第四章三角恒等变换单元测试-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第四章 三角恒等变换 单元测试 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（   ） A． B． C． D． 5．关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C．的图象关于对称 D．在上单调递增 6．五星红旗的五颗星是最美的星，每颗五角星是由一个正五边形及五个全等的等腰三角形组成，每个等腰三角形的底边与正五边形的边重合，如图，已知等腰三角形的顶角为36°，顶角的余弦值为，则五角星中间的正五边形的一个内角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．若，是第二象限角，则（    ） A． B．3 C．5 D． 8．若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下面结论正确的是（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为，最小值为 D．在上单调递减 10．主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与振幅相同的反相位声波来抵消噪声，已知某噪声的声波曲线且经过点，则下列说法正确的是（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间有最大值2 C．，使得 D．若对，都有，则 11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为1，下列结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则的最大值为 C．若，则a的最小值为 D．若，则a的最小值为 三、填空题 12．求值： . 13．已知cos＝－，则cos x＋cos＝ ． 14．设函数与都是定义在集合M上的函数，对于任意的，都有成立，称函数与是M上的“互嵌函数”.若函数与是M上的“互嵌函数”，则集合 . 四、解答题 15．已知． (1)化简； (2)若，求． 16．求下列各式的值. (1); (2); (3); (4). 17．（1）求值：； （2）已知，求的值. 18．计算求值： （1） （2）. 19．已知. (1)化简. (2)若锐角满足，求的值. 参考答案 1．D 【分析】确定得到，根据展开计算得到答案. 【详解】，故，又， 故，， . 故选：D. 2．A 【分析】 先通过诱导公式解出，然后通过二倍角公式即可解. 【详解】由，知，则. 故选：A 3．D 【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解. 【详解】由二倍角公式可得， 又， 故选：D 4．D 【分析】利用诱导公式以及逆用两角和的正弦公式求解. 【详解】 . 故选:D 5．C 【分析】首先根据三角函数的恒等变换化简函数，然后根据三角函数图象判断求解. 【详解】, 选项A:选项正确； 选项B:令 ，，故有的图象关于直线对称，选项正确； 选项C: 令 ，结合三角函数图象性质，的图象不关于对称，选项错误； 选项D: 结合三角函数图象性质，在上单调递增. 故选；C. 6．C 【分析】根据题意，结合已知角度的余弦值以及余弦的二倍角公式，即可求得结果. 【详解】根据题意可得：等腰三角形的每个底角为； 由题可知：，由余弦的二倍角公式可得： ； 又正五边形的一个内角和互为补角，是， 故. 故选：C. 7．C 【分析】由题知，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案. 【详解】解：因为，是第二象限角， 所以， 所以. 故选：C 8．D 【分析】根据三角函数恒等变换化简已知可得，再利用诱导公式和二倍角公式求值. 【详解】根据题意， ， 而 . 故选：D 9．ABC 【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 当时，即当时， ，即， 此时，； 当时，即当时， ，即， 此时，. 所以，. 作出函数的图象如下图中实线所示：    对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称， 对任意的， ， 所以，函数的对称轴为，A对； 对于B选项，对任意的， ， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对； 对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为， 要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 因为，， 所以，， 因此，的最大值为，最小值为，C对； 对于D选项，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，D错. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的基本性质，解题的关键在于化简函数解析式，结合函数的图象进行判断. 10．ABD 【分析】由经过可求出的解析式，利用奇偶性定义可判断A；利用正弦函数的最值可判断B；化简求值可判断D；由选项D可知具备周期性，分、、，三种情况求解可判断C. 【详解】因为经过， 所以，即，，解得，， 又，所以，则， 对于A，， 时，令，可得， 故为偶函数，所以A正确； 对于B，时，，所以当时，即时，有最大值，所以B正确； 对于D， ， 因为对，都有， 所以，所以D正确； 对于C，当，时，由选项D可知， 当，时， ， 当，时， ，所以C错误． 故选：ABD. 11．BD 【分析】的面积为1，有，利用余弦定理有，两边平方得构造齐次式求的最大值；的面积为1且，得，利用余弦定理有，由求a的最小值. 【详解】对于AB，若，的面积为，即. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 两边平方得， 所以， 解得，A错误，B正确. 对于CD，的面积为且，所以， ， 则，即， 由，得，解得，C错误，D正确. 故选：BD. 12．/ 【分析】由两角和的正弦公式即可得. 【详解】. 故答案为：. 13．-1 【分析】应用差角余弦公式将目标式化为cos，即可求值. 【详解】cos＋cos＝cos＋cos＋sin＝cos＋sin＝＝cos＝×＝－1. 故答案为：－1. 14． 【分析】根据给定定义列出方程，再用二倍角的正切化简计算作答. 【详解】依题意，，化简得，解得，则， 所以集合. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及诱导公式化简； （2）利用两角和的余弦公式求值. 【详解】（1）. （2）∵，∴， ∵， ∴. 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】 利用三角函数的二倍角公式，结合诱导公式转化计算即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4） . 17．（1） （2） 【分析】（1）先根据，，利用两角和正弦公式展开化简得，再根据利用两角差正余弦公式展开化简求值； （2）由题意得，利用1的代换及弦化切化简代数式为，最后代入数值化简即得 【详解】（1）原式. （2）由，可得， 又，则， 所以. 18．（1）；（2）. 【分析】（1）逆用两角和的正切公式化简即可求解； （2）利用两角和正弦公式将展开化简即可求解. 【详解】（1）； （2） . 19．(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式，将原式逐步化简，即可得出结果； （2）根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，求出，再将所求式子化为关于的式子，即可求出结果. 【详解】（1） （2）因为，且是锐角，所以，所以， 则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$