假期必刷2 立体几何中的向量方法-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

　假期必刷２　立体几何中的向量方法　　　　　　　 １．两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a,b的方向向量为a,b,其 夹角为θ,则cosφ＝|cosθ|＝　　　　(其 中φ为异面直线a,b所成的角)． ２．直线和平面所成的角的求法 如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α 的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ, 两向量e与n 的夹角为θ,则sinφ＝|cosθ| ＝　　　　． ３．求二面角的大小 (１)如图①,AB,CD 是二面角αＧlＧβ的两个面 内与棱l垂直的直线,则二面角的大小 θ＝　　　　． (２)如图②③,n１,n２ 分别是二面角αＧlＧβ 的两 个半平面α,β的法向量,则二面角的大小 θ＝　　　　． ４．点面距离的求法 设n是平面α 的法向量, AB 是 平 面α 的 一 条 斜 线,则点B 到平面α的距离为　　　　　　 　　(如图)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．|a 􀅰b| |a||b|　２． |n􀅰e| |n||e|　３． (１)‹AB → ,CD → › (２)‹n１,n２›(或π－‹n１,n２›)　４． |BA → 􀅰n| |n| 向量法证明空间几何问题的两种基本思路 　思路一:用向量表示几何量,利用向量的运 算进行判断． 思路二:用向量的坐标表示几何量,共分 三步: (１)建立立体图形与空间向量的联系,用空间 向量(或坐标)表示问题中所涉及的量,把 立体几何问题转化为向量问题． (２)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置 关系． (３)根据运算结果 的 几 何 意 义 来 解 释 相 关 问题． １．若两个不同平面α,β的法向量分别为u＝ (１,２,－１),v＝(－３,－６,３),则 (　　) A．α∥β　　　　　　　B．α⊥β C．α,β相交,但不垂直 D．以上均不正确 ２．若平面α的法向量为n,直线l的方向向量 为a,直线l与平面α 的夹角为θ,则下列关 系成立的是 (　　) A．cosθ＝ n 􀅰a |n||a| B．cosθ＝ |n􀅰a| |n||a| C．sinθ＝ n 􀅰a |n||a| D．sinθ＝ |n􀅰a| |n||a| 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４􀅰 ３．在长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,AB＝BC＝１, AA１＝ ３,则异面直线AD１ 与DB１ 所成的 角的余弦值为 (　　) A．１５　　B． ５ ６　　C． ５ ５　　D． ２ ２ ４．在 三 棱 锥 AＧBCD 中,平 面 ABD 与 平 面 BCD 的法向量分别为n１,n２．若‹n１,n２›＝ π ３ ,则二面角AＧBDＧC 的大小为 (　　) A．π３ B． ２π ３ C．π３ 或２π ３ D． π ６ 或π ３ ５．把边长为a(a＞０)的正△ABC 沿高线AD 折成６０°的二面角,则点A 到BC 的距离是 (　　) A．a B．６２a C． ３ ３a D． １５ ４a ６．如图,在正三棱锥 PＧABC 中,PA,PB,PC 两两垂直, E,F 分别是AB,BC 的中 点,则直线AF与平面PEF 的夹角的余弦值为 (　　) A．２３ B． ７ ６ C． ３ ３ D． ７ ３ ７．(多选)将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直 二面角,给出下列四个结论,正确的是 (　　) A．AC⊥BD B．AB 与CD 所成的角为６０° C．