第18讲 数列单元复习-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第18讲 数列单元复习 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 知识点： 1．等差、等比数列 学习目标： 1．掌握等差数列与等比数列基本量之间的运算 2．掌握数列求通项及求和的运算 3．掌握数列与不等式结合的范围以及最值问题 1．数列的概念 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数an＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类 (1)按照项数有限和无限分： (2)按单调性来分： 3．数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 4．等差数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数． (2)前n项和公式：Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且没有常数项． [常用结论] 已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)在等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an(m，n，p∈N*)． (3)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)． (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d. (5)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (6)若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的. (7)若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝. (8)若项数为奇数2n－1，则S2n－1＝(2n－1)an；S奇－S偶＝an；＝. (9)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1<0，d>0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm. 5．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1． (2)前n项和公式：Sn＝ 6．等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a． (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列． (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 常用结论 （1）正确理解等比数列的单调性 当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时 ，{an}是递增数列； 当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时 ，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列； 当q＝－1时，{an}是摆动数列． （2）记住等比数列的几个常用结论 (1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． (2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. (3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂． (4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． (5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝. (6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 7．数列求和 （1）公式法 (1)等差数列{an}的前n项和Sn＝＝na1＋. 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{an}的前n项和Sn＝ 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n项和： ①1＋2＋3＋…＋n＝； ②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2. （2）．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． [常用结论] 常见的裂项技巧 ①＝－. ②＝. ③＝. ④＝－. ⑤＝. 一、由an与Sn的关系求通项an 例1-1．（2019秋•沈阳期中）若数列{an}的前n项和Sn＝2n2﹣3n+2，则它的通项公式an是　　 ． 例1-2．（2019春•南康区校级期中）如果数列{an}的前n项和Snan﹣3，那么这个数列的通项公式是　 　． 练习1-1．（2020春•杨浦区校级期末）数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2+2n+3，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝　　． 练习1-2．（2020•烟台模拟）已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝2n2﹣n+1，则数列{an}的通项公式为　 　． 练习1-3．（2019春•蚌埠期中）数列{an}的前n项和Sn＝3n2﹣5n，则an＝（　　） A．3n﹣5 B．2n﹣4 C．6n﹣8 D．5n﹣7 练习1-4．（2019秋•碑林区校级月考）在数列{an}中，已知，其中Sn为{an}的前n项和，则an＝　 ． 二、由数列的递推关系求通项公式 例2-1．（2019春•南昌期中）已知数列{an}中，a1＝﹣1，且an+1＝an+3n﹣1，则数列的通项公式an＝　 　． 