第4章 相似三角形（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

第4章 相似三角形（单元测试·培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（22-23九年级上·上海·开学考试）已知，那么下列等式中一定正确的是    （    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·期中）如图，、分别在△ABC的边和上，下列不能说明和相似的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，正方形和正方形是位似图形，点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形位似中心的坐标是 （     ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，点、点均在反比例函数的图象上，分别连结、，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在 中， 平分 ，按如下步骤作图：第一步，分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径在 两侧作弧，交于 ， 两点；第二步，连接 ，分别交 ， 于点 ，；第三步，连接 ，．若 ，，，则 的长是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 9．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形中，，垂足为点，分别交及的延长线于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在中，，为斜边上的高．若，则 12．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知正方形，，在上，，连接交于，图中阴影部分面积是 ． 13．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数学兴趣小组学生测量小山坡上一棵大树的高度，山坡与地面的夹角，站立在水平地面上，身高米的小明，在地面上的影长为米，此刻大树在斜坡上的影长为米，则大树的高度是 米． 14．（上海市嘉定区部分学校2024-2025学年九年级上学期11月期中联考数学试题）如图，平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，（点、点、点的对应点分别是点、点、点），的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为 15．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图，在锐角中，矩形的顶点D在边上，顶点E、F在边上，顶点G在边上，如果矩形的长为6，宽为4，底边上的高为6，则的面积为 ． 16．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 17．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，，，D是中点，，垂足为， （1）的值为 ． （2）若，则 ． 18．（20-21八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25九年级上·四川攀枝花·期中）如图，在中，为直角，于D．在中，E是的中点．的延长线与的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（本小题满分10分）（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．   (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 23．（本小题满分10分）（24-25九年级上·吉林长春·期中）模型思想是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化而建立，能近似刻画并解决实际问题，以下是某数学小组应用模型思想解决数学问题的过程． 【模型探究】 探究1．如图①，点是中上的一点，且，过点作交的延长线于点，则________． 探究2．如图②，在中，，．，交于点、．求证：． 【模型应用】 如图③，点为正方形边的中点，连接，作，交于点，连接，分别交、于点、，若，则 ． 24．（本小题满分12分）（2021·湖北襄阳·一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D D C B D C C D 1．D 【分析】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握内项之积等于外项之积、合比性质和等比性质．根据比例的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：， ，， A、，故本选项错误，不符合题意； B、当，时，，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案． 【详解】解：∵在和中，， ∴当时，不能说明和相似，符合题意， 当时，能说明和相似，不符合题意， 当时，能说明和相似，不符合题意， 当时，能说明和相似，不符合题意， 故选：A． 3．D 【分析】根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当和是对应顶点，和是对应顶点；另一种是和是对应顶点，和是对应顶点．本题考查位似变换，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决交点问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：正方形和正方形中和点的坐标分别为，， 、、， （1）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ， 解得：， 此函数的解析式为， 当时，则， 与的交点坐标是； （2）当和是对应顶点，和是对应顶点时，位似中心就是与的交点， 设所在直线的解析式为， ， 解得， 故此一次函数的解析式为①， 同理，设所在直线的解析式为， ， 解得：， 故此直线的解析式为②， 联立①②得， 解得， 故与的交点坐标是． 综上所述：位似中心的坐标是：或． 故选：D． 4．D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出、、之间的关系．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ， 即， 又， ， ， ； 故选：D 5．C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键． 把点代入反比例函数的解析式，求出的值，再由点在反比例函数的图象上设，过作轴，过作于，则，，，用表示出及的长，判定，由相似三角形的对应边成比例即可得出的值，进而得出点坐标． 【详解】解：点在反比例函数， ， ， 反比例函数的解析式为， 设， 过作轴，过作于，， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍去）， 故选：C． 6．B 【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质．