△ADC为等边三角形 D．AB 与平面BCD 所成的角为６０° ８．(多选)如图,在棱长为１ 的 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分 别 为CD,A１B１ 的 中 点,则 下列结论正确的是(　　) A．点F到点E 的距离为 ２ B．点F到直线ED１ 的距离为 ３０ ５ C．点F到平面AED１ 的距离为 ６ ３ D．平面BFC１ 到平面AED１ 的距离为 ２ ６ ３ ９．如图,在正四面体ABCD 中,已 知AE＝１４AB ,CF＝１４CD ,则直 线DE 和BF 所成的角的余弦 值为　　　　． １０．在四面体 ABOC 中,OC⊥OA,OC⊥OB, ∠AOB＝１２０°,且OA＝OB＝OC＝１．则二面 角OＧACＧB 的平面角的余弦值为　　　． １１．在正三棱柱ABCＧA１B１C１ 中,若AB＝２, A１A＝１,则 点 A 到 平 面 A１BC 的 距 离 为　　　． １２．在棱长为１的正方体 ABCDＧA１B１C１D１ 中,M,N,E,F 分 别 是 棱 A１B１,A１D１, B１C１,C１D１ 的中点．证明平面 AMN∥平 面EFDB,并求平面AMN 与平面EFDB 的距离． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５􀅰 １３．如图,在三棱柱ABCＧ A１B１C１ 中,AA１＝２, A１C ⊥ 底 面 ABC, ∠ACB＝９０°,A１ 到平 面 BCC１B１ 的 距 离 为１． (１)求证:AC＝A１C; (２)若直线 AA１ 与 BB１ 的距离为 ２,求 AB１ 与平面BCC１B１ 所成的角的正弦值． １４．如 图,在 直 三 棱 柱 ABCＧ A１B１C１ 中,AA１＝AB＝１, AB⊥BC． (１)证明:AB１⊥A１C; (２)若三棱锥A１ＧAB１C的 体积为 ２ ６ ,求平面A１B１C与平面AB１C的 夹角的余弦值． １．(２０２４􀅰 新课标 Ⅰ 卷,１７)如 图,四 棱 锥PＧABCD 中,PA ⊥底面 ABCD,PA ＝AC＝２,BC＝１, AB＝ ３． (１)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC; (２)若AD⊥DC,且二面角AＧCPＧD 的正弦 值为 ４２ ７ ,求AD． ２．(２０２４􀅰天津卷,１７) 如图,已知直四棱柱 ABCDＧA１B１C１D１ 中, AD⊥AB,AB∥CD, AA１ ＝２,AB＝２AD ＝２,DC＝１,N 是 B１C１ 的中点,M 是DD１ 的中点． (１)求证D１N∥平面CB１M; (２)求平面CB１M 与平面BB１C１C夹角的余 弦值; (３)求点B 到平面CB１M 的距离． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６􀅰 参考答案 假期必刷１　空间向量及其运算 技能提升台　技能提升 １．D　２．C　３．A ４．C　[b＋c＝(－１,２,１)＋(０,１,１)＝(－１,３,２),又∵a＝ (２,２,３),∴a􀅰(b＋c)＝(２,２,３)􀅰(－１,３,２)＝－２＋６＋ ６＝１０．] ５．D　[∵a,b是单位向量,∴a２＝b２＝１．∵|a|＝|a＋b|, ∴a２＋２a􀅰b＋b２＝１,故a􀅰b＝－１２ ,∴ a＋１２b( ) 􀅰b＝ a􀅰b＋１２b ２＝－１２＋ １ ２＝０． ] ６．A　[因为 M 为AC 的中点,所 以BM→＝１２ (BA→＋BC→)．又因为 MN→＝２ND→,所以MN→＝２３MD → ＝２３ (BD→－BM→),所 以BN→＝ BM→＋MN→＝ ２３BD →＋ １３BM →＝ ２ ３BD →＋１３× １ ２ (BA→＋BC→)＝１６BA →＋１６BC →＋２３BD →．] ７．BCD　[∵a􀅰b＝０,a􀅰c≠０,∴只有 A正确,BCD错误．] ８．ABD　[只有C正确．] ９．０　１０．π２ 或π ３　１１．２∶３∶ (－４)　 １２．