例2-2．（2019春•舒城县期末）已知数列{an}中，a1＝1，an+1，则{an}的通项公式an＝　 　． 练习2-1．（2020春•静安区期末）数列{an}满足a1＝3，an+1＝an+5，则数列{an}的通项公式an＝ （n∈N*）． 练习2-2．（2020春•徐汇区校级期末）在数列{an}中，若a1＝1，，则an＝　 　． 三、数列的性质及应用 例3-1．（2019秋•郑州期中）在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝5，且，则a2020＝　 　． 例3-2．（2020春•温州期末）设数列{an}满足，若数列{an}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是　 　． 例3-3．（2020春•南昌月考）已知，则在数列{an}的前40项中最大项和最小项分别是（　　） A．a1，a30 B．a1，a9 C．a10，a9 D．a12，a11 练习3-1．（2020春•山西月考）已知数列{an}的通项公式为an＝（3n+7）×0.9n，则数列{an}的最大项是（　　） A．a5 B．a6 C．a7 D．a8 练习3-2．（2020春•九龙坡区期末）已知数列{an}的通项公式为an＝﹣2n2+λn（n∈N*，λ∈R），若{an}是递减数列，则λ的取值范围为（　　） A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6] 练习3-3．（2019秋•海淀区校级月考）如表定义函数f（x）： x 1 2 3 4 5 f（x） 5 4 3 1 2 对于数列{an}，a1＝4，an＝f（an﹣1），n＝2，3，4，…，则a2019的值是（　　） A．1 B．2 C．5 D．4 四、等差数列的基本运算 例1-1．（2020春•新华区校级期末）在等差数列中，若，，则公差　　 A． B． C．3 D． 例1-2．（2020春•黄冈期末）若等差数列满足，，则数列的首项　　 A．20 B． C．22 D． 例1-3．（2020春•乐山期末）已知等差数列中，，公差，则与的等差中项为　　 A． B． C． D．6 练习1-1．（2020春•合肥期末）若为等差数列，是数列前项和，，，则该数列的公差为　　 A．21 B．2 C．3 D．4 练习1-2．（2020春•资阳期末）已知等差数列的公差为，，，则　　 A．2 B．3 C．6 D．9 练习1-3．（2020春•常德期末）等差数列中，，，则　　 A．14 B．17 C．20 D．23 五、等差数列的判定与证明 例2-1．（2020•山东模拟）已知数列，且． （1）求证：数列是等差数列，并求； （2）令，求数列的前项和． 练习2-1．（2020春•天心区校级期末）已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且． （1）求及的值． （2）已知数列满足，证明数列是等差数列，并求其前项和． 六、等差数列的性质及应用 例3-1．（2020春•赤峰期末）在等差数列中，，，则　　 A．8 B．9 C．10 D．11 例3-2．（2020春•南岗区校级期末）设等差数列的前项和为，若，，则　　 A．27 B．33 C．36 D．45 例3-3．（2020春•运城期末）设等差数列满足：，公差，其前项和为．若数列也是等差数列，则的最小值为　　 A．3 B．2 C．5 D．6 练习3-1．（2020春•上高县校级期末）设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若，则　　 A． B．11 C．12 D．13 练习3-2．（2020春•安徽期末）在等差数列中，，，则　　 A． B． C． D．0 练习3-3．（2020春•蚌埠期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为，若，则　　 A． B． C． D． 练习3-4．（2020春•马鞍山期末）在数列中，若，则此数列前项和的最小值为　　 A． B． C． D．3 练习3-5．（2020春•沙坪坝区校级期末）已知等差数列，其前项和为，若，，则的最大值为　　 A．12 B．24 C．36 D．48 练习3-6．（2020•哈尔滨模拟）等差数列，的前项和分别为，，若，则　　． 练习3-7．（2020•昆山市模拟）已知和均为等差数列，若，，则的值是　 　． 七、等比数列的基本运算 例1-1．（2020春•辽源期末）在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（　　） A．3 B．27 C． D．243 例1-2．（2020春•赤峰期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3，S6＝9，则S9＝（　　） A．12 B．18 C．21 D．24 例1-3．（2020•新课标Ⅲ）设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m． 练习1-1．（2020春•广州期末）已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b5b6＝2，则a11＝（　　） A．16 B．21 C．31 D．32 练习1-2．（2020•新课标Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（　　） A．2n﹣1 B．2﹣21﹣n C．2﹣2n﹣1 D．21﹣n﹣1 练习1-3．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100． 八、等比数列的判定与证明 例2-1．（2019春•玉田县期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snb（n∈N*，b∈R，b≠0）． （1）求证：{an}是等比数列； （2）求证：{an+1}不是等比数列． 跟踪训练2-1．（2019•广西二模）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）． （1）求证：数列{an+1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和． 九、等比数列的性质及应用 例3-1．