假期必刷4 两直线的位置关系-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

９．解析:由点斜式可得y－ ３＝tan３０°(x＋１),即y－ ３＝ ３ ３ (x＋１),化简得x－ ３y＋４＝０． 答案:x－ ３y＋４＝０ １０．解析:由题知 M(２,４),N(３,２),故中位线 MN 所在直线 的方程为y－４ ２－４＝ x－２ ３－２ ,整理得２x＋y－８＝０． 答案:２x＋y－８＝０ １１．解析:由题意知,入射光线所在 直线的斜率为tan１５０°＝－ ３３ , 所以入射光线方程y－３＝－ ３３ (x＋ ３),整理得y＝－ ３３x＋２ , 令y＝０ 得x＝２ ３,所 以 入 射 光 线 与x 轴 的 交 点 为 (２ ３,０),由对称性知,反射光线的斜率为 ３３ ,所以反射 光线的方程为y－０＝ ３３ (x－２ ３),即y＝ ３３x－２． 答案:y＝ ３３x－２ １２．解:(１)设直线y＝３x的倾斜角为α, 则所求直线的倾斜角为２α． 因为tanα＝３, 所以tan２α＝ ２tanα １－tan２α ＝－３４． 又直线经过点A(－１,－３), 因此所求直线方程为y＋３＝－３４ (x＋１), 即３x＋４y＋１５＝０． (２)由题意,可知所求直线的斜率为±１． 又过点B(３,４), 由点斜式得y－４＝±(x－３)． 所求直线的方程为x－y＋１＝０或x＋y－７＝０． １３．解:(１)当直线l过原点时,直线l在x 轴和y 轴上的截 距都为０,相等,∴２－a＝０,a＝２．∴直线l的方程为３x ＋y＝０．若a≠２且a≠－１,则a－２a＋１＝a－２ ,即a＋１＝１, ∴a＝０,∴直线l的方程为x＋y＋２＝０．∴实数a的值 为０或２． (２)直线l的方程可化为y＝－(a＋１)x＋a－２,故要使l 不经过第二象限,只需 － (a＋１)≥０, a－２≤０,{ 解得a≤－１,所以 a的取值范围为(－∞,－１]． １４．(１)证明:直线l的方程可化为k(x＋２)＋(１－y)＝０, 令 x＋２＝０, １－y＝０,{ 解得 x＝－２, y＝１．{ ∴无论k取何值,直线总经过定点(－２,１)． (２)解:由方程知,当k≠０时,直线在x 轴上的截距为 －１＋２kk ,在y轴上的截距为１＋２k, 要使直线不经过第四象限,则必须有 － １＋２k k ≤０ , １＋２k≥０,{ 解得 k＞０; 当k＝０时,直线为y＝１,符合题意,故k的取值范围是 [０,＋∞)． (３)解:由 题 意 可 知 k ≠ ０,再 由 l 的 方 程,得 A －１＋２kk ,０( ),B(０,１＋２k),依题意得 － １＋２k k ＜０ , １＋２k＞０,{ 解得 k＞０．∴S＝１２|OA| 􀅰|OB|＝１２ １＋２k k 􀅰|１＋２k| ＝ １２ 􀅰 (１＋２k) ２ k ＝ １ ２ ４k＋ １ k＋４( ) ≥ １ ２ × ２ ４k􀅰１k＋４ æ è ç ö ø ÷＝４, 当且仅当４k＝１k ,即k＝１２ 时取等号, ∴Smin＝４． 此时直线l的方程为x－２y＋４＝０． 高考冲浪 １．A　[若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,圆心坐标(a, ０),所以由２a＋０－１＝０,解得a＝１２． ] ２．解析:计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理可得出关 于m 的等式,即可解得m 的值． 圆(x－１)２＋(y－１)２＝３的圆心坐标为(１,１),半径为 ３, 圆心到直线x－y＋m＝０(m＞０)的距离为|１－１＋m| ２ ＝ m ２ ,由勾股定理可得 m ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ m２( ) ２ ＝３,因为m＞０, 解得m＝２．故答案为:２． 