(１)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC→＝AB→＋AD→, ∵EG→＝OG→－OE→＝k􀅰OC→－k􀅰OA→＝k(OC→－OA→) ＝kAC→＝k(AB→＋AD→) ＝k(OB→－OA→＋OD→－OA→)＝OF→－OE→＋OH→－OE→ ＝EF→＋EH→, ∴E,F,G,H 共面; (２)证明:∵EF→＝OF→－OE→＝k(OB→－OA→)＝k􀅰AB→, 又∵EG→＝k􀅰AC→,∴EF∥AB,EG∥AC,又AB∩AC＝A, 所以,平面ABCD∥平面EFGH． １３．解:(１)a＋b＝(１,１,０)＋(－１,０,c)＝(０,１,c), 所以|a＋b|＝ １＋c２＝ ５,解得c＝±２． (２)当c＝２时,ka＋b＝(k,k,０)＋(－１,０,２)＝(k－１,k, ２),２a－b＝(２,２,０)－(－１,０,２)＝(３,２,－２), 因为ka＋b与２a－b互相垂直,所以３(k－１)＋２k－２２＝ ０,解得k＝７５． 当c＝－２时,ka＋b＝(k,k,０)＋(－１,０,－２)＝(k－１, k,－２),２a－b＝(２,２,０)－(－１,０,－２)＝(３,２,２)． 因为ka＋b与２a－b互相垂直,所以３(k－１)＋２k－２２＝ ０,解得k＝７５． 综上,k＝７５． １４．(１)证明:以点A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在 直线为y 轴,AP 所在直线为z轴,建立如图所示的空间 直角坐标系AＧxyz,则A(０,０,０),B(１,０,０),C(１,２,０), D(０,２,０),P(０,０,１)．点E,F 分别是PB,PD 的中点, F ０,１,１２( ),E １ ２ ,０,１２( )． FE → ＝ １２ ,－１,０( ),BD → ＝ (－１,２,０),FE → ＝－１２BD →, 即EF∥BD． 又BD⊂平面ABCD,EF⊄ 平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD． (２)证明:由(１)可知AP → ＝ (０,０,１),AD → ＝(０,２,０), DC → ＝(１,０,０), 因为AP →􀅰DC → ＝(０,０,１)􀅰(１,０,０)＝０, AD →􀅰DC → ＝(０,２,０)􀅰(１,０,０)＝０, 所以AP → ⊥DC →,AD → ⊥DC →,即AP⊥DC,AD⊥DC． 又AP∩AD＝A,AP,AD⊂平面PAD,所以DC⊥平面 PAD．因为DC⊂平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC． 高考冲浪 １．D　[因为b⊥(b－４a),所以b􀅰(b－４a)＝０,则４＋x２－ ４x＝０,解得x＝２．] ２．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ 假期必刷２　立体几何中的向量方法 技能提升台　技能提升 １．A　２．D　３．C ４．C　[当二面角 AＧBDＧC 为锐角时,其大小为‹n１,n２›＝ π ３ ;当二面角AＧBDＧC 为钝角时,其大小为π－‹n１,n２›＝ π－π３＝ ２π ３． ] ５．D　 ６．D　[依题意,PA,PB,PC 两两垂 直,建立如图所示的 空 间 直 角 坐 标系．设 PA＝PB＝PC＝２,则 P(０,０,０),A(２,０,０),B(０,２,０), C(０,０,２),E(１,１,０),F(０,１,１), 则PE→＝(１,１,０),PF→＝(０,１,１), AF→＝(－２,１,１)． 设平面PEF 的法向量为n＝(x,y,z), 则 n􀅰PE→＝x＋y＝０, n􀅰PF→＝y＋z＝０,{ 令x＝１,可得平面PEF 的一个法 向量n＝(１,－１,１)． 设直线AF 与平面PEF 的夹角为θ,则sinθ＝|n 􀅰AF→| |n||AF→| ＝ ２ ３× ６ ＝ ２３ ,又θ∈ ０,π２[ ],故 cosθ＝ １－ ２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ７３． ] ７．ABC ８．