（2020春•宣城期末）已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　） A． B． C．2 D．3 例3-2．（2020春•绵阳期末）若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（　　） A．80 B．120 C．150 D．180 练习3-1．（2020春•五华区校级期末）已知正项等比数列{an}中，a3，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（　　） A．511 B．512 C．1023 D．1024 练习3-2．（2020春•广东期末）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若3，则（　　） A．9 B．7 C．5 D．4 十、分组转化求和 例1-1．（2020春•昆明期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 练习1-1．（2020春•保定期末）已知数列、满足：，为等比数列，且，，． （1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由； （2）求数列的前项和． 练习1-2．（2020春•永州期末）已知等差数列，等比数列满足：，． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和． 十一、裂项相消法求和 例2-1．（2020春•黔南州期末）已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 练习2-1．（2020•安宁区校级模拟）已知是一个等差数列的前项和，对于函数，若数列的前项和为，则的值为　　 A． B． C． D． 练习2-2．（2020春•成都期末）数列的前项和为，若，则　　 A．1 B． C． D． 十二、错位相减法求和 例3-1．（2020春•柳林县期末）已知数列的前项和为，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 练习3-1．（2020春•黄冈期末）已知数列满足，，已知数列的前项和为，且满足． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 练习3-2．（2020春•成都期末）已知等差数列的前项和为，，；各项均为正数的等比数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 十三、 数列在数学文化与实际问题中的应用 例1-1．（2020•北辰区二模）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为　　 A．180里 B．170里 C．160里 D．150里 例1-2．（2020春•河池期末）《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第二十日所织尺数为　　 A．18 B．19 C．20 D．21 练习1-1．（2020春•河南期末）公元1202年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前项和为，则　　 A． B． C． D． 练习1-2．（2020春•永州期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了　　 A．64里 B．32里 C．16里 D．8里 练习1-3．（2020春•安徽期末）我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦、莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦、莞长度相等时，问浦的长度是　　 A．4尺 B．5尺 C．3尺 D．6尺 十四、 数列中的新定义问题 例2-1．（2020春•宿州期末）对于数列，定义为的“最优值”，现已知数列的“最优值” ，记数列的前项和为，则　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 例2-2．（2020春•武邑县校级期末）定义：若，为非零常数），则称为“差等比数列”．已知在“差等比数列” 中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 练习2-1．（2020•重庆模拟）斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波那契数列定义如下：，．随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是　　 A．144厘米 B．233厘米 C．250厘米 D．377厘米 练习2-2．（2020•香坊区校级二模）有限数列，，，，为其前项和，定义为的“凯森和”，如有504项的数列，，，的“凯森和”为2020，则有505项的数列2，，，，的“凯森和”为　　 A．2014 B．2016 C．2018 D．2020 十五、数列与函数、不等式的综合问题 例3-1．（2020春•资阳期末）记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对任意的都有恒成立，则的取值范围为　　 A．， B．， C．， D．， 例3-2．（2020春•河南期末）已知数列的前项和为，，当时，满足，，成等比数列． （Ⅰ）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （Ⅱ）求证：． 练习3-1．（2020春•宣城期末）若数列的通项公式为，则满足的最小的的值为、　　 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 练习3-2．（2020春•胶州市期末）在①，②，③三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答． 已知等差数列的前项和为，满足：　 　，． （1）求的最小值； （2）设数列的前项和，证明：． 练习3-3．（2020春•内江期末）已知数列满足． （1）求数列的通项； （2）设，若，求证：． 1．（2020•湖北模拟）斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，，在数学上，斐波拉契数列定义如下：，，随着的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是　　 A．