答案:２ 假期必刷４　两直线的位置关系 技能提升台　技能提升 １．A　[由l１⊥l２,得２(m＋１)(m－３)＋２(m－３)＝０, ∴m＝３或 m＝－２,∴m＝３是l１⊥l２ 的充分不必要条 件．故选 A．] ２．C　[由根与系数的关系得ka􀅰kb＝－１,则a与b 互相 垂直．] ３．A　[联立 x＝２ , ３x＋２y－１２＝０,{ 得 x＝２, y＝３,{ 所以两条直线的交点坐标为(２,３)．] ４．D　[由(m－１)x＋(２m－１)y＝m－５,得(x＋２y－１)􀅰m －(x＋y－５)＝０,由 x＋２y－１＝０, x＋y－５＝０,{ 得定点坐标为(９,－４), 故选 D．] ５．C　[直线２x＋y＋m＝０的斜率k１＝－２,直线x＋２y＋n ＝０ 的 斜 率 为k２＝－ １ ２ ,则k１≠k２,且k１k２≠－１．故 选C．] ６．A　[直线３x＋４y＋３＝０与直线６x＋my－１４＝０平行, ∴６３＝ m ４≠ －１４ ３ ,解得m＝８． 直线６x＋my－１４＝０,即直线６x＋８y－１４＝０,化为３x＋ ４y－７＝０, ∴它们之间的距离＝|－７－３| ３２＋４２ ＝２．故选 A．] ７．BC　[直线l１,l２ 对应的斜率k１,k２ 存在,则直线方程可 化为l１:y＝－ １ ax－ b a ,l２:y＝－ １ cx－ d c ,∴k１＝－ １ a ＞０,k２＝－ １ c＞０． 又k１＞k２,∴c＜a＜０,C正确,D错误; 又 －ba ＜０ , －dc ＞０ , ì î í ïï ï ∴b＜０,d＞０,A错误,B正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 ８．BD　[由题可知点 A,B 在直线 x＋y－３＝０的同侧,设点B 关于 直线x＋y－３＝０ 的 对 称 点 为 B′(a,b),如图所示． 则 a＋６ ２ ＋ b＋２ ２ －３＝０ , b－２ a－６× (－１)＝－１, ì î í ïï ï 解 得 a＝１, b＝－３,{ 即B′(１,－３)．要使将军走过的总路程最短,则 将军从出发点到河边的路线所在直线即为直线AB′． 因为A(２,４),所以直线AB′的方程为y＋３＝４＋３２－１ (x－１),即 ７x－y－１０＝０,故 A 错误．设将军在河边饮马的地点为 M,则M 即为直线７x－y－１０＝０与x＋y－３＝０的交点, 联立两直线方程解得 M １３８ ,１１ ８( ),故B正确． 将军从河边回军营的路线所在直线为直线BM,又B(６,２), 所以直线BM 的方程为y－２＝ １１ ８－２ １３ ８－６ (x－６),即x－７y＋ ８＝０,故C错误． 总路程|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MB′|＝|AB′|＝ (２－１)２＋(４＋３)２＝５ ２, 所以“将军饮马”走过的总路程为５ ２,故 D正确．] ９．解析:∵l１∥l２,∴ ３＋t ２ ＝ ４ ５＋t≠ ５－３t ８ , 解得t＝－７． 答案:－７ １０．解析:由方程组 x－２y＋４＝０ , x＋y－２＝０,{ 得 x＝０, y＝２,{ 即交点P(０,２)． 因l３ 的斜率为 ３ ４ ,且l⊥l３,故l的斜率为－ ４ ３． 故直线l 的方程为y＝－４３x＋２ ,即４x＋３y－６＝０． 答案:４x＋３y－６＝０ １１．解析:由题可知直线l１ 的斜率为－ １ a (a≠０), 直线l２ 的斜率为 ３ ４ ,所以－１a＝ ３ ４ , 解得a＝－４３ , 则直线l１:３x－４y－６＝０, 直线l２:３x－４y－４＝０, 两直线间的距离d＝ |－６＋４| ３２＋(－４)２ ＝２５． 答案:－４３　 ２ ５ １２．解:(１)法一　由A１B２－A２B１＝０, 得a(a－１)－１×２＝０, 由A１C２－A２C１≠０,得a(a２－１)－１×６≠０, 所以l１∥l２⇔ a(a－１)－１×２＝０, a(a２－１)－１×６≠０,{ ⇒ a２－a－２＝０, a(a２－１)≠６,{ 可得a＝－１, 故当a＝－１时,l１∥l２． 