第14讲 空间向量-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第14讲 空间向量 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解空间向量建系原理 2．掌握空间向量的线性运算 3．掌握空间向量的数量积运算 4．掌握利用空间向量证明平行问题以及垂直问题 1．空间向量的概念、数量积及坐标运算 (1)空间向量及其相关概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 (2)两个向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉； ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)； ③|a|2＝a2，|a|＝. (3)向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 2．异面直线所成角 设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量． 3．直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝. 4．二面角 若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)． 平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝，如图(2)(3)． 类型一　利用向量证明平行与垂直问题 例1．如图所示，在四棱锥P ­ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证： (1)CM∥平面PAD； (2)平面PAB⊥平面PAD. 练习 1．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，E为BC中点． (1)求证：C1D⊥D1E； (2)在棱AA1上是否存在一点M，使得BM∥平面AD1E？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)若二面角B1­AE­D1的大小为90°，求AD的长． 类型二 异面直线所成角 例2．(2018·浙江名校信息卷)如图1，在平面多边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，△ADE是正三角形．将△ADE所在平面沿直线AD折叠，使得点E达到点S的位置(如图2)．若二面角S­AD­C的平面角θ∈，则异面直线AC与SD所成角的余弦值的取值范围是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 练习1．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝. (1)求证：AO⊥平面BCD； (2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值． 类型三 直线与平面所成角 例3． (2018·浙江高考原创卷)如图，边长为3的菱形ABCD所在的平面与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，∠BAD＝60°，AE⊥BE，点M，N分别在AB，DE上，且＝＝. (1)求证：MN∥平面BCE； (2)求直线BC与平面CDE所成角的正弦值． 练习 1．如图，△ABC中，O是BC的中点，AB＝AC，AO＝2OC＝2.将△BAO沿AO折起，使B点到达B′点． (1)求证：AO⊥平面B′OC； (2)当三棱锥B′­AOC的体积最大时，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由． 1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α　　　　　　　　　 　B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 2．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是(　　) A．(2,4，－1) B．(2,3,1) C．(－3,1,5) D．(5,13，－3) 3．(2018·舟山模拟)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O为坐标原点，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　) A．± B. C．－ D．± 4．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________. 5． 如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________． 第14讲 空间向量 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．如图，在多面体ABC ­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，B1C1=BC，二面角A1 ­AB ­C是直二面角． 求证：(1)A1B1⊥平面AA1C； (2)AB1∥平面A1C1C. 2．如图，在直三棱柱ADF­BCE中，AB＝BC＝BE＝2，CE＝2，点K在线段BE上． (1)求证：AC⊥平面BDE； (2)若EB＝4EK，求直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值． 3．已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A­BCD，如图所示． (1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由． (2)当四面体A­BCD的体积最大时，求二面角A­CD­B的余弦值． 4．如图，在四棱锥S­ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1. (1)证明：SD⊥平面SAB； (2)求AB与平面SBC所成角的正弦值． 答案 第14讲 空间向量 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C ­xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°， ∵PC＝2， ∴BC＝2，PB＝4， ∴D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，∴＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)， ＝. (1)设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量， 由即 令y＝2，得n＝(－，2,1)． ∵n·＝－×＋2×0＋1×＝0， ∴n⊥.又CM⊄平面PAD，∴CM∥平面PAD. (2)法一：由(1)知＝(0,4,0)，＝(2，0，－2)， 设平面PAB的一个法向量为m＝(x0，y0，z0)， 由即 令x0＝1，得m＝(1,0，)， 又∵平面PAD的一个法向量n＝(－，2,1)， ∴m·n＝1×(－)＋0×2＋×1＝0， ∴平面PAB⊥平面PAD. 练习 1．解：(1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，C(0,1,0)，B1(a,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0，0,1)，E， ∴＝(0，－1，－1)，＝， 则·＝0， ∴C1D⊥D1E. (2)设＝h，则M(a,0，h)， ∴＝(0，－1，h)，＝，＝(－a,0,1)， 设平面AD1E的法向量为n＝(x，y，z)， 则 ∴平面AD1E的一个法向量为n＝(2，a,2a)， ∵BM∥平面AD1E， ∴⊥n，即·n＝2ah－a＝0， ∴h＝. 