20厘米 B．19厘米 C．18厘米 D．17厘米 2．（2019•兰州二模）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前41项的和为103，则这个数列的公积为　　 A．2 B．3 C．6 D．8 3．（2020春•荔湾区校级期中）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值” ，记数列的前项和为，则　　 ． 4．（2020•荆门模拟）定义：若数列满足，则称该数列为“切线一零点数列”已知函数有两个零点1，2，数列为“切线一零点数列”，设数列满足，数列的前项和为．则　　 ． 5．（2020•丰台区一模）已知有穷数列且．定义数列的“伴生数列” ，，，，，，其中，2，，，规定，． （Ⅰ）写出下列数列的“伴生数列”： ①1，2，3，4，5； ②1，，1，，1． （Ⅱ）已知数列的“伴生数列” ，，，，，，且满足，2，，． （1）若数列中存在相邻两项为1，求证：数列中的每一项均为1； （2）求数列所有项的和． 第18讲 数列单元复习 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．（2020春•梅州期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为 　　 A．13 B．14 C．15 D．16 2．（2020春•成都期末）已知数列的通项公式，为数列的前项和，满足，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2020春•常德期末）明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学命题叫“宝塔装灯”，内容为“远望魏巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，” “倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增），根据此诗，可以得出塔的第四层灯的数量为　　 A．12 B．24 C．48 D．96 4．（2020春•嘉兴期末）对于数列，若存在常数，使对任意，都有成立，则称数列是有界的．若有数列满足，则下列条件中，能使有界的是　　 A． B． C． D． 5．（2020•山东模拟）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为　　 A． B． C． D． 6．（2020春•石家庄期末）如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于，且所有项数之和为，那么称该数列为“型标准数列”，例如，数列3，4，5，6，7为“25型标准数列”，则“5336型标准数列”的个数为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2020春•宜宾期末）河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．在龙门石窟的某处“浮雕像”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案．已知该处共有1016个“浮雕像”，则正中间那层的“浮雕像”的数量为　　 A．508 B．256 C．128 D．64 8．（2020春•宜宾期末）设等差数列的前项和为，若，，则满足的最小正整数的值为　　 A．1010 B．1011 C．2020 D．2021 9．（2020春•河南期末）等差数列的前项和为，，，则满足的　　 A．50 B．51 C．100 D．101 10．（2020春•九龙坡区期末）斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多斐波那契于1202年提出的数列．斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为　　 A． B．，且（1），（2） C． D． 11．（2020春•镜湖区校级期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”，翻译过来就是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇．这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将墙的厚度改为130尺，则在第几天墙才能被打穿？　　 A．6 B．7 C．8 D．9 12．（2020春•宣城期末）已知等比数列的公比为3，前项和为，若关于的不等式有且仅有两个不同的整数解，则的取值范围为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 13．（2020春•威宁县期末）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半．1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设个月后共有老鼠只，则　　 ． 14．（2020春•闵行区校级期末）已知数列中，，，，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是　　 ． 15．（2020•天心区校级模拟）十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为． （1）　 　． （2）设，，为常数），　 　． 16．（2020•葫芦岛二模）定义：数列，满足，则称数列为的“友好数列”．若数列的通项公式，，则数列的“友好数列“的通项公式为　　 ；记数列的前项和为．且，则的取值范围是　　 ． 17．（2020春•成都期末）已知是首项不为1的正项数列，其前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求证：． 18．（2020春•内江期末）已知数列满足． （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前项和，当对一切正整数恒成立时，求实数的取值范围． 19．（2020春•衢州期末）已知数列满足，，数列是公比为正数的等比数列，，且，，8成等差数列． