假期必刷3 直线方程-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

所以 m􀅰AC→＝０, m􀅰AB１ →＝０{ ⇒ ２x１－y１＝０, －y１＋z１＝０,{ 令x１＝ ２,则y１＝z１＝２,可得平面AB１C的一个法向量 m＝(２,２,２)． 设平面A１B１C的法向量为n＝(x２,y２,z２),因为A１C →＝ (２,－１,－１),A１B１ →＝(０,－１,０), 所以 n􀅰A１C →＝０, n􀅰A１B１ →＝０{ ⇒ ２x２－y２－z２＝０, －y２＝０,{ 令x２＝ ２,则y２＝０,z２＝２,可得平面A１B１C 的一个法 向量n＝(２,０,２)． 设平面 A１B１C 与 平 面 AB１C 的 夹 角 为θ,则 cosθ＝ |m􀅰n| |m||n|＝ １５ ５ , 故平面A１B１C与平面AB１C的夹角的余弦值为 １５ ５ ． 高考冲浪 １．解:(１)因为PA⊥底面ABCD,AP,BP⊂平面PAB,所以 PA⊥AD,PA⊥BC．又AD⊥PB,且AP∩BP＝P,所以 AD⊥平面PAB．在△ABC中,因为AC＝２,BC＝１,AB＝３,所 以AC２＝BC２＋AB２,即AB⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩AB＝ A,AP,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB．因此,AD∥BC, 又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC． (２)过D 点作DE∥PA,则DE ⊥平面ABCD,以D 为坐标原 点,分别以DA,DC,DE 所在的 直线为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系．设DA＝m,DC＝ n,其中 m２＋n２＝４,则 A(m, ０,０),C(０,n,０),P(m,０,２), 所以AP→＝(０,０,２),CP→＝(m,－n,２),DC→＝(０,n,０)． 设 平 面 APC 的 法 向 量 为 n ＝ (x,y,z),则 ２z＝０, mx－ny＋２z＝０,{ 令x＝n,则y＝m,所以n＝(n,m,０); 设平面DPC的法向量为v＝(x,y,z),同理可得v＝(２,０, －m)． 因为二面角AＧPCＧD 为锐二面角,所以其余弦值为 ７７ ,因 此 ７ ７＝|cos ‹n,v›|＝ ２n m２＋n２ ４＋m２ ,解得 m＝ ３,即 AD＝ ３． ２．解:(１)取CB１ 中点P,连接NP,MP, 由N 是B１C１ 的中点,故NP∥CC１,且NP＝ １ ２CC１ , 由 M 是DD１ 的中点,故D１M＝ １ ２DD１＝ １ ２CC１ ,且D１M ∥CC１, 则有D１M∥NP 且D１M＝NP, 故四边形D１MPN 是平行四边形,故D１N∥MP, 又 MP⊂平面CB１M,D１N⊄平面CB１M, 故D１N∥平面CB１M; (２)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,有A(０,０, ０)、B(２,０,０)、B１(２,０,２)、M(０,１,１)、C(１,１,０)、C１(１,１,２), 则有CB１ →＝(１,－１,２)、CM→＝(－１,０,１),BB１ →＝(０,０,２), 设平面CB１M 与平面BB１CC１ 的法向量分别为m＝(x１, y１,z１)、n＝(x２,y２,z２), 则有 m􀅰CB１ →＝x１－y１＋２z１＝０ m􀅰CM→＝－x１＋z１＝０{ , n􀅰CB１ →＝x２－y２＋２z２＝０ n􀅰BB１ →＝２z２＝０{ , 分别取x１＝x２＝１,则有y１＝３、z１ ＝１、y２＝１,z２＝０, 即m＝(１,３,１),n＝(１,１,０), 则 cos ‹m,n›＝ m 􀅰n |m||n| ＝ １＋３ １＋９＋１􀅰 １＋１ ＝２ ２２１１ , 故平面CB１M 与平面BB１CC１ 的夹角的余弦值为 ２ ２２ １１ ; (３)由BB１ →＝(０,０,２),平面CB１M 的法向量为m＝(１,３,１), 则有 |BB１ →􀅰m| |m| ＝ ２ １＋９＋１ ＝２ １１１１ , 即点B 到平面CB１M 的距离为 ２ １１ １１ ． 假期必刷３　直线方程 技能提升台　技能提升 １．C　[由题易知直线AB 的斜率k＝１－４ ３－０ ＝－ ３,设直线 AB 的倾斜角为θ,则tanθ＝－ ３,得θ＝１２０°．] ２．C　[y＝k(x－２)为直线的点斜式方程,只能表示斜率存 在的直线,且直线过点(２,０)．] ３．