC AB时,AB 取得最小值,此 时 PCl-1,AB-25-PC-4.] 面积最大值为③,故C错误; 2.D[圆x2+2-2x+6y-0的标准方程为(x-1)?+(y .F(-1,0),F。(1,0).FF|-2..'.以线段FF。为直 十3)②}-10,圆心坐标为(1,-3),因此圆心到直线x-y十 径的圆的方程为x2十y2-1,其圆心为(0,0),半径为1,又 直线方程为x十y一2一0,.圆心到直线的距离d 11+(-1) 假期必刷7 x 图 '以线段F,F。为直径的圆与直线x十v一2一0相离,故 技能提升台 技能提升 D错误。] 1.B 2.A 3.B 9.22-1 10.解析:取AB的中点为E,因为|MA|三NBl.所以 1MEl=NEl,设A(xi.y),B(cre.y),可得× 2 n十x2 由 cos F PF-cos 20_cos2-sin2_1-tan23 cos{2+sin}0#1+tan^{}, x1一2 +m,k<0,m0,令r-0,y-m,令y=0.x=- 由园方程可知,a2-9,b2-6,c2-2-b2-3, -$×1FfF l 1p-×2\(×13# 所以,S△PF.二 -6×,解得:;-3. 又 MN|-23,即MN|-m}+(2m)}-23,即 ##_9#×(1-)-,#此1oP{#、4# n2+ 2n{}-12,m-2,所以直线l的方程为y-- 即x+v②y-2②-0. 30.故选B.] 答案:x+/2y-2v2-0 ·6·