ABC　[以 D 为原点,分别以DA→,DC→,DD１ →的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意知,A(１,０,０),B(１,１,０),E ０,１２ ,０( ),C１(０,１, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 １),D１(０,０,１),F １, １ ２ ,１( ),所以FE→ ＝(－１,０,－１),ED１ →＝ ０,－１２ ,１( ), AD１ →＝(－１,０,１),AE→＝ －１,１２ ,０( )． 设平面AED１ 的法向量为n＝(x,y, z), 所以 AD１ →􀅰n＝－x＋z＝０, AE→􀅰n＝－x＋１２y＝０ ,{ 则可得平面AED１ 的一个 法向量为n＝(１,２,１)． 点F 到点E 的距离|FE→|＝ (－１)２＋(－１)２＝ ２,故 A 正确; 点F 到直线ED１ 的距离为 |FE→|２－ FE→􀅰ED１ → |ED１ →| æ è ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ２ ＝ ２－ －１ ５ ２ æ è ç ç ö ø ÷ ÷ ２ ＝ ３０５ ,故 B 正 确;点F 到平面AED１ 的距离d＝ |FE→􀅰n| |n| ＝ ２ ６ ＝ ６３ ,故 C正确; 由正方 体 的 性 质 可 知,平 面 BFC１∥ 平 面 AED１,平 面 BFC１ 到平面AED１ 的距离即为点F 到平面AED１ 的距 离 ６ ３． 故 D错误．] ９．４１３　１０． １５ ５ 　１１． ３ ２ １２．解:先证明平面AMN∥平面EFDB． 以D 为原点,建立如图所示的空间 直角坐标系,则D(０,０,０),A(１,０,０), B(１,１,０), M １,１２ ,１( ),N １２,０,１( ), E １２ ,１,１( ),F ０,１２,１( )． ∴NM → ＝ １２ ,１ ２ ,０( ),FE → ＝ １２ ,１ ２ ,０( ), AM → ＝ ０,１２ ,１( ),AB → ＝(０,１,０)．∴NM → ＝FE →,即MN∥FE． 同理可证AM∥DF,∴平面AMN∥平面EFDB． 设平面AMN 的法向量为n＝(x,y,１), 由n⊥NM →,n⊥AM →,得n􀅰NM → ＝０,n􀅰AM → ＝０,求得n＝ (２,－２,１)．∴平面 AMN 与平面EFDB 的距离为d＝ |n􀅰AB → | |n| ＝ ２ ３． １３．(１)证明:如图,∵A１C⊥底面 ABC,BC⊂平面ABC, ∴A１C⊥BC,又 BC⊥AC, A１C,AC⊂ 平 面 ACC１A１, A１C∩AC＝C, ∴BC⊥平面 ACC１A１,又 BC ⊂平面BCC１B１, ∴平面ACC１A１⊥平面BCC１B１, 过A１ 作A１O⊥CC１ 交CC１ 于O,又平面ACC１A１∩平 面BCC１B１＝CC１,A１O⊂平面ACC１A１, ∴A１O⊥平面BCC１B１, ∵A１ 到平面BCC１B１ 的距离为１,∴A１O＝１, 在 Rt△A１CC１ 中,A１C⊥A１C１,CC１＝AA１＝２, 设CO＝x,则C１O＝２－x, ∵△A１OC,△A１OC１,△A１CC１ 为直角三角形, 且CC１＝２, CO２＋A１O２＝A１C２,A１O２＋OC２１＝C１A２１, A１C２＋A１C２１＝C１C２, ∴１＋x２＋１＋(２－x)２＝４,解得x＝１, ∴AC＝A１C＝A１C１＝ ２,∴AC＝A１C． (２)连接A１B,由(１)易证A１B＝A１B１,故取BB１ 的中点 F,连接A１F,∵A１A 与B１B 的距离为２, ∴A１F＝２, ∴A１C＝AC＝ ２,AB＝A１B１＝ ５,BC＝ ３, 建立空间直角坐标系CＧxyz如图所示, C(０,０,０),A(２,０,０),B(０,３,０),B１(－ ２,３,２), C１(－ ２,０,２), ∴CB → ＝(０,３,０),CC１ → ＝(－ ２,０,２), AB１ → ＝(－２ ２,３,２), 设平面BCC１B１ 的法向量为n＝(x,y,z), 则 n􀅰CB → ＝０, n􀅰CC１ → ＝０,{ 即 ３y＝０, － ２x＋ ２z＝０,{ 令x＝１, 则y＝０,z＝１, 所以平面BCC１B１ 的一个法向量为: n＝(１,０,１), 设AB１ 与平面BCC１B 所成的角为θ, ∴sinθ＝|cos‹n,AB１ →›|＝ |n 􀅰AB１ → | |n|􀅰|AB１ → | ＝ １３１３ ． 