法二　当a＝１时,l１:x＋２y＋６＝０,l２:x＝０, l１ 不平行于l２; 当a＝０时,l１:y＝－３,l２:x－y－１＝０, l１ 不平行于l２; 当a≠１且a≠０时,两直线方程可化为l１: y＝－a２－３ ,l２:y＝ １ １－ax－ (a＋１), l１∥l２⇔ －a２＝ １ １－a , －３≠－(a＋１),{ 解得a＝－１, 综上,当a＝－１时,l１∥l２． (２)法一　由A１A２＋B１B２＝０, 得a＋２(a－１)＝０,可得a＝２３． 法二　当a＝１时,l１:x＋２y＋６＝０,l２:x＝０,l１ 与l２ 不 垂直,故a＝１不成立; 当a＝０时,l１:y＝－３,l２:x－y－１＝０, l１ 不垂直于l２,故a＝０不成立; 当a≠１且a≠０时,l１:y＝－ a ２x－３ , l２:y＝ １ １－ax－ (a＋１), 由 －a２( )􀅰 １ １－a＝－１ ,得a＝２３． １３．解:(１)联立 ２x－３y＋１＝０ , x＋y－２＝０,{ 解得 x＝１, y＝１,{ 即交点P(１,１)． 设与直线x－３y－１＝０平行的直线方程为x－３y＋c１＝ ０(c１≠－１)． 把P(１,１)的坐标代入可得１－３＋c１＝０,可得c１＝２, ∴所求直线方程为x－３y＋２＝０． (２)设与直线x－３y－１＝０垂直的直线l的方程为３x＋ y＋c２＝０, ∵P(１,１)到l的距离为 |３＋１＋c２| １０ ＝ １０５ ,解得c２＝ －２或－６, ∴直线l的方程为３x＋y－２＝０或３x＋y－６＝０． １４．解:(１)设A′(x,y) 则 y＋２ x＋１ 􀅰２ ３＝－１ , ２×x－１２ －３× y－２ ２ ＋１＝０ , ì î í ïï ï 解得 x＝－３３１３ , y＝４１３ , ì î í ïï ï 即A′ －３３１３ ,４ １３( )． (２)在直线m 上取一点,如 M(２,０), 则 M(２,０)关于直线l的对称点必在m′上． 设对称点为 M′(a,b), 则 ２×a＋２２ －３× b＋０ ２ ＋１＝０ , b－０ a－２× ２ ３＝－１ , ì î í ïï ï 解得 a＝６１３ , b＝３０１３ , ì î í ïï ï 即 M′ ６１３ ,３０ １３( )． 设m 与l的交点为N,则由 ２x－３y＋１＝０ , ３x－２y－６＝０,{ 得N(４,３)．又∵m′经过点N(４,３), ∴由两点式得直线m′的方程为９x－４６y＋１０２＝０． (３)法一　在l:２x－３y＋１＝０上任取两点, 如P(１,１),N(４,３), 则P,N 关于点A 的对称点P′,N′均在直线l′上． 易知P′(－３,－５),N′(－６,－７), 由两点式可得l′的方程为２x－３y－９＝０． 法二　设Q(x,y)为l′上任意一点, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 则Q(x,y)关于点A(－１,－２)的对称点为Q′(－２－x, －４－y)． ∵Q′在直线l上, ∴２(－２－x)－３(－４－y)＋１＝０, 即直线l′的方程为２x－３y－９＝０． 高考冲浪 １．D　[圆x２＋y２－２x＋６y＝０的标准方程为(x－１)２＋(y ＋３)２＝１０,圆心坐标为(１,－３),因此圆心到直线x－y＋ ２＝０的距离d＝ |１＋３＋２| |１２＋(－１)２| ＝３ ２．] ２．解析:因为圆心(０,０)到直线x－ ３y＋８＝０的距离d＝ ８ １＋３ ＝４,由 弦 长 公 式 l＝２ r２－d２ 可 得 ６＝ ２ r２－４２,解得r＝５． 答案:５ 假期必刷５　圆的方程 技能提升台　技能提升 １．C　２．C　３．B ４．A　[设圆的一般方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２＋ E２－４F＞０),∵过坐标原点,则F＝０,即x２＋y２＋Dx＋ Ey＝０,令x＝０,则y２＋Ey＝０,∴y＝－E＝３,∴E＝－３． 