假期必刷5 圆的方程-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

敏而好学,不耻下问。 假期必刷5 圆的方程 完成日期:___月___口 《《思维整合室 要点记忆 知识梳理 求圆的方程的两种方法 (1)直接法: 1.设圆的圆心是C(a,),半径是r.则圆的标 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和 准方程是 ;当圆的圆心在 半径,进而写出方程. 坐标原点时,圆的半径为,,则圆的标准方 (2)待定系数法: 程是 ①若已知条件与圆心(a,)和半径,有关 2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r.若 点P在圆外,则d r.若点P在圆 则设圆的标准方程,依据已知条件列出关 上,则d r.若点P在圆内,则 于a,,,的方程组,从而求出a,,,的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则 。 3.方程x2+y2+Dx+Ey十F-0. 选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于 (1)当 时,方程表示一个点 D.E,F的方程组,进而求出D,E,F的值 该点的坐标为 《《技能提升台 (2)当 时,方程不表示任何 图形. 技能 提升 (3)当 时,方程表示的曲线 1.点P(m,5)与圆x^}十v}=24的位置关系是 为圆,它的圆心坐标为 ,半径等于 ( - ,上述方程称为圆的一 A.在圆内 B.在圆上 般式方程. C.在圆外 D.不确定 4.比较二元二次方程Ax^*}十Bxy+C十Dx+ Ey+F=0和圆的一般方程x^2十y{②}十Dx十 2.圆C:x2}+2+2x+4y-3=0的圆心坐 标是 ( Ey十F一0,可以得出如下结论,当二元二次 ) A.(1,2) 方程具有以下条件 B.(2,4) (1)^{和v的系数相同,且不等于0,即 C.(-1,-2) D.(-1,-4) (2)没有xy项,即 3.圆的一条直径为x-2(-2y<0),则此圆 (3) 时,它才表示圆. 的方程是 ) 自测自查 A.(x-2)+(y-1)?-1 $.(x-a){+(y-b)②-*x2+②-^2} B.(x-2)+(y+1)-1 C.(x+2)*+(y-1)-1 ##-## 3.(1)D②+E-4F-0 D.(x+2)②+(y+1)②-1 4.过坐标原点,且在x轴和y轴上的截距分别 (2)D+E-4F<0 ( ##-#-## 为2和3的圆的方程为 ) (3)D+E-4F>0 A.-+-2x-3y-0 B$r2++2x-3y-0 C.x*+-2x+3y-0 4.(1)A=C0 ($2)B-0 (3)D+E-4AF0$$$ D.x2++2x+3y-0 .13· ##期 5.与圆x^{+{-2x十4y+3=0同圆心,且过 13.已知直线1.过原点,且与直线l:3x-2y ) ( 点(1,一1)的圆的方程是 -1-0平行. A.{+y-2x+4y-4-0 (1)求直线乙的方程; B.2+2-2x+4y+4-0 (2)求/ 与/。间的距离 C.2+y+2x-4y-4-0 (3)若圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且 D.x2+2+2x-4y+4-0 被直线1平分,求圆C的方程 6.设O为坐标原点,A为圆C;x^{}十y{2-4x+2 一0上的一个动点,则AOC的最大值为 ( ) #A.2A B. $C D. 7.(多选)若坐标原点在圆(x一n)}十(v十) 一4的内部,则实数》的取值可以是( ) A.-1 B.2 C.-2 D.1 14.已知实数x,y满足方程x②十-4x十1=0. 8.(多选)若直线mx十2nv-4-0始终平分圆 (1)求的最大值和最小值; r*+y②-4x-2y-4=0的周长,则nn的取 值可以是 ( ) (2)求一x的最大值和最小值; A.-1 B.-2 (3)求x十v的最大值和最小值 C.1 D.2 9.已知圆x^2+y2-2x-4y=0,则该圆的圆心 坐标为 10.设圆x^{}+-4x+2-11=0的圆心为 A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹 方程是 11.设点P(x,y)是圆x^{}十(y+4)^{}=4上任意 一点,则 (x-1)}十(y-1)^{}的最大值为 12.已知一个圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点; 且在v轴上截得的线段长为4③,求该圆 高考 冲浪 的方程. 1.(2024·北京卷,3)圆^②+-2x十6y=0$$ 的圆心到x-y十2一0的距离为 ( ) A./2 B.2 C.3 D.3/2 2.(2023·上海卷,7)已知圆C:十-4y-m 一0的面积为n,则m= 3.(2022·全国乙卷,14)过四点(0,0),(4,0). (一1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为三022 则Q(x,y)关于点A(一1，一2)的对称点为Q(一2-x, -4-y). 