第17讲 不等式单元复习-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第17讲 不等式单元复习 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 知识点：1．二次不等式 2．基本不等式 学习目标：1．掌握二次不等式及含参不等式的解法 2．掌握恒成立与有解问题的分析 3．掌握基本不等式及其应用 1．两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a＞b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b＜0⇔a＜b. 2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒ac；　　 (3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc; a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；　 (5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)． 3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 3．基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 4．算术平均数与几何平均数 设a＞0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 5．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 一、不等式的性质及应用 例1．（2020春•湖北期中）下列命题中，正确的是　　 A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 练习1．（2020•玉溪二模）若，，则　　 A． B． C． D． 二、一元二次不等式的解法 例2．（2019秋•河东区期中）不等式的解集为　　 ． 例3．（2019·杭州模拟）求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集． 练习2．（2020春•启东市校级月考）一元二次不等式的解集为　　 A． B． C． D． 练习3．（2019秋•嘉兴期末）已知不等式的解集是，，则不等式 的解集是　　 A． B． C． D． 三、 一元二次不等式的恒成立或有解问题 例3-1．（2020•一卷模拟）已知关于的不等式在，上有解，则实数的取值范围是 　　 A． B． C． D． 例3-2．（2018秋•凌源市期末）不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是　　 ． 练习3-1．（2020春•湖北期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是　　 A．， B． C．， D．， 练习3-2．（2019秋•崇川区校级月考）关于的不等式在区间，上有实数解，则实数的取值范围是　　 . 四、利用基本不等式求最值 例1-1．（2019·济南模拟）（1）已知，求的最大值； （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 例1-2．（2019·辽宁模拟）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 例1-3．（2019·合肥调研）已知a>b>0，那么a2＋的最小值为________． 练习1-1．（2020春•湖北期中）已知，则的最小值为　 　． 练习1-2．（2020•韶关二模）已知，，且，则的最小值是　　 A．7 B．8 C．9 D．10 五、利用基本不等式解决实际问题 例2-1．（2019秋•罗田县期中）小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为和，其全程的平均时速为，则　　 A． B． C． D． 例2-2．（2019春•南昌县校级月考）某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份　　 A．甲食堂的营业额较高 B．乙食堂的营业额较高 C．甲乙两食堂的营业额相同 D．不能确定甲，乙哪个食堂的营业额较高 练习2-1．（2019秋•金安区校级月考）近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元斤、元斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）　 　（在横线上填甲或乙即可）． 六、基本不等式的综合应用 例3-1．（2020春•吉林月考）在中，已知，，，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为　　 A． B． C． D． 例3-2．（2020春•广陵区校级期中）已知直线过圆的圆心，则的最小值为　　 A．3 B． C．6 D． 例3-3．（2020•山东模拟）若，，则实数的取值范围为　 　． 练习3-1．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知向量，且向量与向量平行，则的最大值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 练习3-2．（2020•淮南一模）已知函数，满足，均为正实数），则的最小值为　 　 1．（2019秋•苏州期末）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2019秋•无锡期末）已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．，， 3．（2019秋•上饶月考）在上定义运算：若存在使得成立，则实数的取值范围是　 　． 4．（2019秋•聊城期末）若，解关于的不等式． 5．（2019秋•南城县校级期末）已知正数，满足，且，则的最大值为　　 A． B． C．2 D．4 6．（2020春•武侯区校级期中）已知正数，满足，若恒成立，则实数的取值范围是　　 ． 第17讲 不等式单元复习 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．（2019秋•桥西区校级月考）已知不等式的解集为或 （Ⅰ）求、； （Ⅱ）解关于的不等式． 2．（2019•衡阳三模）已知函数，记的解集为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）已知，比较与的大小． 3．（2020春•青羊区校级期中）已知关于的不等式． （1）若不等式的解集为，求实数的值； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 4．（2020春•临安区校级月考）已知． （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若存在实数，，使得不等式f（x）+x+a﹣b≥0对一切恒成立，求实数的最小值． 5．（多选）（2020•德州二模）若正实数，满足，则下列说法正确的是　　 A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值 6．（多选）（2020春•锡山区校级期中）设正实数、满足，则下列说法正确的是　　 A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 7．（2020•昌平区二模）已知，则的最小值为　 　． 8．（2020•南开区二模）已知，则的最小值为　 　． 9．（2019秋•淄博期末）若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是　 　． 10．（2020春•克东县期中）已知． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 11．（2020•全国Ⅰ卷模拟）若，，且． （1）求的最小值； （2）是否存在、，使得？并说明理由． 12．已知，均为正实数，且． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 13．（2020•赣州模拟）已知正实数，满足． （1）求的最小值． （2）证明：． 答案 第17讲 不等式专题复习 适用区域 江苏 适用年级 高二 【例1】． 【训练1】． 【例2】． 【例3】当a>0时，不等式的解集为∪； 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为∪. 【训练2】． 【训练3】． 【例3-1】． 【例3-2】． 【训练3-1】． 【训练3-2】． 【例1-1】（1）因为，则， 当且仅当即时取等号，此时取得最大值； （2），是正实数，且， 则， 当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值． 【例1-2】6. 【例1-3】4. 【跟踪训练1-1】7． 【跟踪训练1-2】C． 【例2-1】． 【例2-2】． 【跟踪训练2-1】乙． 【例3-1】C． 【例3-2】D． 【例3-3】， 【跟踪训练3-1】B． 【跟踪训练3-2】 1．B． 2．C． 3．，，． 4．． 5．B． 6．． 1．（1）由题意知且1，是方程的根， 又，； （2）不等式可化为，即； 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 2．(1) (0,2)． （2）由（Ⅰ）知：，（a）． 当时，（a），； 当时，（a），； 当时，（a），； 综上所述：当时，； 当时，； 当时，． 3．（1）； （2） 4．（Ⅰ）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； （Ⅱ）． 5．． 6．． 7．5 8．4 9．． 10．（1）； （2）． 11．（1）4． （2）不存在，使成立． 12．（1）1 （2），． 13．（1）； （2）证明：， ， ， （当且仅当时取等号） 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$