令y＝０,则x２＋Dx＝０,∴x＝－D＝２,∴D＝－２．∴所求 圆的方程为:x２＋y２－２x－３y＝０．] ５．B　[设所求圆的方程为x２＋y２－２x＋４y＋m＝０,由该圆 过点(１,－１),得m＝４,所以所求圆的方程为x２＋y２－２x ＋４y＋４＝０．] ６．C　[如图所示,当直线AO 与圆相切时, A 为切点,此时∠AOC 最大,连接CA, 易得AC⊥AO．由x２＋y２－４x＋２＝０⇒ (x－２)２＋y２＝２,即C(２,０),AC＝ ２, 所以sin∠AOC＝ ２２ ,得∠AOC＝π４． ] ７．AD　[因为(０,０)在(x－m)２＋(y＋m)２＝４的内部,则有 (０－m)２＋(０＋m)２＜４,解得－ ２＜m＜ ２．] ８．ABC　[可知直线mx＋２ny－４＝０过圆心(２,１), 有２m＋２n－４＝０,即n＝２－m, 则mn＝m􀅰(２－m)＝－m２＋２m＝－(m－１)２＋１≤１．] ９．(１,２)　１０．(x－２)２＋(y＋１)２＝４　１１． ２６＋２ １２．解:方法一:设圆的方程为x２＋y２＋Dx＋Ey＋F＝０(D２＋ E２－４F＞０)　① 将P,Q 的坐标分别代入①, 得 ４D－２E＋F＋２０＝０,　② D－３E－F－１０＝０,　③{ 令x＝０,由①得y２＋Ey＋F＝０,　④ 由已知|y１－y２|＝４ ３,其中y１,y２ 是方程④的两根． ∴(y１－y２)２＝(y１＋y２)２－４y１y２＝E２－４F＝４８,　⑤ 联立②③⑤解得 D＝－２, E＝０, F＝－１２, { 或 D＝－１０, E＝－８, F＝４． { 故所求方程为x２＋y２－２x－１２＝０或x２＋y２－１０x－ ８y＋４＝０． 方法二:由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－１＝０． ∴所求圆的圆心C 在直线x－y－１＝０上,设其坐标为 (a,a － １)．又 圆 C 的 半 径 长 r ＝ |CP| ＝ (a－４)２＋(a＋１)２．　① 由已知圆C截y 轴所得的线段长为４ ３,而圆心C 到y 轴的距离为|a|． ∴r２＝a２＋ ４ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ,代入①并将两端平方得a２－６a＋５ ＝０,解得a１＝１,a２＝５,∴r１＝ １３,r２＝ ３７． 故所求圆的方程 为(x－１)２＋y２＝１３ 或(x－５)２＋ (y－４)２＝３７． １３．解:(１)根据题意,直线l１ 与l２:３x－２y－１＝０平行, 则直线l１ 的斜率为 ３ ２ ,又直线l１ 过原点,所以直线l１ 的 方程为３x－２y＝０． (２)直线l１ 的方程为３x－２y＝０,直线l２:３x－２y－１＝ ０,所以l１ 与l２ 间的距离为 |０＋１| ３２＋(－２)２ ＝ １ １３ ＝ １３１３ ． (３)设圆心C(a,b)． 由于直线l１:３x－２y＝０平分圆C,所以圆心在直线l１ 上,即３a－２b＝０．① 又|CA|＝|CB|, 所以有 (a－１)２＋(b－３)２＝ (a－２)２＋(b－２)２．② 联立①②,解得a＝２,b＝３． 所以|CA|＝ (２－１)２＋(３－３)２＝１． 所以圆C的方程为(x－２)２＋(y－３)２＝１． １４．解:原方程化为(x－２)２＋y２＝３, 表示以点C(２,０)为圆心,以 ３为 半径的圆． (１)设yx ＝k ,即y＝kx, 由图可知当直线y＝kx 与圆相切 时,斜率k取最大值和最小值, Rt△AOC 中,tan∠AOC＝ ３ ２２－３ ＝ ３, 故k的最大值为 ３,由对称性知k的最小值为－ ３． 故y x 的最大值为 ３,最小值为－ ３． (２)设y－x＝b,即y＝x＋b, 当y＝x＋b与圆相切时,纵截距b取得最大值和最小 值,此时|２－０＋b| ２ ＝ ３,即b＝－２± ６． 