2-a2+43 ,代入①并将两端平方得2-6a+5 2 Q在直线1上， =0,解得a1=1,a2=5.∴.r1=13,r2=√37. .2(-2-x)-3(-4-y)+1=0. 故所求圖的方程为(x-1)2十y2=13或(x-5)2+ 即直线'的方程为2x一3y-9=0. (y-4)2=37. 高考冲浪 13.解：(1)根据题意，直线11与12：3x一2y-1=0平行， 1.D[圆x2+y2-2x十6y=0的标准方程为(x-1)2+(y 十3)2=10，国心坐标为(1，一3)，因此国心到直线x一y十 则直线4的斜率为受又直线山过原点，所以直线4的 2=0的距离d=1+3+21=32.] 方程为3.x-2y=0. √112+(-1)2T (2)直线1的方程为3.x-2y=0,直线l2:3.x-2y-1 2解析：因为回心(0,0)到直线x一W3y十8=0的距离d= 0,所以4与2间的距离为10+1山 =1/13 8 =4,由弦长公式1=22-d平可得6= √32+(-2)产√1313 √/1+3 (3)设圆心C(a,b). 2√P-4,解得r=5. 由于直线l1:3.x一2y=0平分圆C,所以圆心在直线 答案：5 上.即3a-2b=0.① 又CA=ICB, 假期必刷5圆的方程 所以有√(a-1)2+(b-3)2=√(a-2)2+(b-2)产.② 技能提升台技能提升 联立①②，解得u=2,b=3. 1.C2.C3.B 所以CA=√(2-1)2+(3-3)2=1. 4.A[设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey十F=0(D2+ 所以圈C的方程为(x一2)2+(y-3)2=1. E-4F>0),:过坐标原，点，则F=0,即x2十y2+Dx+ 14.解：原方程化为(x-2)2十y2=3, Ey=0,令x=0,则y2+Ey=0.∴.y=-E=3,∴.E=-3. 令y=0,则x2+Dx=0,.x=-D=2,∴.D=-2..所求 表示以点C(2,0)为周心，以3为 半径的圆 周的方程为：x2+y2一2x-3y=0.] 5.B[设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y十m=0,由该圆 (1)设义=k,即y=kx, 过点(1，一1)，得m=4,所以所求圆的方程为x2十y2一2 由图可知当直钱y=kx与圆相切 十4y十4=0.] 时，斜率取最大值和最小值， 6.C[如图所示，当直线AO与圆相切时， A为切，点，此时∠AOC最大，连接CA, Rt△AOC中，tan∠AOC= 易得AC⊥A0.由x2+y2-4z十2=0> v√22-3 0 =3, (x-2)2+y2=2,即C(2,0),AC=2, 故k的最大值为3，由对称性知k的最小值为一尽. 所以n∠A0C-号将∠A0C-系] 故义的最大值为√，最小值为一尽 7.AD[因为(0,0)在(x一m)2+(y十m)2=4的内部，则有 (2)设y-x=b,即y=x+b, (0-m)2+(0+)2<4,解得-√2<m<2.] 当y=x十b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小 8.ABC[可知直线m.x十2y-4=0过圆心(2,1)， 值，此时2-0+b=3,即6=一2士6. 有2m+2n一4=0，即n=2-m, 则mn=m·(2-m)=-m2+2m=-(m一1)2+1≤1.] 故y一x的最大值为一2十√6，最小值为一2一. 9.(1,2)10.(x-2)2+(y+1)2=411.√26+2 (3)x2+y2表示圆上点与原点距离的平方，由图知x2+ 12.解：方法一：设圆的方程为x+y2+Dx+Ey十F=0(D+ y2的最大值为(0C1+3)2-(2+3)2=7+43. E-4F>0)①D 最小值为(OC-3)2=(2-3)2=7-43. 将P,Q的坐标分别代入①， 高考冲浪 释0 1.D[圈x2+y2-2x+6y=0的标准方程为(.x-1)2+(y 十3)2=10，圆心坐标为(1，一3).因此圆心到直线x一y+ 令x=0,由①得y2+Ey十F=0,④ 2=0的距离d4=1+3+2 =32.] 由已知y1一y2=43,其中y1y2是方程④的两根. √12+(-1) ∴(y1-y2)2=(y1+2)2-4y1y2=E2-4F=48,⑤ 2.解析：x2+(y一2)2=m十4,2=π=1，由题意m十4=1 ,D=-2, ,D=-10. >n=-3. 联立②③⑤解得E=0,或E=-8, 答案：-3 (F=-12,(F=4. 3.解析：设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),圆过其 故所求方程为x2+y2-2.x-12=0或x2十y2-10.x 中三，点共有四种情况，解决办法是两条中垂线的交，点为 8y十4=0. 圆心，圆心到任一点的距离为半径. 方法二：由题意得线段PQ的中垂线方程为x一y一1=0. (1)若圆过A,B,C三点，则圆心在直线x=2,设圆心坐标 .