假期必刷1 空间向量及其运算-【快乐假期】2024-2025学年高二数学寒假作业必刷题

假期必刷１　空间向量及其运算　　 １．空间向量的概念 (１)相等向量 　　　　的向量叫做相等向量． (２)共线向量或平行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在 的直线互相　　　　,那么这些向量叫 做共线向量或平行向量,如a平行b记 作:　　　　． ２．两个向量的夹角 (１)若a,b 是两个非零向量,则其夹角记为 　　　　,范围是　　　　． (２)若‹a,b›＝９０°,则称a与b 　　　　　　 　　,记作:　　　　　． ３．公式:a􀅰b＝　　　　． ４．性质:(１)a􀅰e＝　　　　　(其中e为单位 向量)． (２)若a⊥b,则a􀅰b＝　　　　　　,反之也 成立． (３)|a|２＝　　　　． ５．坐标运算 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３)． (１)a＋b＝　　　　　　　　　　　　　, a－b＝　　　　　　　　　　, λa＝　　　　　　　　　　, a􀅰b＝　　　　　　　　　　． (２)设A(x１,y１,z１),B(x２,y２,z２), 则AB → ＝　　　　　　　　　　　． (３)向量平行的坐标表示 a∥b(b≠０)⇔　　　　　　　　　　． 或当b与三条坐标轴都不平行时, a∥b⇔　　　　　　　　　　　　． (４)向量垂直的坐标表示 a⊥b⇔　　　　　　　＝０． (５)向量长度与两个向量夹角的坐标计算公式 设a＝(a１,a２,a３),b＝(b１,b２,b３),则 |a|＝　　　　　　　　　　　． |b|＝　　　　　　　　　　　． cos‹a,b›＝　　　　＝　　　　． (６)空间两点间的距离公式 设A(x１,y１,z１),B(x２,y２,z２),则 |AB → |＝ 　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(１)大小相等且方向相同　(２)平行或重合 a∥b　２．(１)‹a,b›　[０,π]　(２)垂直　a⊥b ３．|a||b|cosθ　４．(１)|a|cosθ　(２)０ (３)a􀅰a　５．(１)(a１＋b１,a２＋b２,a３＋b３)　 (a１－b１,a２－b２,a３－b３)　(λa１,λa２,λa３)　 a１b１＋a２b２＋a３b３　(２)(x２－x１,y２－y１,z２－z１) (３) a１ b１ ＝ a２ b２ ＝ a３ b３ 　(a１,a２,a３)＝λ(b１,b２,b３) (４)a１b１＋a２b２＋a３b３＝０　(５)a２１＋a２２＋a２３ b２１＋b２１＋b２３　 a􀅰b |a||b|＝ a１b１＋a２b２＋a３b３ a２１＋a２２＋a２３ b２１＋b２２＋b２３ (６)(x２－x１)２＋(y２－y１)２＋(z２－z１)２ 空间向量数量积运算与运算律 向量的数量积运算只适合交换律、加乘分 配律及数乘结合律,不满足以下两条． (１)消去律:由a􀅰b＝b􀅰c不能推出a＝c,即 向量不能约分． (２)乘法结合律:(a􀅰b)c＝a(b􀅰c)不一定成 立,这是因为(a􀅰b)c表示一个与c共线的 向量,而a(b􀅰c)表示一个与a共线的向 量,但c与a不一定共线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１􀅰 １．在 △ABC 中,若 ∠C＝９０°,A(１,２,－３k), B(－２,１,０),C(４,０,－２k),则k的值为 (　　) A．１０ B．－１０ C．２ ５ D．± １０ ２．设O 是△ABC 的外心,则AO →,BO →,CO → 是 (　　) A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起点相同的向量 ３．已知点 M 在平面ABC 内,并且对空间任一 点O,都有OM → ＝xOA → ＋１２OB → ＋１３OC →,则x 的值为 (　　) A．１６　　　B． １ ３　　　C． １ ２　　　D．０ ４．若向量a＝(２,２,３),b＝(－１,２,１),c＝(０, １,１),则a􀅰(b＋c)＝ (　　) A．５ B．８ C．１０ D．１２ ５．已知单位向量a,b满足|a|＝|a＋b|,则 a＋１２b æ è ç ö ø ÷􀅰b＝ (　　) A．３２　　　B．１　　　C． １ ２　　　D．０ ６．在三棱锥 AＧBCD 中,M 为AC 的中点,若 MN → ＝２ND →,则BN → ＝ (　　) A．１６BA → ＋１６BC → ＋２３BD → B．１６BA → ＋１３BC → ＋１２BD → C．１３BA → ＋１６BC → ＋１２BD → D．１３BA → ＋１３BC → ＋１３BD → ７．(多选)已知三条直线l１,l２,l３ 的一个方向 向量分别为a＝(４,－１,０),b＝(１,４,５),c＝ (－３,１２,－９),则下列说法错误的是(　　) A．l１⊥l２,但l１ 与l３ 不垂直 B．l１⊥l３,但l１ 与l２ 不垂直 C．l２⊥l３,但l２ 与l１ 不垂直 D．l１,l２,l３ 两两互相垂直 ８．(多选)以下四个命题中,不正确的是 (　　) A．若OP → ＝１２OA → ＋１３OB →,则 P,A,B 三点 共线 B．△ABC是直角三角形的充要条件是AB →􀅰 AC → ＝０ C．设{a,b,c}是空间一个基底,则{a＋b,b＋c, c＋a}构成空间的另一个基底 D．|(a􀅰b)c|＝|a|􀅰|b|􀅰|c| ９．在空间四边形ABCD 中,AB →􀅰CD → ＋BC →􀅰 AD → ＋CA →􀅰BD → ＝　　　　． １０．在直角坐标系OＧxyz中,已知点P(２cosx＋１, ２cos２x＋２,０)和点Q(cosx,－１,３),其中 x∈[０,π],若直线OP 与直线OQ 垂直,则 x的值为　　　　． １１．若A(０,２,１９８ ) ,B(１,－１,５８ ) ,C(－２,１,５８ ) 是 平面α内 的 三 点,设 平 面α的 法 向 量a ＝(x,y,z),则x∶y∶z＝　　　　． １２．