故AB１ 与平面BCC１B１ 所成角的正弦值为 １３ １３ ． １４．(１)证明:连接A１B,如图．由直三 棱柱ABC－A１B１C１ 的性质可知, BB１⊥BC． 因为AB⊥BC,AB∩BB１＝B,AB ⊂ 平 面 AA１B１B,BB１ ⊂ 平 面AA１B１B, 所以BC⊥平面AA１B１B． 因为 AB１⊂ 平 面 AA１B１B,所 以 BC⊥AB１． 因为AA１＝AB＝１,所以四边形AA１B１B 为正方形,所 以AB１⊥A１B, 又因为 BC∩A１B＝B,BC⊂ 平 面 A１BC,A１B⊂ 平 面 A１BC,所以AB１⊥平面A１BC．因为A１C⊂平面A１BC, 所以AB１⊥A１C． (２)解:由(１)得 BC⊥平面 AA１B１B,从而点C 到平面 AA１B１ 的距离为BC, 故VA１ＧAB１C＝VCＧAA１B１＝ １ ３× １ ２A１B１ 􀅰AA１􀅰BC ＝１６BC＝ ２ ６ ,即BC＝ ２． 以B 为原点,分别以BC,BA,BB１ 所在直线为x 轴,y 轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(０,１,０),A１(０,１,１),B１(０,０,１),C(２,０,０), 设平面AB１C 的法向量为m＝(x１,y１,z１),因为AC →＝ (２,－１,０),AB１ →＝(０,－１,１), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 所以 m􀅰AC→＝０, m􀅰AB１ →＝０{ ⇒ ２x１－y１＝０, －y１＋z１＝０,{ 令x１＝ ２,则y１＝z１＝２,可得平面AB１C的一个法向量 m＝(２,２,２)． 设平面A１B１C的法向量为n＝(x２,y２,z２),因为A１C →＝ (２,－１,－１),A１B１ →＝(０,－１,０), 所以 n􀅰A１C →＝０, n􀅰A１B１ →＝０{ ⇒ ２x２－y２－z２＝０, －y２＝０,{ 令x２＝ ２,则y２＝０,z２＝２,可得平面A１B１C 的一个法 向量n＝(２,０,２)． 设平面 A１B１C 与 平 面 AB１C 的 夹 角 为θ,则 cosθ＝ |m􀅰n| |m||n|＝ １５ ５ , 故平面A１B１C与平面AB１C的夹角的余弦值为 １５ ５ ． 高考冲浪 １．解:(１)因为PA⊥底面ABCD,AP,BP⊂平面PAB,所以 PA⊥AD,PA⊥BC．又AD⊥PB,且AP∩BP＝P,所以 AD⊥平面PAB．在△ABC中,因为AC＝２,BC＝１,AB＝３,所 以AC２＝BC２＋AB２,即AB⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩AB＝ A,AP,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB．因此,AD∥BC, 又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC． (２)过D 点作DE∥PA,则DE ⊥平面ABCD,以D 为坐标原 点,分别以DA,DC,DE 所在的 直线为x轴,y轴,z轴建立空间 直角坐标系．设DA＝m,DC＝ n,其中 m２＋n２＝４,则 A(m, ０,０),C(０,n,０),P(m,０,２), 所以AP→＝(０,０,２),CP→＝(m,－n,２),DC→＝(０,n,０)． 设 平 面 APC 的 法 向 量 为 n ＝ (x,y,z),则 ２z＝０, mx－ny＋２z＝０,{ 令x＝n,则y＝m,所以n＝(n,m,０); 设平面DPC的法向量为v＝(x,y,z),同理可得v＝(２,０, －m)． 