第11讲 圆锥曲线-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第11讲 圆锥曲线 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解圆锥曲线的简单应用 2．了解圆锥曲线的统一定义 3．能将直线与圆锥曲线联立解题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ， 则 Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时， 若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2．弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝· ＝ ·|y1－y2| ＝·. 类型一 直线与圆锥曲线的位置关系 例1．在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围． 练习 1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　) A．1　　　　　　　　　　　 　B．1或3 C．0 D．1或0 2．已知双曲线－＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为(　　) A．(1，) B．(1，] C．(，＋∞) D．[，＋∞) 类型二 弦长问题 例2．如图，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)和圆C2：x2＋y2＝b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，且圆C2的面积为π.椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C1的另一个交点分别是点P，M. (1)求椭圆C1的方程； (2)求△EPM面积最大时直线l的方程． 练习1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，离心率为，过右焦点的直线l与椭圆相交于M，N两点，点P的坐标为(4,3)，记直线PM，PN的斜率分别为k1，k2. (1)求椭圆C的方程； (2)当|MN|＝时，求直线l的斜率． 类型三 定点 定值问题 例3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点． 练习1．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆T1，T2都过点M(0，－)，且椭圆T1与T2的离心率均为. (1)求椭圆T1与椭圆T2的标准方程； (2)过点M引两条斜率分别为k，k′的直线分别交T1，T2于点P，Q，当k′＝4k时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 2．如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为. (1)求椭圆E的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值． 类型四 最值 范围问题 例4．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，且|PQ|＝8，线段PQ的中点到y轴的距离为3. (1)求抛物线C的方程； (2)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C上相异的两点，满足x1＋x2＝2，且AB的中垂线交x轴于点M，求△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程． 练习 1．如图，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1. (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围． 2．已知椭圆的焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1，0)，过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3， (1)求椭圆的方程； (2)如图，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)，不经过原点O的直线l：y＝kx＋m(k＞0)与椭圆E相交于不同的两点A，B，直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列． (1)求a，b，k的关系式； (2)若离心率e＝且|AB|＝，当m为何值时，椭圆的焦距取得最小值？ 2．已知抛物线C：x2＝4y，过点P(0，m)(m＞0)的动直线l与C相交于A，B两点，抛物线C在点A和点B处的切线相交于点Q，直线AQ，BQ与x轴分别相交于点E，F. (1)写出抛物线C的焦点坐标和准线方程； (2)求证：点Q在直线y＝－m上； (3)判断是否存在点P，使得四边形PEQF为矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 第11讲 圆锥曲线 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是(　　) A．　　　　　　　 　B．[－，] C． D．(－，) 2．已知不过原点O的直线交抛物线y2＝2px于A，B两点，若OA，AB的斜率分别为kOA＝2，kAB＝6，则OB的斜率为(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 3．倾斜角为的直线经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 4．已知点P是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是(　　) A． B． C．2 D． 5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，AM⊥l，BN⊥l，M，N为垂足，点Q为MN的中点，|QF|＝2，则p＝ . 6．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为 ． 7．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点P(－1,0)作直线l与抛物线C交于A，B两点，若S△ABF＝，且|AF|＜|BF|，则＝ 8．已知椭圆C：＋y2＝1，若一组斜率为的平行直线被椭圆C所截线段的中点均在直线l上，则l的斜率为 ． 9．