首先根据尺规作图可得知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得到相等的角和边，根据角平分线的性质可证，利用ASA可证，根据全等三角形的性质可证四边形是菱形，从而可证，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度，再根据求出结果． 【详解】解：如下图所示，设交于点O； 由作图可知是的垂直平分线， ，，， 又平分， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是菱形， ∴， ， ， ， ， ． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【详解】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 9．C 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质；先找到点关于的对称点，与的交点即为点的位置，此时最小即可求解． 【详解】解：如图，为点关于的对称点，连接，过点作于点， 与关于对称， ， ， ， 的最小值为， 为等边三角形，为上的高，，， ，平分，点为中点，，， ，， ， ， ， ﹣﹣ ， ， 的最小值为， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，连接BD，如图，利用菱形的性质得，，，再证明，接着判断四边形为平行四边形得到，设，，所以，然后证明得到，最后利用比例的性质得到的值． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， 而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 11． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据线段和差可得的长，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵为斜边上的高， ∴， ∵， ∴设， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，过作于，交于，则，证明，则，即，，由，可求，，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 如图，过作于，交于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线．过点作于点，推出，得到米，再根据勾股定理求出米，由题意得：米，米，，利用相似三角形的性质求出米，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ， ， 米， 米， 米， 由题意得：米，米，， ，即， 米， 米， 大树的高度是米， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了位似图形的性质和相似三角形的性质、勾股定理．首先根据点的坐标为，点的坐标为，求出和的长度，根据可以求出，过点作轴，过点作轴，构造相似三角形，根据相似三角形的性质求出、的长度，再根据点在第四象限，确定点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 如下图所示， 过点作轴，过点作轴， 点的坐标是，点的坐标为， ，， ， 轴，轴， ， ， ， ，， 解得：，， ，， 又点在第四象限， 点的坐标为． 故答案为： ． 15． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，利用相似比求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：54． 16． 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 17． 9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）先证，则利用相似比得到，然后根据是的中点得到，从而得到的值； （2）利用（1）的结论得到，即，则可判断，则根据相似三角形的性质得到，然后计算出的度数，从而得的度数． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 故答案为：9； （2），， ， 即， 又， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 18．． 【分析】先过F作MN⊥BC，根据已知条件与折叠的性质得到△AFN∽△FEM，再根据相似的性质得到，设出未知数，求解出答案即可． 【详解】解：过F作MN⊥BC， ∵BE=，BC=10， ∴BE=6， ∵翻折 ∴△ABE≌△AFE， ∴EF=BE=6，∠AFE=∠B=90°，AF= AB=8， ∴∠AFN+∠EFM=90°， ∵∠AFN+∠FAN=90°， ∴∠FAN=∠EFM， ∴△AFN∽△FEM， ∴， 设AN=4x，FM=3x， FN=8-3x，EM=4x-6， ∴FN=8-3x，EM=4x-6， ∴， ∴， 经检验：是原方程的根， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定与性质，关键在于作出辅助线，根据折叠的性质证明出三角形相似． 19．(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质， （1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得，可知，再根据，可得，接下来可根据“两角相等的两个三角形相似”得出答案； （2）根据相似三角形对应边成比例可得答案． 【详解】（1）在中，点E是的中点， ∴， 即， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）∵， ∴， 即． ∵， ∴， 解得． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 22．(1)或 (2)或2 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积可得出答案； （2）点在上，点在上时，①当时，，②当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 由题意得，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或， 或时，的面积为18； （2）解：如图1中， 点在上，点在上时， ①当时，， ， ， ②当时，即， ， 当点在上，点在上时，不存在和相似， 综上所述，或2时，和相似． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，由相似三角形的性质得出方程是解题的关键． 23．探究1：；探究2：见解析；探究3： 【分析】探究1：证明，得出，根据，求出结果即可； 探究2：证明，得出，，即可证明； 探究3：根据勾股定理求出，，证明，得出，求出，，证明，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】探究1：解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 探究2：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 探究3：∵四边形为正方形， ∴，。，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法． 24．（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$