因为二面角AＧPCＧD 为锐二面角,所以其余弦值为 ７７ ,因 此 ７ ７＝|cos ‹n,v›|＝ ２n m２＋n２ ４＋m２ ,解得 m＝ ３,即 AD＝ ３． ２．解:(１)取CB１ 中点P,连接NP,MP, 由N 是B１C１ 的中点,故NP∥CC１,且NP＝ １ ２CC１ , 由 M 是DD１ 的中点,故D１M＝ １ ２DD１＝ １ ２CC１ ,且D１M ∥CC１, 则有D１M∥NP 且D１M＝NP, 故四边形D１MPN 是平行四边形,故D１N∥MP, 又 MP⊂平面CB１M,D１N⊄平面CB１M, 故D１N∥平面CB１M; (２)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系,有A(０,０, ０)、B(２,０,０)、B１(２,０,２)、M(０,１,１)、C(１,１,０)、C１(１,１,２), 则有CB１ →＝(１,－１,２)、CM→＝(－１,０,１),BB１ →＝(０,０,２), 设平面CB１M 与平面BB１CC１ 的法向量分别为m＝(x１, y１,z１)、n＝(x２,y２,z２), 则有 m􀅰CB１ →＝x１－y１＋２z１＝０ m􀅰CM→＝－x１＋z１＝０{ , n􀅰CB１ →＝x２－y２＋２z２＝０ n􀅰BB１ →＝２z２＝０{ , 分别取x１＝x２＝１,则有y１＝３、z１ ＝１、y２＝１,z２＝０, 即m＝(１,３,１),n＝(１,１,０), 则 cos ‹m,n›＝ m 􀅰n |m||n| ＝ １＋３ １＋９＋１􀅰 １＋１ ＝２ ２２１１ , 故平面CB１M 与平面BB１CC１ 的夹角的余弦值为 ２ ２２ １１ ; (３)由BB１ →＝(０,０,２),平面CB１M 的法向量为m＝(１,３,１), 则有 |BB１ →􀅰m| |m| ＝ ２ １＋９＋１ ＝２ １１１１ , 即点B 到平面CB１M 的距离为 ２ １１ １１ ． 假期必刷３　直线方程 技能提升台　技能提升 １．C　[由题易知直线AB 的斜率k＝１－４ ３－０ ＝－ ３,设直线 AB 的倾斜角为θ,则tanθ＝－ ３,得θ＝１２０°．] ２．C　[y＝k(x－２)为直线的点斜式方程,只能表示斜率存 在的直线,且直线过点(２,０)．] ３．C　[∵A,B,C 三点共线,∴kAB＝kAC,即 １ ２＋３ ８－１＝ λ＋３ ９－１ , 解得λ＝１．] ４．B　[因为k１＝tanα＝ ３,α＝６０°,所以k＝tan１２０°＝ － ３,所以直线l的方程是y－１＝－ ３(x＋１),即 ３x＋y ＋ ３－１＝０．] ５．C　[∵AB＞０且BC＜０,∴－AB ＜０ ,－CB ＞０ ,直线y＝ －ABx－ C B 的斜率小于零,在y轴上的截距大于零,故直 线过第一、二、四象限,不经过第三象限．] ６．B　[当直线过原点时,由直线过点(５,２),可得直线的斜 率为２ ５ ,故直线的方程为y＝２５x ,即２x－５y＝０;当直线 不过原点时,设直线在x轴上的截距为b,则在y轴上的 截距是２b,直线的方程为xb ＋ y ２b＝１ ,把点(５,２)代入可得 ５ b＋ ２ ２b＝１ ,解得b＝６．故直线的方程为x６＋ y １２＝１ ,即２x ＋y－１２＝０．] ７．BD　[根据直线倾斜角的范围为[０,π),而π－α∈R,A 不 正确;当x＝y＝０时,xsinα＋ycosα＋１＝１≠０,所以直线 必不过原点,B正确;当α＝π２ 时,直线斜率不存在,C不 正确;当直线和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三 角形的面积为S＝１２ １ －sinα 􀅰 １ －cosα ＝ １ |sin２α|≥１ , D正确．] ８．ABC　[当直线经过原点时,斜率为k＝２－０１－０＝２ ,所求的 直线方程为y＝２x,即２x－y＝０;当直线不过原点时,设 所求的直线方程为x±y＝k,把点A(１,２)代入可得１－２ ＝k或１＋２＝k,求得k＝－１或３,故所求的直线方程为 x－y＋１＝０或x＋y－３＝０．综上,所求的直线方程为 ２x－y＝０,x－y＋１＝０或x＋y－３＝０．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