C　[∵A,B,C 三点共线,∴kAB＝kAC,即 １ ２＋３ ８－１＝ λ＋３ ９－１ , 解得λ＝１．] ４．B　[因为k１＝tanα＝ ３,α＝６０°,所以k＝tan１２０°＝ － ３,所以直线l的方程是y－１＝－ ３(x＋１),即 ３x＋y ＋ ３－１＝０．] ５．C　[∵AB＞０且BC＜０,∴－AB ＜０ ,－CB ＞０ ,直线y＝ －ABx－ C B 的斜率小于零,在y轴上的截距大于零,故直 线过第一、二、四象限,不经过第三象限．] ６．B　[当直线过原点时,由直线过点(５,２),可得直线的斜 率为２ ５ ,故直线的方程为y＝２５x ,即２x－５y＝０;当直线 不过原点时,设直线在x轴上的截距为b,则在y轴上的 截距是２b,直线的方程为xb ＋ y ２b＝１ ,把点(５,２)代入可得 ５ b＋ ２ ２b＝１ ,解得b＝６．故直线的方程为x６＋ y １２＝１ ,即２x ＋y－１２＝０．] ７．BD　[根据直线倾斜角的范围为[０,π),而π－α∈R,A 不 正确;当x＝y＝０时,xsinα＋ycosα＋１＝１≠０,所以直线 必不过原点,B正确;当α＝π２ 时,直线斜率不存在,C不 正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三 角形的面积为S＝１２ １ －sinα 􀅰 １ －cosα ＝ １ |sin２α|≥１ , D正确．] ８．ABC　[当直线经过原点时,斜率为k＝２－０１－０＝２ ,所求的 直线方程为y＝２x,即２x－y＝０;当直线不过原点时,设 所求的直线方程为x±y＝k,把点A(１,２)代入可得１－２ ＝k或１＋２＝k,求得k＝－１或３,故所求的直线方程为 x－y＋１＝０或x＋y－３＝０．综上,所求的直线方程为 ２x－y＝０,x－y＋１＝０或x＋y－３＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 ９．解析:由点斜式可得y－ ３＝tan３０°(x＋１),即y－ ３＝ ３ ３ (x＋１),化简得x－ ３y＋４＝０． 答案:x－ ３y＋４＝０ １０．解析:由题知 M(２,４),N(３,２),故中位线 MN 所在直线 的方程为y－４ ２－４＝ x－２ ３－２ ,整理得２x＋y－８＝０． 答案:２x＋y－８＝０ １１．解析:由题意知,入射光线所在 直线的斜率为tan１５０°＝－ ３３ , 所以入射光线方程y－３＝－ ３３ (x＋ ３),整理得y＝－ ３３x＋２ , 令y＝０ 得x＝２ ３,所 以 入 射 光 线 与x 轴 的 交 点 为 (２ ３,０),由对称性知,反射光线的斜率为 ３３ ,所以反射 光线的方程为y－０＝ ３３ (x－２ ３),即y＝ ３３x－２． 答案:y＝ ３３x－２ １２．解:(１)设直线y＝３x的倾斜角为α, 则所求直线的倾斜角为２α． 因为tanα＝３, 所以tan２α＝ ２tanα １－tan２α ＝－３４． 又直线经过点A(－１,－３), 因此所求直线方程为y＋３＝－３４ (x＋１), 即３x＋４y＋１５＝０． (２)由题意,可知所求直线的斜率为±１． 又过点B(３,４), 由点斜式得y－４＝±(x－３)． 所求直线的方程为x－y＋１＝０或x＋y－７＝０． １３．解:(１)当直线l过原点时,直线l在x 轴和y 轴上的截 距都为０,相等,∴２－a＝０,a＝２．∴直线l的方程为３x ＋y＝０．若a≠２且a≠－１,则a－２a＋１＝a－２ ,即a＋１＝１, ∴a＝０,∴直线l的方程为x＋y＋２＝０．∴实数a的值 为０或２． (２)直线l的方程可化为y＝－(a＋１)x＋a－２,故要使l 不经过第二象限,只需 － (a＋１)≥０, a－２≤０,{ 解得a≤－１,所以 a的取值范围为(－∞,－１]． １４．(１)证明:直线l的方程可化为k(x＋２)＋(１－y)＝０, 令 x＋２＝０, １－y＝０,{ 解得 x＝－２, y＝１．{ ∴无论k取何值,直线总经过定点(－２,１)． (２)解:由方程知,当k≠０时,直线在x 轴上的截距为 －１＋２kk ,在y轴上的截距为１＋２k, 要使直线不经过第四象限,则必须有 － １＋２k k ≤０ , １＋２k≥０,{ 解得 k＞０; 当k＝０时,直线为y＝１,符合题意,故k的取值范围是 [０,＋∞)． (３)解:由 题 意 可 知 k ≠ ０,再 由 l 的 方 程,得 A －１＋２kk ,０( ),B(０,１＋２k),依题意得 － １＋２k k ＜０ , １＋２k＞０,{ 解得 k＞０．