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和． （Ⅲ）若数列满足，求证：． 20．（2020•镇江三模）各项为正数的数列如果满足：存在实数k，对任意正整数，恒成立，且存在正整数，使得或成立，则称数列为“紧密数列”， 称为“紧密数列” 的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前项和为，且对任意正整数，，，为常数）恒成立． （1）当，，时， ①求数列的通项公式； ②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”； （2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，且，，，求实数的取值范围． 答案 第18讲 数列单元复习 适用区域 江苏 适用年级 高二 【例1-1】． 【例1-2】． 【跟踪训练1-1】． 【跟踪训练1-2】an． 【跟踪训练1-3】C． 【跟踪训练1-4】． 【例2-1】． 【例2-2】． 【跟踪训练2-1】5n﹣2． 【跟踪训练2-2】3n﹣2． 【例3-1】﹣1． 【例3-2】（﹣∞，2）． 【例3-3】D． 【跟踪训练3-1】C． 【跟踪训练3-2】C． 【跟踪训练3-3】C． 【例1-1】． 【例1-2】． 【例1-3】． 【跟踪训练1-1】． 【跟踪训练1-2】． 【跟踪训练1-3】． 【例2-1】解： 故 数列是公差为的等差数列 而， 由知 故 【跟踪训练2-1】（1）设该等差数列为，则，，， 由已知有，得，公差， 所以， 由，得， 解得或（舍去）， 故，； （2）证明：由（1）得， 则，故， 即数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以． 【例3-1】． 【例3-2】． 【例3-3】． 【跟踪训练3-1】． 【跟踪训练3-2】． 【跟踪训练3-3】． 【跟踪训练3-4】． 【跟踪训练3-5】． 【跟踪训练3-6】 【跟踪训练3-7】12． 【例1-1】A． 【例1-2】C． 【例1-3】（1）设公比为q，则由， 可得a1＝1，q＝3， 所以an＝3n﹣1． （2）由（1）有log3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列， 所以Sn， 所以，m2﹣5m﹣6＝0， 解得m＝6，或m＝﹣1（舍去）， 所以m＝6． 【跟踪训练1-1】D． 【跟踪训练1-2】B． 【跟踪训练1-3】an＝2n， （2）480． 【例2-1】证明：（1）因为Snb，所以当n≥2时Sn﹣1an﹣1+b， 两式相减得Sn﹣Sn﹣1ban﹣1﹣b， ∴anan﹣1， ∴an＝3an﹣1， 故{an}是公比为q＝3的等比数列． （2）假设：{an+1}是等比数列，则有：（an+1）2＝（an+1+1）（an﹣1+1）， 即：an2+2an+1＝an+1an﹣1+an+1+an﹣1+1， 由(1)知{an}是等比数列，所以an2＝an+1an﹣1， 于是2an＝an+1+an﹣1，即6an＝an﹣1+9an﹣1，解得an﹣1＝0， 这与{an}是等比数列相矛盾， 故假设错误，即：{an+1}不是等比数列． 【跟踪训练2-1】（1）数列{an+1}是以2为公比的等比数列， （2）数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣n﹣2． 【例3-1】D． 【例3-2】C． 【跟踪训练3-1】C． 【跟踪训练3-2】B． 【例1-1】（1）由题意，设等差数列的公差为，则 ，， ，，成等比数列， ，即， 整理，得， 解得（舍去），或， ，． （2）由（1）知，设， 故 ． 【跟踪训练1-1】（1）数列不是等差数列． 理由如下： 由，且，，，得， 又数列为等比数列， 数列的首项为4，公比为2． ，得， 显然． 故数列不是等差数列； （2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2． 故，． ，，，， ． 令，，． 得， ， ， 累加得． ． 又满足上式，． ． 【跟踪训练1-2】（1）， ； （2）， 所以的前项和为 ． 【例2-1】解：（1）． （2）． 【跟踪训练2-1】． 【跟踪训练2-2】． 【例3-1】解：（1）， （2）． 【跟踪训练3-1】（Ⅰ）； （Ⅱ）． 【跟踪训练3-2】解：（1）设等差数列的首项为，公差为， 由，，得，解得． ； 设等比数列的公比为， 由，，得，解得． ； （2）． 令的前项和为， 则， 两式作差可得： ， ．则． 【例1-1】． 【例1-2】． 【跟踪训练1-1】． 【跟踪训练1-2】． 【跟踪训练1-3】． 【例2-1】． 【例2-2】． 【跟踪训练2-1】． 【跟踪训练2-2】． 【例3-1】． 【例3-2】（Ⅰ）由题意知，即，整理得： ，两边同时除以得： ，又因为， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列，则 ， 故． 当时，， 当 时，， 故． （Ⅱ）， 因此 ， 故． 【跟踪训练3-1】C． 【跟踪训练3-2】（1）①若选择②③； 由题知：， 又因为，所以． 所以，解得． 所以． 所以， 所以 ②若选择①②； 由题知：， 又因为， 所以． 所以，． 所以． 所以， 所以 ③若选择①③； 由题知：，所以 由题知：，所以 所以，． 所以． 所以， 所以． 证明（2）因为， 所以 所以． 【跟踪训练3-3】(1)． （2）． 1．C． 2．C． 3．． 4．． 5．解：（Ⅰ）①1，1，1，1，1； ②1，0，0，0，1． （Ⅱ）(1)数列中的每一项均为1 (2)所有项的和或是3的倍数）． 1．C． 2．D． 3．B． 4．D． 5．A． 6．B． 7．D． 8．C． 9．A． 10．B． 11．C． 12．A． 13．． 14．，． 15．1，． 16．； 17．解：（1）； 证明：（2）， ． 18．解：（1）． （2）的取值范围为，． 19．解：（Ⅰ），， 解：（Ⅱ）数列满足， 所以， ． 证明：（Ⅲ）数列满足， 所以， ， ， ， ． 20．解：（1）当，，时， ①， 当时，， 由得， 整理，得， 因为，所以， 即有，当时，． 则是以首项为1，公差为2的等差数列，则． ②由①中，得随着的增多而减小， 则对任意正整数， 恒成立，且存在，使得， 则数列是“紧密度”为3的“紧密数列”． （2）实数的取值范围为，． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$