第16讲 空间向量与二面角-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第16讲 空间向量与二面角 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 知识点：二面角、点到平面距离及其求法 学习目标：1.了解二面角定义及二面角范围 2.掌握运用空间向量求二面角 3.掌握与二面角有关的探索性问题的分析技巧 1．二面角 (1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)． 2．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. 一． 二面角 例1．（2020•江苏）在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=， BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点． （1）求直线AB与DE所成角的余弦值； （2）若点F在BC上，满足，设二面角的大小为，求的值． 例2．（2020•新课标Ⅰ）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点， PO=． （1）证明：PA⊥平面PBC （2）求二面角B-PC-E的余弦值． 跟踪训练1．（2020•新课标Ⅲ）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1． （1）证明：点C1在平面AEF内； （2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值． 跟踪训练2．（2019•天津）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=1，AE= 2． （Ⅰ）求证： BF∥平面ADE； （Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E-BD-F的余弦值为，求线段CF的长． 跟踪训练3．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 二． 求空间距离 例1．（2019•新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 跟踪训练1．（2020•梅州二模）如图，△PAD中，∠PAD=90°，DP=DA=2，B，C分别是PA，PD的中点，将△PBC沿BC折起，连结PA，PD，得到多面体PABCD． （1）证明：在多面体PABCD中，BC⊥PD； （2）在多面体PABCD中，当PA=时，求点到平面的距离． 正向题：给定条件求二面角大小： 1．（2020·海南省高三）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是棱的中点，. （1）证明：PC∥平面； （2）设是线段AB的中点，且PO⊥平面，求二面角的余弦值. 2．（2020·全国高三月考）如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱C1C，A1A上，且C1M=2MC，A1N=2NA． （1）求证：NC1∥平面BMD； （2）若A1A=3，AB=2AD=2，∠DAB=，求二面角N-BD-M的大小． 逆向题：已知二面角的大小求参数值： 3．（2020·江苏省高三模拟）如图，在空间直角坐标系中，已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为6，正方形ABCD的中心为坐标原点O，AD，BC平行于x轴，AB．CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M．N分别在PA，BD上，且. （1）若，求直线MN与PC所成角的大小； （2）若二面角A-PN-D的平面角的余弦值为，求λ的值. 逆向题：已知二面角的大小确定点的位置： 4．（2020·四川省泸县第二中学高三）在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF=60°，，平面平面.. （1）证明：直线CE⊥平面ADF； （2）已知P为棱BC上的点，试确定P点位置，使二面角P-DF-A的大小为60°. 逆向题：已知二面角的大小求线段长： 5．（2020·全国高三其他（理））如图，在三棱锥A-BCD中，是等边三角形， BC⊥CD，，为三棱锥A-BCD外一点，且△CDE为等边三角形． （1）证明： AC⊥BD； （2）若平面平面BCD，平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求BE的长． 逆向题：已知二面角的大小求角： 6．（2020·陕西省高三一模）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且底面. （1）证明：平面平面. （2）若，且平面与平面所成锐二面角的余弦值为，求的大小. 二面角与线面角相结合的问题： 7．（2020安徽省马鞍山二中高三）如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA=2ED=2. （1）证明：平面PAD⊥平面PCD； （2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P-CE-D的余弦值. 8．（2020·浙江省高三一模）如图，在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD， AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，E是PB上一点. （1）求证:平面EAC⊥平面PBC； （2）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值是，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值. 二面角与探索性问题相结合： 9．（2020·山西省高三期末）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥底面ABC，点是棱BB1的中点. （Ⅰ）求证：AC1∥平面A1BD； （Ⅱ）若AB=AC=，BC=BB1=2，在棱AC上是否存在点M，使二面角的大小为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 二面角与体积相结合的问题： 10．（2020·广西壮族自治区桂林十八中高三）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD=3BC=6，PB=，点M在线段AD上，且MD=4，AD⊥AB，PA⊥平面ABCD. （1）求证：平面PCM⊥平面PAD； （2）当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求平面PCM与平面PCD所成二面角的余弦值. 