∴S＝１２|OA| 􀅰|OB|＝１２ １＋２k k 􀅰|１＋２k| ＝ １２ 􀅰 (１＋２k) ２ k ＝ １ ２ ４k＋ １ k＋４( ) ≥ １ ２ × ２ ４k􀅰１k＋４ æ è ç ö ø ÷＝４, 当且仅当４k＝１k ,即k＝１２ 时取等号, ∴Smin＝４． 此时直线l的方程为x－２y＋４＝０． 高考冲浪 １．A　[若直线是圆的对称轴,则直线过圆心,圆心坐标(a, ０),所以由２a＋０－１＝０,解得a＝１２． ] ２．解析:计算出圆心到直线的距离,利用勾股定理可得出关 于m 的等式,即可解得m 的值． 圆(x－１)２＋(y－１)２＝３的圆心坐标为(１,１),半径为 ３, 圆心到直线x－y＋m＝０(m＞０)的距离为|１－１＋m| ２ ＝ m ２ ,由勾股定理可得 m ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ m２( ) ２ ＝３,因为m＞０, 解得m＝２．故答案为:２． 答案:２ 假期必刷４　两直线的位置关系 技能提升台　技能提升 １．A　[由l１⊥l２,得２(m＋１)(m－３)＋２(m－３)＝０, ∴m＝３或 m＝－２,∴m＝３是l１⊥l２ 的充分不必要条 件．故选 A．] ２．C　[由根与系数的关系得ka􀅰kb＝－１,则a与b 互相 垂直．] ３．A　[联立 x＝２ , ３x＋２y－１２＝０,{ 得 x＝２, y＝３,{ 所以两条直线的交点坐标为(２,３)．] ４．D　[由(m－１)x＋(２m－１)y＝m－５,得(x＋２y－１)􀅰m －(x＋y－５)＝０,由 x＋２y－１＝０, x＋y－５＝０,{ 得定点坐标为(９,－４), 故选 D．] ５．C　[直线２x＋y＋m＝０的斜率k１＝－２,直线x＋２y＋n ＝０ 的 斜 率 为k２＝－ １ ２ ,则k１≠k２,且k１k２≠－１．故 选C．] ６．A　[直线３x＋４y＋３＝０与直线６x＋my－１４＝０平行, ∴６３＝ m ４≠ －１４ ３ ,解得m＝８． 直线６x＋my－１４＝０,即直线６x＋８y－１４＝０,化为３x＋ ４y－７＝０, ∴它们之间的距离＝|－７－３| ３２＋４２ ＝２．故选 A．] ７．BC　[直线l１,l２ 对应的斜率k１,k２ 存在,则直线方程可 化为l１:y＝－ １ ax－ b a ,l２:y＝－ １ cx－ d c ,∴k１＝－ １ a ＞０,k２＝－ １ c＞０． 又k１＞k２,∴c＜a＜０,C正确,D错误; 又 －ba ＜０ , －dc ＞０ , ì î í ïï ï ∴b＜０,d＞０,A错误,B正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 假期必刷３　直线方程　　　　　　　 １．直线的倾斜角 (１)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴 相交的直线,把x轴绕着交点按　　　　方 向 旋 转 到 直 线 重 合 时,所 转 过 的 最 小 　　　　α也能刻画直线的倾斜程度,我 们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (２)范围:直线的倾斜角α的取值范围是　　　　． ２．直线的斜率 (１)我们把一条直线的倾斜角α的　　　　叫 作这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k＝　　　　． (２)过两点的直线的斜率公式 经过两点P１(x１,y１),P２(x２,y２)(x１≠x２) 的直线的斜率k＝　　　　． ３．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、 斜率 　　　　 点斜式 过一点、 斜率 　　　　 与 x 轴 不 垂 直 的直线 两点式 过两点 　　　　 与 两 坐 标 轴 均 不垂直的直线 截距式 纵、横截距 　　　　 不 过 原 点 且 与 两 坐 标 轴 均 不 垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝０ (A２＋B２≠０) 所有直线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)逆时针　正角　(２){α|０≤０＜π} ２．(１)正切值　tanαα≠π２ æ è ç ö ø ÷　(２)y２ －y１ x２－x１ ３．y＝kx＋b　y－y０＝k(x－x０)　 y－y１ y２－y１ ＝ x－x１ x２－x１ 　xa＋ y b＝１ １．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系: α ０ ０＜α＜π２ π ２ π ２＜α＜π k ０ k＞０ 不存在 k＜０ ２．