已知椭圆＋y2＝1(a＞1)． (1)若A(0,1)到焦点的距离为，求椭圆的离心率． (2)Rt△ABC以A(0,1)为直角顶点，边AB，AC与椭圆交于两点B，C.若△ABC面积的最大值为，求a的值． 10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A，B两点，△F1AB的周长为4. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程． 答案 第11讲 圆锥曲线 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1. 解：(1)设点M(x，y)，依题意|MF|＝|x|＋1， ∴＝|x|＋1，化简得y2＝2(|x|＋x)， 故轨迹C的方程为y2＝ (2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)，C2：y＝0(x＜0)． 依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)． 联立消去x， 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.① 当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝. 故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点. 当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，② 设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③ (ⅰ)若由②③解得k＜－1或k＞. 所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点. (ⅱ)若即解集为∅. 综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点． 故实数k的取值范围为(－∞，－1)∪{0}∪. 练习 1．D　 2．C　 例2：解：(1)由题意得：b＝1，则a＝3b， 所以椭圆C1的方程为：＋y2＝1. (2)由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM， 不妨设直线PE的斜率为k(k＞0)，则PE：y＝kx－1， 由得或 所以P，同理得M， 则kPM＝， 由得A，所以kAB＝， 所以S△EPM＝|PE|·|EM|＝＝.设t＝k＋，则S△EPM＝＝≤，当且仅当t＝k＋＝时取等号，所以k－＝±，则直线AB：y＝x＝x， 所以所求直线l方程为：y＝±x. 练习1：解：(1)∵2a＝4，∴a＝2， 又e＝＝，∴c＝1，∴b2＝3. ∴椭圆C的方程为＋＝1. (2)椭圆右焦点(1,0)， 当l斜率不存在时，|MN|＝3，不合题意； 当l斜率k存在时， 设直线l的方程为y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0，Δ＝144(k2＋1)＞0成立， ∴x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|MN|＝· ＝·＝， 解得k＝±1. 故直线l的斜率为±1. 例3： (1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)， 所以＝1，即p＝2. 所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)证明：①当直线AB的斜率不存在时， 设A，B. 因为直线OA，OB的斜率之积为－， 所以·＝－，化简得t2＝32. 所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8. ②当直线AB的斜率存在时， 设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立方程组消去x得ky2－4y＋4b＝0. 由根与系数的关系得yAyB＝， 因为直线OA，OB的斜率之积为－， 所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0. 即·＋2yAyB＝0， 解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k， 所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)． 综合①②可知，直线AB过定点(8,0)． 练习1． (1)设椭圆T1，T2的方程分别为＋＝1(a＞b＞0)，＋＝1(a′＞b′＞0)， 由题意得b＝，e＝＝，又a2＝b2＋c2，解得a＝2. 同理可得a′＝，b′＝1，所以椭圆T1和椭圆T2的方程分别为＋＝1，＋x2＝1. (2)直线MP的方程为y＝kx－， 联立消去y得(2k2＋1)x2－4kx＝0， 则点P的横坐标为， 所以点P的坐标为. 同理可得点Q的坐标为. 又k′＝4k，则点Q的坐标为， 所以kPQ＝＝－， 则直线PQ的方程为y－＝－， 化简得y－＝－x，故直线PQ过定点(0，)． 2． (1)由题意知＝，b＝1， 由a2＝b2＋c2，得a＝， 所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)证明：设直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)， 代入＋y2＝1， 得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0， 由题意知Δ＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以直线AP与AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋ ＝＋ ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k＋(2－k) ＝2k－2(k－1) ＝2. 故直线AP与AQ的斜率之和为定值2. 例4： (1)设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)， 则PQ的中点坐标为. 由题意知＝3，∴xP＋xQ＝6， 又|PQ|＝xP＋xQ＋p＝8，∴p＝2， 故抛物线C的方程为y2＝4x. (2)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意， 所以可设直线AB的方程为y＝kx＋b(k≠0)， 由消去y并整理，得k2x2＋(2kb－4)x＋b2＝0， Δ＝16(1－kb)＞0， ∴由x1＋x2＝＝2，得b＝－k， ∴直线AB的方程为y＝k(x－1)＋. ∵AB中点的横坐标为1，∴AB中点的坐标为. 可知AB的中垂线的方程为y＝－x＋， ∴M点的坐标为(3,0)． ∵直线AB的方程为k2x－ky＋2－k2＝0， ∴M到直线AB的距离d＝＝. 