即在AA1上存在点M，使得BM∥平面AD1E， 此时＝. (3)连接AB1，B1E，设平面B1AE的法向量为m＝(x′，y′，z′)，＝，＝(0,1,1)， 则 ∴平面B1AE的一个法向量为m＝(2，a，－a)． ∵二面角B1­AE­D1的大小为90°， ∴m⊥n，∴m·n＝4＋a2－2a2＝0， ∵a＞0，∴a＝2，即AD＝2. 例2. D　 练习1. 解：(1)证明：连接OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，O是BD的中点，知CO＝，AO＝1，AO⊥BD. 在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，则AO⊥OC. 又BD∩OC＝O，因此AO⊥平面BCD. (2)如图建立空间直角坐标系O­xyz，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)， ∴|cos〈，〉|＝＝.即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 例3. 解：(1)证明：∵菱形ABCD中∠BAD＝60°，且平面ABCD⊥平面ABE，∴点D在平面ABE内的射影恰好是AB的中点，设为O，连接OD，OE，又△ABE是等腰直角三角形，AE⊥BE，∴OE⊥AB.分别以OE，OB，OD所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz， 易得，OE＝，OD＝，OM＝， ∴E，M，D，B，C， ∴EB＝，BC＝. ∵EN＝2ND，∴N，∴MN＝， ∴MN＝BC－EB，即MN，BC，EB共面， 又MN⊄平面BCE，∴MN∥平面BCE. (2)设平面CDE的法向量为n＝(x，y，z)， 由(1)得ED＝，DC＝(0,3,0)， 则即 令z＝1，则n＝(，0,1)为平面CDE的一个法向量． 设直线BC与平面CDE所成角的大小为θ， 则sin θ＝|cos〈n，BC〉|＝＝＝， ∴直线BC与平面CDE所成角的正弦值为. 练习 1. (1)证明：因为AB＝AC且O是BC的中点， 所以AO⊥BO，AO⊥CO，由折叠知AO⊥B′O，又CO∩B′O＝O， 所以AO⊥平面B′OC. (2)当B′O⊥平面AOC时，三棱锥B′­AOC的体积最大，所以OA，OB′，OC两两垂直，如图建立空间直角坐标系O­xyz， 则A(2,0,0)，B′(0,0,1)，C(0,1,0) 设＝λ＝(－2λ，0，λ)， 则＝＋＝(2－2λ，－1，λ), 又平面B′OA的法向量n＝(0,1,0)， 依题意得，＝， 即＝，化简得，10λ2－16λ＋7＝0, 此方程无解，所以满足条件的点P不存在. 1．B　 2．D　 3．C　 4．－3 5．2 1. ∵二面角A1 ­AB ­C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，∴AA1⊥平面ABC. 又∵AB＝AC，BC＝AB，∴∠CAB＝90°， 即CA⊥AB，∴AB，AC，AA1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系A ­xyz， 设AB＝2，则A(0,0,0)，B1(0,2,2)， A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)． (1) ＝(0,2,0)，＝(0,0，－2)，＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量n＝(x，y，z)， 则即 即取y＝1，则n＝(0,1,0)． ∴＝2n，即∥n.∴A1B1⊥平面AA1C. (2)易知＝(0,2,2)，＝(1,1,0)，＝(2,0，－2)， 设平面A1C1C的一个法向量m＝(x1，y1，z1)， 则即 令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)． ∴·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ∴⊥m.又AB1⊄平面A1C1C， ∴AB1∥平面A1C1C. 2．解：(1)证明：在直三棱柱ADF­BCE中， AB⊥平面BCE，因为BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以AB⊥BE，AB⊥BC. 又AB＝BC＝BE＝2，CE＝2， 所以BC2＋BE2＝CE2，且AC⊥BD， 所以BE⊥BC. 因为AB∩BC＝B，所以BE⊥平面ABCD. 因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC. 又BD∩BE＝B，所以AC⊥平面BDE. (2)法一：设AK交BF于点N，由(1)知，AB，AF，AD两两垂直且长度都为2，所以△BDF是边长为2的正三角形，所以点A在平面BDF内的射影M为△BDF的中心．连接MN，MF，AM，如图所示，则∠ANM为直线AK与平面BDF所成的角φ. 又FM＝××2＝， 所以AM＝＝ ＝. 因为EB＝4EK，所以BK＝， 所以AK＝＝ ＝. 因为＝，所以＝， 即＝，解得AN＝. 在Rt△ANM中，sin φ＝＝＝. 所以直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值为. 3．解：(1)若AB⊥CD，因为AB⊥AD，AD∩CD＝D， 所以AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC. 即AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1. 若AD⊥BC，因为AD⊥AB，AB∩BC＝B， 所以AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC. 即AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，所以a2＝－1，无解． 故AD⊥BC不成立． (2)要使四面体A­BCD的体积最大， 因为△BCD的面积为定值， 所以只需三棱锥A­BCD的高最大即可，此时平面ABD⊥平面BCD，过点A作AO⊥BD于点O，则AO⊥平面BCD， 以O为原点建立空间直角坐标系O­xyz(如图)， 则易知A， C，D， 显然，平面BCD的一个法向量为＝. 设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)． 因为＝，＝， 所以令y＝，得n＝(1，，2)． 故cos 〈，n〉＝＝. 所以二面角A­CD­B的余弦值为. 4． 解：(1)证明：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴建立如图所示的空间直角坐标系C­xyz，则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)． 设S(x，y，z)，显然x＞0，y＞0，z＞0， 则＝(x－2，y－2，z)，＝(x，y－2，z)，＝(x－1，y，z)． 由||＝||，得 ＝ ，解得x＝1. 由||＝1，得y2＋z2＝1.① 由||＝2，得y2＋z2－4y＋1＝0.② 由①②，解得y＝，z＝. ∴S，＝，＝，＝， ∴·＝0，·＝0，∴DS⊥AS，DS⊥BS， 又AS∩BS＝S，∴SD⊥平面SAB. (2)设平面SBC的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则n⊥，n⊥，∴n·＝0，n·＝0. 又＝，＝(0,2,0)， ∴取z1＝2，得n＝(－，0,2)． ∵＝(－2,0,0)， ∴cos〈，n〉＝＝＝. 故AB与平面SBC所成角的正弦值为. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$