截距和距离的不同之处 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值,它可 正,可 负,也 可 是 零,而 “距 离”是 一 个 非 负数． ３．直线的方向向量 设A(x１,y１),B(x２,y２)(其中x１≠x２)是直线 l上的两点,则向量AB → ＝(x２－x１,y２－y１)以及 与它平行的向量都是直线的方向向量．若直 线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标 为(x,y),则k＝yx． ４．直线Ax＋By＋C＝０(A２＋B２≠０)的一个法 向量v＝(A,B),一个方向向量a＝(－B,A)． １．经过A(０,４),B(３,１)两点的直线的倾斜 角是 (　　) A．－６０°　　　　　B．６０° C．１２０° D．１５０° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７􀅰 ２．方程y＝k(x－２)表示 (　　) A．过点(２,０)的所有直线 B．过点(２,０)且不垂直于y轴的所有直线 C．过点(２,０)且不垂直于x轴的所有直线 D．过点(２,０)且除去x轴的所有直线 ３．已知A(１,－３),B ８,１２ æ è ç ö ø ÷,C(９,λ),且A,B, C三点共线,则λ＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．２ ４．过点 A(－１,１)的直线l的倾斜角是直线 l１:３x－y＋１＝０的倾斜角的２倍,则直线 l的方程是 (　　) A．３x－y＋ ３＋１＝０ B．３x＋y＋ ３－１＝０ C．３x－３y＋ ３＋３＝０ D．３x＋３y＋ ３－３＝０ ５．若AB＞０且BC＜０,则直线Ax＋By＋C＝０ 不经过第几象限 (　　) A．一 B．二 C．三 D．四 ６．过点(５,２),且在y轴上的截距是在x 轴上 的截距２倍的直线方程是 (　　) A．２x＋y－１２＝０ B．２x＋y－１２＝０或２x－５y＝０ C．x－２y－１＝０ D．x－２y－１＝０或２x－５y＝０ ７．(多选)已知直线xsinα＋ycosα＋１＝０(α∈ R),则下列命题正确的是 (　　) A．直线的倾斜角是π－α B．无论α如何变化,直线不过原点 C．直线的斜率一定存在 D．当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标 轴围成的三角形的面积不小于１ ８．(多选)若直线l过点A(１,２),且在两坐标 轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可 能为 (　　) A．x－y＋１＝０ B．x＋y－３＝０ C．２x－y＝０ D．x－y－１＝０ ９．过点P(－１,３)且倾斜角为３０°的直线方程 为　　　　　　　　　　　　． １０．已知△ABC 的三个顶点坐标为A(１,２), B(３,６),C(５,２),M 为AB 的中点,N 为 AC 的中点,则中位线 MN 所在直线的方 程为　　　　　　　　　　　　． １１．一束光线从点A(－ ３,３)射出,沿倾斜角 １５０°的直线射到x轴上,经x轴反射后,反 射线所在的直线方程为 　． １２．求适合下列条件的直线方程． (１)经过点A(－１,－３),倾斜角等于直线 y＝３x的倾斜角的２倍; (２)经过点B(３,４),且与两坐标轴围成一 个等腰直角三角形． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８􀅰 １３．直线l的方程为(a＋１)x＋y＋２－a＝０(a ∈R)． (１)若l在两坐标轴上的截距相等,求实数 a的值; (２)若l不经过第二象限,求实数a的取值 范围． １４．已知直线l:kx－y＋１＋２k＝０(k∈R)． (１)证明:直线l过定点; (２)若直线不经过第四象限,求k的取值 范围; (３)若直线l交x 轴负半轴于点A,交y轴 正半轴于点B,△AOB 的面积为S(O为坐 标原点),求S的最小值并求此时直线l的 方程． １．(２０２２􀅰北京卷,３)若直线２x＋y－１＝０是 圆(x－a)２＋y２＝１的一条对称轴,则a＝ (　　) A．１２　　　B．－ １ ２　　　C．１　　　D．－１ ２．(２０２２􀅰天津卷,１２)若直线x－y＋m＝０(m ＞０)与圆(x－１)２＋(y－１)２＝３相交所得 的弦长为m,则m＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９􀅰