故y－x的最大值为－２＋ ６,最小值为－２－ ６． (３)x２＋y２ 表示圆上点与原点距离的平方,由图知x２＋ y２ 的最大值为(|OC|＋ ３)２＝(２＋ ３)２＝７＋４ ３． 最小值为(|OC|－ ３)２＝(２－ ３)２＝７－４ ３． 高考冲浪 １．D　[圆x２＋y２－２x＋６y＝０的标准方程为(x－１)２＋(y ＋３)２＝１０,圆心坐标为(１,－３),因此圆心到直线x－y＋ ２＝０的距离d＝ |１＋３＋２| １２＋(－１)２ ＝３ ２．] ２．解析:x２＋(y－２)２＝m＋４,r２＝ππ＝１ ,由题意m＋４＝１ ⇒m＝－３． 答案:－３ ３．解析:设点A(０,０),B(４,０),C(－１,１),D(４,２),圆过其 中三点共有四种情况,解决办法是两条中垂线的交点为 圆心,圆心到任一点的距离为半径． (１)若圆过A,B,C三点,则圆心在直线x＝２,设圆心坐标 为(２,a),则４＋a２＝９＋(a－１)２⇒a＝３,r＝ ４＋a２＝ １３,所以圆的方程为(x－２)２＋(y－３)２＝１３． (２)若圆过A,B,D 三点,同(１)设圆心坐标为(２,a),则 ４＋a２＝４＋(a－２)２⇒a＝１,r＝ ４＋a２＝ ５,所以圆的方 程为(x－２)２＋(y－１)２＝５． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 假期必刷４　两直线的位置关系　　 １．两条直线位置关系的判定 直线 方程 斜截式 一般式 位置 关系 y＝k１x＋b１ y＝k２x＋b２ A１x＋B１y＋C１＝０ A２x＋B２y＋C２＝０ 相交 　　　　 　　　　　　　　 垂直 　　　　 　　　　　　　　 平行 　　　　 且　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　 重合 k１＝k２ 且b１＝b２ A１B２－A２B１＝０ B２C１－B１C２＝０ { 或 A１B２－A２B１＝０ A１C２－A２C１＝０ { ２．三种距离 (１)两点间的距离公式 平面上任意两点P１(x１,y１),P２(x２,y２)间 的距离公式为|P１P２|＝ 　． 特别地,原点O(０,０)与任一点P(x,y)的 距离|OP|＝　　　　． (２)点到直线的距离公式 平面上任意一点P０(x０,y０)到直线l:Ax＋ By＋C＝０的距离d＝　　　　　　． (３)两条平行线间的距离公式 一般地,两条平行直线l１:Ax＋By＋C１＝０, l２:Ax＋By＋C２＝０间的距离d＝ 　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．k１≠k２　A１B２－A２B１≠０　k１k２＝－１　 A１A２ ＋B１B２ ＝０　k１ ＝k２ 且 b１ ≠b２ 　 A１B２－A２B１＝０ B２C１－B１C２≠０{ 或 A１B２－A２B１＝０ A１C２－A２C１≠０{ ２．(１)(x２－x１)２＋(y２－y１)２　 x２＋y２ (２) |Ax０＋By０＋C| A２＋B２ 　(３) |C１－C２| A２＋B２ 常见的三大直线系方程 (１)与直线Ax＋By＋C＝０平行的直线系方 程是Ax＋By＋m＝０(m∈R且m≠C)． (２)与直线Ax＋By＋C＝０垂直的直线系方 程是Bx－Ay＋m＝０(m∈R)． (３)过直线l１:A１x＋B１y＋C１＝０与l２:A２x＋ B２y＋C２＝０的交点的直线系方程为A１x ＋B１y＋C１＋λ(A２x＋B２y＋C２)＝０(λ∈ R),但不包括l２． １．“m＝３”是“直线l１:２(m＋１)x＋(m－３)y＋ ７－５m＝０与直线l２:(m－３)x＋２y－５＝０ 垂直”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ２．若直线a,b的斜率分别为方程x２－４x－１＝０ 的两个根,则a与b的位置关系为 (　　) A．互相平行　　　　　B．互相重合 C．互相垂直 D．