第10讲 抛物线-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第10讲 抛物线 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解抛物线的标准方程 2．了解抛物线的几何意义 3．直线联立抛物线解决综合问题 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝﹣2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝﹣2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝﹣ x＝ y＝﹣ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P(x0，y0)) |PF|＝x0＋ |PF|＝﹣x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝﹣y0＋ 3．求抛物线方程的3个注意点 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 4．解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式 类型一 抛物线定义及应用 例1．设抛物线C：y＝x2的焦点为F，直线l交抛物线C于A，B两点，|AF|＝3，线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为4，则|BF|＝(　　) A．　　　　　　　　　 　B．5 C．4 D．3 例2．已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 练习 1．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　) A． B． C． D． 2．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．　　　　　　　　　 　B．2 C． D．3 类型二 抛物线的标准方程与几何性质 角度一：求抛物线方程 例3．已知直线l过抛物线y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是(　　) A．y2＝－12x　　　　　　　 　B．y2＝－8x C．y2＝－6x D．y2＝－4x 角度二：抛物线的对称性 例4．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　　) A．1 B． C．2 D．3 练习 1．已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线准线交于M，且FM＝3FP，则|FP|＝(　　) A． B． C． D． 类型二 直线与抛物线的位置关系 例5．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P为C1上一点，|PF|＝4，点P到y轴的距离等于3. (1)求抛物线C1的标准方程； (2)设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线y＝x上，P(0,2)为定点，求△PAB面积的最大值． 练习 1．如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点． (1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程； (2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程． 1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝4x　　　　　　　 　B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 2．在抛物线y2＝2px(p＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为(　　) A． B．1 C．2 D．3 3．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　　) A． B． C． D． 4．已知抛物线C：y2＝2x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则S△MFN＝(　　) A．8 B．2 C．4 D．8 5．已知点P在抛物线y2＝4x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为 ． 第10讲 抛物线 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．动圆过点(0,1)，且与直线y＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为(　　) A．y＝0 B．x2＋y2＝1 C．x2＝4y D．y2＝4x 2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝(x－1)与抛物线C交于A，B两点(A在x轴上方)．若AF＝mFB，则m的值为(　　) A． B． C．2 D．3 3．已知抛物线x2＝4y，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若直线l的倾斜角为30°，则的值等于(　　) A．3 B． C．2 D． 4．已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是，则|PA|＋|PM|的最小值是(　　) A．8 B． C．10 D． 5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则OM·MF＝(　　) A．－ B． C． D．－ 6．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，若点M在抛物线上，|MF|＝4，O为坐标原点，则∠MFO＝ . 7．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为 ． 8．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C点，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝ . 9．如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D. (1)设A(x0，x)(x0≠0)，求直线AB的方程； (2)求的值． 答案 第10讲 抛物线 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．B　 例2．B　 练习 1．A　 2．B　　　　 　 例3．B　 例4．B　 练习 1．D　 2．C　 例5： (1)由题意，＋3＝4，∴p＝2， 所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x. (2)设直线AB：x＝ty＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立方程 消元化简得y2－4ty－4b＝0， Δ＝16t2＋16b＞0. 且y1＋y2＝4t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2b＝4t2＋2b， 所以D(2t2＋b,2t)，2t2＋b＝2t. 由Δ＞0得0＜t＜2. 所以点P到直线AB的距离d＝＝， 所以|AB|＝＝4， 所以S△ABP＝|AB|d＝×4＝2·|2t2－4t|. 令m＝， 则m∈(0,1]，且S△ABP＝4m3. 由函数单调性可知，(S△ABP)max＝4. 练习1：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)． 因为线段AB的中点在直线y＝2上， 所以直线l的斜率存在， 设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，由得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， 所以2y0k＝4. 又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1. (2)设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消去x，得y2－4my－4＝0， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16(m2＋1)＞0. |AB|＝|y1－y2| ＝· ＝· ＝4(m2＋1)． 所以4(m2＋1)＝20，解得m＝±2， 所以直线l的方程是x＝±2y＋1，即x±2y－1＝0. 1．D　 2．C　 3．B　 4．B　 5．2 1．C　 2．D　 3．A　 4．B　 5 . A　 6． 7．. 8． 9．解：(1)因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′|x＝x0＝2x0， 所以直线AB的方程为y－x＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x－x. (2)由(1)得，点B的纵坐标yB＝－x， 所以AB的中点坐标为. 设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋. 由得m2y2＋(mx0－1)y＋＝0. 因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2. 由根与系数的关系， 得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝. 所以y＝＝， 解得mx0＝－3±2. 所以点D的纵坐标yD＝－＝， 故＝＝4±6. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$