由得y2－ky＋2－k2＝0， Δ＝k2(k2－1)＞0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝， ∴|AB|＝ |y1－y2|＝. 设△AMB的面积为S， 则S＝|AB|·d＝4 ， 设 ＝t，则0＜t＜1， ∴S＝4t(2－t2)＝－4t3＋8t，S′＝－12t2＋8， 由S′＝0，得t＝(负值舍去)， 即当k＝±时，Smax＝， 此时直线AB的方程为3x±y－1＝0. 练习1． (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离， 由抛物线的定义得＝1，即p＝2. (2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1,0)， 可设A(t2,2t)，t≠0，t≠±1. 因为AF不垂直于y轴，所以可设直线AF的方程为x＝sy＋1(s≠0)，由消去x得y2－4sy－4＝0. 故y1y2＝－4，所以B. 又直线AB的斜率为， 故直线FN的斜率为－， 从而得直线FN的方程为y＝－(x－1)． 又直线BN的方程为y＝－， 所以N. 设M(m,0)，由A，M，N三点共线得＝， 于是m＝＝，得m＜0或m＞2. 经检验，m＜0或m＞2满足题意． 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 2．解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由焦点坐标可得c＝1， 由|PQ|＝3，可得＝3， 解得a＝2，b＝，故椭圆的方程为＋＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，△F1MN的内切圆的半径为R， 则△F1MN的周长为4a＝8，S△F1MN＝(|MN|＋|F1M|＋|F1N|)R＝4R， 因此S△F1MN最大，R就最大，S△F1MN＝|F1F2|(y1－y2)＝y1－y2. 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1， 由得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0， 解得y1＝，y2＝， 则S△F1MN＝y1－y2＝. 令t＝，则t≥1, 所以S△F1MN＝＝， 令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－， 当t≥1时， f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤ ＝3， 即当t＝1，m＝0时，取等号， 又S△F1MN＝4R， 所以Rmax＝，故所求内切圆面积的最大值为π. 所以直线l的方程为x＝1时，△F1MN的内切圆面积取得最大值π. 1． (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得k2＝kOA·kOB＝. 联立消去y，整理得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0， 故Δ＝(2a2km)2－4(b2＋a2k2)(a2m2－a2b2)＞0， 即b2－m2＋a2k2＞0， 且x1＋x2＝－，x1·x2＝， 所以k2＝＝， 即km(x1＋x2)＋m2＝0，－＋m2＝0. 又直线不经过原点， 所以m≠0，所以b2＝a2k2，即b＝ak. (2)因为e＝，则a＝2c，b＝c，k＝， 所以x1＋x2＝－＝－，x1·x2＝＝m2－2c2， 所以|AB|＝|x1－x2|＝＝· ＝·＝， 化简得2c2＝＋＋2≥＋2(Δ＞0恒成立), 当且仅当＝，即m＝±时，焦距最小． 综上，当m＝±时，椭圆的焦距取得最小值． 2．(1)焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1. (2)由题意知直线l的斜率存在， 故设l的方程为y＝kx＋m. 由方程组得x2－4kx－4m＝0， 由题意，得Δ＝16k2＋16m＞0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 所以抛物线在点A处的切线方程为y－x＝x1(x－x1)， 化简，得y＝x1x－x，① 同理，抛物线在点B处的切线方程为y＝x2x－x.② 联立方程①②，得x1x－x＝x2x－x， 即(x1－x2)x＝(x1－x2)(x1＋x2)，因为x1≠x2，所以x＝(x1＋x2), 代入①，得y＝x1x2＝－m，所以点Q，即Q(2k，－m)． 所以点Q在直线y＝－m上. (3)假设存在点P，使得四边形PEQF为矩形， 由四边形PEQF为矩形，得EQ⊥FQ，即AQ⊥BQ， 所以kAQ·kBQ＝－1，即x1·x2＝－1. 由(2)得x1x2＝(－4m)＝－1， 解得m＝1.所以P(0,1)． 以下只要验证此时的四边形PEQF为平行四边形即可． 在①中，令y＝0，得E. 同理得F. 所以直线EP的斜率为kEP＝＝， 直线FQ的斜率kFQ＝＝， 所以kEP＝kFQ，即EP∥FQ. 同理PF∥EQ. 所以四边形PEQF为平行四边形． 综上所述，存在点P(0,1)，使得四边形PEQF为矩形． 1．A　 2．D　 3．B　 4．D　 5． 6．0或－8 7． 8．－2 9．解：(1)由题可得a＝，所以c＝，所以e＝＝. (2)不妨设AB斜率k＞0， 则AB：y＝kx＋1, AC：y＝－x＋1， 由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0， 解得xB＝－，同理xC＝， S＝|AB||AC|＝2a4· ＝2a4·＝2a4·， 设t＝k＋，则t≥2， S＝2a4·＝≤，当且仅当t＝≥2，即a≥1＋时取等号， 由＝，解得a＝3，a＝(舍)， 若a＜1＋，显然无解．∴a＝3. 10．解：(1)∵椭圆的离心率为，∴＝，∴a＝c， 又△F1AB的周长为4，∴4a＝4， 解得a＝，∴c＝1，b＝， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， ∵当直线l的斜率不存在时，这样的直线不满足题意， ∴设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)， 将直线l的方程代入椭圆方程， 整理得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0， ∴x1＋x2＝， 故y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝－2k＝. ∵四边形OAPB为平行四边形，∴OP＝OA＋OB， 从而x0＝x1＋x2＝，y0＝y1＋y2＝， 又P(x0，y0)在椭圆上，∴＋＝1， 化简得3k4－4k2－4＝0，解得k＝±， 故所求直线l的方程为y＝±(x－1)． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$