无法确定 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０１􀅰 ３．两条直线l１:x＝２和l２:３x＋２y－１２＝０的 交点坐标是 (　　) A．(２,３) B．(－２,３) C．(３,－２) D．(－３,２) ４．不论m 为何值时,直线(m－１)x＋(２m－１) y＝m－５恒过定点 (　　) A．１,－１２ æ è ç ö ø ÷ B．(－２,０) C．(２,３) D．(９,－４) ５．直线２x＋y＋m＝０和x＋２y＋n＝０的位置 关系是 (　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定 ６．已知直线３x＋４y＋３＝０与直线６x＋my－ １４＝０平行,则它们之间的距离是 (　　) A．２ B．８ C．１７５ D． １７ １０ ７．(多选)直线l１,l２ 的方程分 别为l１:x＋ay＋b＝０,l２:x ＋cy＋d＝０,它们在坐标 系中的位置如图所示,则下 列结论中正确的是 (　　) A．b＞０,d＜０ B．b＜０,d＞０ C．a＞c D．a＜c ８．(多选)２０２３年动画电影«长安三万里»重新 点燃了人们对唐诗的热情,唐诗中边塞诗又 称出塞诗,是唐代汉族诗歌的主要题材,是 唐诗当中思想性最深刻、想象力最丰富、艺 术性最强的一部分,唐代诗人李颀的边塞诗 «古从军行»开头两句说:“白日登山望峰火, 黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的 数学问题———“将军饮马”,即将军在白天观 望烽火台,黄昏时从山脚下某处出发,先到 河边饮马,再回军营,怎样走才能使总路程 最短? 在平面直角坐标系中,设将军的出发 点是A(２,４),军营所在位置为B(６,２),河 岸线所在直线的方程为x＋y－３＝０,若将 军从出发点到河边饮马,再回到军营的总路 程最短,则 (　　) A．将军从出发点到河边的路线所在直线的 方程是６x－y－８＝０ B．将军在河边饮马的地点的坐标为 １３８ ,１１ ８ æ è ç ö ø ÷ C．将军从河边回军营的路线所在直线的方 程是x－６y＋６＝０ D．“将军饮马”走过的总路程为５ ２ ９．已知两条直线l１:(３＋t)x＋４y＝５－３t,l２: ２x＋(５＋t)y＝８,l１∥l２,则t＝　　　　． １０．经过两条直线l１:x－２y＋４＝０和l２:x＋y －２＝０的交点且与直线l３:３x－４y＋５＝０ 垂直的直线l的方程为　　　　． １１．直线l１:x＋ay－２＝０(a∈R)与直线l２: y＝３４x－１ 平行,则a＝　　　　,l１ 与l２ 的距离为　　　　． １２．已知直线l１:ax＋２y＋６＝０和直线l２:x＋ (a－１)y＋a２－１＝０． (１)试判断l１ 与l２ 是否平行; (２)当l１⊥l２ 时,求a的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１􀅰 １３．已知直线２x－３y＋１＝０和直线x＋y－２ ＝０的交点为P． (１)求过点P 且与直线x－３y－１＝０平行 的直线方程; (２)若直线l与直线x－３y－１＝０垂直,且 P 到l的距离为 １０５ ,求直线l的方程． １４．已知直线l:２x－３y＋１＝０,点 A(－１, －２)．求: (１)点A 关于直线l的对称点A′的坐标; (２)直线m:３x－２y－６＝０关于直线l的 对称直线m′的方程; (３)直线l关于点A 对称的直线l′的方程． １．(２０２４􀅰北京卷,３)圆x２＋y２－２x＋６y＝０ 的圆心到x－y＋２＝０的距离为 (　　) A．２ B．２ C．３ D．３ ２ ２．(２０２０􀅰天津卷,１２)已知直线x－３y＋８＝０和 圆x２＋y２＝r２(r＞０)相交于 A,B 两点．若 |AB|＝６,则r的值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１􀅰