第16讲 空间向量与二面角 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．如图，已知边长为2的菱形ABCD，其中∠BAD＝120°，AE∥CF，CF⊥平面ABCD，， CF=. （1）求证：平面BDE⊥平面BDF；（2）求二面角D﹣EF﹣B的大小. 2．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，点在直线上，且满足. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若平面与平面所成锐二面角为，试确定点的位置. 3．如图，在多面体中，两两垂直，四边形是边长为2的正方形，ACDGEF，且. （1）证明：CF⊥平面.（2）求二面角的余弦值. 4．如图所示，在正四棱柱中，，，点是棱CC1上一点， （1）求证：； （2）设.当平面AD1P与平面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为时，求m的值. 5．如图，三棱柱中，，，AO⊥平面BB1C1C. （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值. 6．如图.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，平面PAD⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且，，AD，AB的中点分别是O，G. （1）求证：GO⊥平面POC；（2）求二面D-PG-O的余弦值. 7．如图所示的几何体中，BE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，AB=AF=2，点M，N分别在棱FD，ED上. （1）若BF∥平面MAC，设，求的值； （2）若,，平面AEN平面EDC所成的锐二面角为，求BE的长. 8．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1，AB⊥AC，P为线段BC1上一点． （Ⅰ）若BP=PC1，求PC与AA1所成角的余弦值； （Ⅱ）若BP=PC1，求PC与平面ABB1A1所成角的大小； （Ⅲ）若二面角的大小为45°，求的值． 9．如图，在四棱锥P- ABCD中，PD⊥底面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，CD=2AB=2，AD=2，E是BC上一点，且BC=3BE. （1）求证：BC⊥平面PDE； （2）F是PA的中点，若二面角A-BC-P的平面角的正切值为，求直线CF与平面PEF所成角的正弦值. 10．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，AB⊥AC，AB=AC=，点在上，且． （1）点F在上，，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 答案 第16讲 空间向量与二面角 适用区域 江苏 适用年级 高二 一． 二面角 例1．（1）如图，连接，，为的中点，． 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． ，，则． ，0，，，0，，，2，，，0，， 是的中点，，1，， ，． 设直线与所成角为， 则， 即直线与所成角的余弦值为； （2），， 设，，，则，，，，，，，． ，，． 设平面的一个法向量为， 由，取，得； 设平面的一个法向量为， 由，取，得． ． ． 例2．解：（1）不妨设圆的半径为1，，，，， ， 在中，，故， 同理可得，又，故平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，1，， 故， 设平面的法向量为，则，可取， 同理可求得平面的法向量为， 故，即二面角的余弦值为． 跟踪训练1．（1）证明：在上取点，使得，连接，，，， 在长方体中，有，且． 又，，，． 四边形和四边形都是平行四边形． ，且，，且． 又在长方体中，有，且， 且，则四边形为平行四边形， ，且， 又，且，，且， 则四边形为平行四边形， 点在平面内； （2）解：在长方体中，以为坐标原点， 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． ，，，，， ，1，，，0，，，1，，，1，， 则，，． 设平面的一个法向量为． 则，取，得； 设平面的一个法向量为． 则，取，得． ． 设二面角为，则． 二面角的正弦值为． 跟踪训练2．（Ⅰ）证明：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 可得，0，，，0，，，2，，，1，，，0，． 设，则，2，． 则是平面的法向量，又，可得． 又直线平面，平面； （Ⅱ）解：依题意，，，． 设为平面的法向量， 则，令，得． ． 直线与平面所成角的正弦值为； （Ⅲ）解：设为平面的法向量， 则，取，可得， 由题意，，解得． 经检验，符合题意． 线段的长为． 跟踪训练3．（1）证明：如图，过作，则，且， 又，，四边形为平行四边形，则， 由，为中点，得为中点，而为中点， ，，则四边形为平行四边形，则， ， 平面，平面， 平面； （2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，1，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由，取，得， 又平面的一个法向量为， ． 二面角的正弦值为． 二． 求空间距离 例1．证明：（1）连结，，，分别是，的中点， ，又为的中点，， 由题设知，，， 四边形是平行四边形， ， 又平面，平面． 解：（2）过作的垂线，垂足为， 由已知可得，， 平面，故， 平面，故的长即为到平面的距离， 由已知可得，， ，故， 点到平面的距离为． 跟踪训练1．（1）证明：中，，，，分别是，的中点， 将沿折起，连结，，得到多面体． ，， ，平面， 平面，在多面体中，． （2）由（1）得平面， 又平面，， 中，，，，分别是，的中点，， ，，， ，平面， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，0，，，0，，，1，，，1，， ，0，，，1，，，1，， 设平面的法向量，，， 则，取，得，1，， 点到平面的距离为： ． 1.（1）略；（2） 2.（1）略（2） 3.（1）（2）或 4.（1）略；（2）p点靠近B点的CB的三等分点处 5.（1）略；（2）. 6.（1）略；（2） 7.（1）略；（2） 8.（1）略（2） 9.（1）略；（2）存在，. 10.（1）略;（2）. 1．（1）证明见解析；（2） 2．（1）略；（2）点在的延长线上且 3．（1）略；（2）. 4．（1）略（2） 5．（1）略；（2） 6．（1）略；（2） 7．（1）（2）2 8．（1）；（2）30°；（3）1． 9．（1）略；（2） 10．（1）略；（2）． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$