如图,已知平行四边形ABCD,从平面ABCD 外一点O引向量OE → ＝k OA →,OF → ＝kOB →,OG → ＝ kOC →,OH → ＝kOD → ． (１)求证:四点 E,F, G,H 共面; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２􀅰 (２)求证:平面ABCD∥平面EFGH． １３．已知向量a＝(１,１,０),b＝(－１,０,c),且 |a＋b|＝ ５． (１)求c的值; (２)若ka＋b与２a－b互相垂直,求实数k 的值． １４．如图,在底面是矩形的四棱锥 PＧABCD 中,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是PB, PD 的中点,PA＝AB＝１,BC＝２． (１)求证:EF∥平面ABCD; (２)求证:平面PAD⊥平面PDC． １．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷,３)已知向量a＝(０,１),b＝ (２,x),若b⊥(b－４a),则x＝ (　　) A．－２　　　B．－１　　　C．１　　　D．２ ２．(２０２４􀅰上海卷,５)已知a＝(２,５),b＝(６,k), a∥b,则k的值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３􀅰 快乐假期 参考答案 假期必刷1空间向量及其运算 F成=（合-1小BD 技能提升台技能提升 1.D2.C3.A (-1,2.0),FE=-BD. 2 4.C[b+c=(-1,2,1)+(0,1,1)=(-1,3,2),又a= 即EF∥BD (2,2.3),.a·(b+c)=(2,2,3)·(-1,3,2)=-2+6+ 又BDC平面ABCD,EFCI 6=10.] 平面ABCD. 5.D[:a,b是单位向量，∴.a2=b2=1.|a=a+b, 所以EF∥平而ABCD. a+2ab叶=1，故a6=-号(a+b）b (2)证明：由(1)可知AP= b+=-+号-0] (0,0,1),AD=(0,2,0), DC=(1.0,0), 6.A[因为M为AC的中点，所 以BM=号(BA+BC).又因为 因为AP·DC=(0,0,1)·(1,0,0)=0, AD·DC=(0,2,0)·(1,0,0)=0, M=2N市，所以不=号M 所以AP⊥DC,AD⊥DC,即AP⊥DC,AD⊥DC. =号(B成-成，所以武 又AP∩AD=A,AP,ADC平面PAD,所以DC⊥平面 PAD.因为DCC平面PDC,所以平面PADL平面PDC B+M=号B成+专B 高考冲浪 1.D[图为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4+x2 号所+号×号(B+)-名所+名成+号成.] 4x=0,解得x-2.] 2.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 7.BCD[,a·b=0,a·c≠0，.只有A正确，BCD错误.] 答案：15 8.ABD[只有C正确.] 假期必刷2立体几何中的向量方法 9.010.2或号1.2：3(-40 技能提升台技能提升 1.A2.D3.C 12.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 4.C[当二面角ABD-C为锐角时，其大小为《n1,2)= ∴.AC=AB+AD, EG-O元-OE=k.O元-k·OA=k(O元-OA) 音：当二面角ABDC为钝角时，其大小为一(m,m:)= =kAC=k(AB+AD) -*(OB-0A+OD-0A)=OF-OE+OH-OE 晋-警] 5.D =EF+EH. 6.D[依题意，PA,PB,PC两两垂 E,F,G,H共面： 直，建立如图所示的空间直角坐 (2)证明：EF=OF-O正=k(OB-OA)=k·AB, 标系.设PA=PB=PC=2,则 又，E=k·AC.∴.EF∥AB,EG∥AC.又AB∩AC=A, P(0,0,0),A(2,0,0).B(0,2,0) 所以，平面ABCD∥平面EFGH. C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1) 13.解：(1)a十b=(1,1,0)十(-1,0，c)=(0,1,c), 则PE=(1,1.0),PF=(0,1.1), 所以a+b=√/1+2=√5，解得c=士2. AF=(-2,1,1). (2)当c=2时，加+b=(k,k.0)+(-1.0,2)=(k-1,k, 设平面PEF的法向量为n=(x·y,z) 2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2). 图为ka十b与2a一b互相垂直，所以3(k-1)十2k一22 尉：P正十y0令=1，可得平面PEF的一个法 {n·PF=y+=0, 0,解得=子 向量n=(1,-1,1). 当c=一2时，a+b=(k,k,0)+(一1,0，一2)=(k一1 k,-2),2a-b=(2,2,0)-(-1,0,-2)=(3,2,2). 设直线AF与平面PEF的夹角为，则n0=n·A AF 因为a十b与2a一b互相垂直，所以3(k-1)十2k一22 0,解得=号 又9引m=( 2 3×6 等上6= 14.(1)证明：以点A为原，点，AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为Σ轴，建立如图所示的空间 7.ABC 直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0), 8.ABC[以D为原点，分别以DA.DC,DD的方向为x D(0,2,0),P(0,0,1).点E,F分别是PB,PD的中点， 轴y轴、：轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. F01…）E20）月 由题意知.A1,0.0,B1.1.0,E(00小C(01 ·58.