所求圆的圆心C在直线x一y一1=0上，设其坐标为 为(2，a),则4十a2=9+(a-1)2>a=3,r=√4+a2 (a,a一1).又圆C的半径长r=|CP= √13.所以圆的方程为(.x-2)2+(y-3)2=13. (a-4)2+(a+1)2.① (2)若圆过A,B,D三点，同(1)设国心坐标为(2，a),则 由已知圃C截y轴所得的线段长为4√3，而围心C到y 4+a2=4+(a-2)2>a=1,r=V√4+a2=5,所以圆的方 轴的距离为|a. 程为(x-2)2+(y-1)2=5. ·63· 飞曼快乐隧阴 c900号 (3)若圆过A,C,D三，点，则线段AC的中垂线方程为y= x十1，线段AD的中垂线方程为y=一2.x十5，联立得 02+y2=号与国2+y-@2=8有公共点，则2E- t= 3 16+49-6 ≤4-0+0-<22+3解得-<。 2 2 7 3 y=31 ≤，故C错误：卉行的几何意又为圆M上的点 2 所以同的方程为（一者）广+（一）了-要 与定点P(一1,0)连线的斜率，当过P(一1.0)的直线与圆 (4)若圆过B,C,D三点，则线段BD的中垂线方程为 M相切，且直线的斜率为正时十取得最大位，设过点 y=1,线段BC中垂线方程为y=5r-7,联立得 P(一1,0)与圆M相切的直线方程为y=(x十1)，即kx =-倍-+1-号 一y十=0，由-3解得长-士克 y=1. R+1 2 所以国的方程为（一号）+0-=10 的最大值是3厘，故D正确，] 25 41 答案：(.x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 9.2√2 10.解析：由图可得，两圆外 切，且均与直线l1:x=一1 -169 相切，另过两圆圆心的直 25 4 假期必刷6 直线、圆的位置关系 线1的方程为y=青，可 得1与1交点为 技能提升台技能提升 1.C2.C3.A P(1,-)由切线定 4,A[:直线x十y十2=0分别交x轴，y轴于A,B两点， 理得，两圆另一公切线2 .A(一2,0)，B(0,一2)，.AB引=2√2，点P在圆(x- 2)2+y2=2上，∴.圆心为(2,0)，设国心到直线的距离为 进点P设y十号=+1D,由点到直线距离公式可 山，则d=2+0+2L=22.故点P到直线x十y十2=0的 ② 得 -1,解得一即6：y一一票另由于 距高d的范周是[E,3②，期S△up=宁ABld∈[2， √2+1 两圆外切，因此在公切点处存在公切线13与【垂直，解 6].] 5.C[圆C:x2+y2-6x+8=0,即(x-3)2+y2=1,圆心 得6w=-+ 为C(3,0),半径r=1,又直线1：x=my十3，令y=0,则 x=3,即直线1恒过，点C(3,0),即直线恒过圆心，又直线 答案=-1，成y=一票或y=一是十（答对 7 l:x=my+3与圆C:x2+y2-6x十8=0相交于A,B两 其中之一即可) 点，所以CA=-CB,所以OA.OB=(O元+CA)·(O元+ 1山，解析：周为=“2，所以AB关于直线y=a的对称 CB)=(0元+CA)·(O元-CA)=OC2-CA2=32-12 直线为(3-ax-2y十2u=0,所以3a-3》+4+2a≤1，整 =8.J √4+(3-a) 6.B[因为四边形APBM为正方形，且MA=MB=1,所 以MP=√2，故动点P的轨迹是以M为圆心W②为半径的 理可得122-2a十6<0，解得号<a<号 圆，其方程为(x+2)2+(y+3)2=2.] 答案：[] 7.ABD[圆x2+3y2-2.x=0的标准方程为(x-1)2十y2=1, 12.(1)证明：因为直线l:mx-y十1=0恒过定点N(0,1), 圆心为(1,0)，半径为1，圆x2十y2+4y=0的标准方程为 且点N(0,1)在圆C:x2+(y-2)2=5的内部， x2十(y+2)2=4,圆心为(0，一2)，半径为2.∴，圆心距d 所以直线【与圆C总有两个不同的交点， =√/(1-0)2+(0十2)=5<1+2=3，且5>2-1=1. (2)解：由题知C(0,2),设动点M(r,y), 两圆相交.门 当x=0时，M(0,1): 8.ABD[由题意，△ABC的“欧拉线”即AB的垂直平分 当x≠0时，由垂径定理，知MN⊥MC, 线，A(0,1),B(2,-1),.AB的中点坐标为(1,0)，kA福 =司-1，则AB的套直平分我方程为y一1，即 所以二2.y二1=一1 x一y-1=0,故A正确：“欧拉线”与圆M:(x一4)2+ 丝理得+（一号）广-又0）满足北方程 y2=r2相切，且圆心M(4,0)到直线x一y-1=0的距离 所以弦AB的中点M的载选方程是2+（一昌）广=子 为=要=学，别国M的方程为红 13.解：(1)方法一： 42+y2=号，国心M(4,0)到直线x一y=0的距离为d 由/2+y2=10. {x2+y2+2.x+2y-14=0. =4一0=22，则圆M上的点到直线x一y=0的最小 1+1 得 y=-1. 故两圆的交点为A(一1,3)，B(3,一1)， 距房为山一=2巨-3学=竖故B正确：老国M: 由直线方程的两点式可得公共弦所在的直线方程为 x十y-2=0. ·64·