第08讲 椭圆（二）-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第08讲 椭圆（二） 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．直线与椭圆联立求综合问题 2．弦长公式 直线与椭圆的位置关系： 直线y＝kx＋m与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的位置关系判断方法：联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ＜0 弦长公式： 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）或 ＋ ＝1（a＞b＞0），直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝， ∴AB＝＝＝， 或AB＝＝ ＝ 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得． 类型一 直线与椭圆位置关系 例1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，直线y＝1与C的两个交点间的距离为. (1)求椭圆C的方程； (2)分别过F1，F2作l1，l2满足l1∥l2，设l1，l2与C的上半部分分别交于A，B两点，求四边形ABF2F1面积的最大值． 练习1．椭圆C1 ：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点与抛物线C2 ：y2＝2px(p＞0)的焦点重合， 曲线C1与C2相交于点. (1)求椭圆C1的方程； (2)过右焦点F2的直线l(与x轴不重合)与椭圆C1交于A，C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交椭圆C1于B点(O为坐标原点)，求四边形OABC的面积S的最小值． 2．在椭圆＋＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离． 3．（AB）已知椭圆x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点P，使P到直线l：x－y＋4＝0的距离最短，并求出最短距离． 类型二 直线与椭圆的相交弦问题 例2．已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程． 练习 1．在椭圆x2＋4y2＝16中，求通过点M(2,1)且被这一点平分的弦所在的直线方程． 类型三 椭圆中的最值问题 例3．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m. (1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程． 练习1．如图，点A是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的短轴位于y轴下方的端点，过点A且斜率为1的直线交椭圆于点B，若P在y轴上，且BP∥x轴，·＝9. (1)若点P的坐标为(0,1)，求椭圆C的标准方程； (2)若点P的坐标为(0，t)，求t的取值范围． 第08讲 椭圆（二） 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(﹣10,0)，则焦点坐标为 ． 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ． 3．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次为 ． 4．椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1－y2|的值为 ． 5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ． 6．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1700km，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200km，月球的半径约是1800 km，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是 ． 7．若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于－，试求椭圆的离心率及其方程． 8．如图，F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆C的离心率； (2)已知△AF1B的面积为40，求a，b的值． 答案 第08讲 椭圆 (二) 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1． (1)易知椭圆过点，所以＋＝1，① 又＝，② a2＝b2＋c2，③ 由①②③得a2＝4，b2＝3， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)， 设直线l1：x＝my－1，它与椭圆C的另一个交点为D. 与椭圆C的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， 则Δ＝144(m2＋1)＞0， |AD|＝·， 又F2到l1的距离为d＝， 所以S△ADF2＝×|AD|×d＝. 令t＝≥1，则S△ADF2＝， 因为y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t＝1时，S△ADF2取得最大值3. 又S四边形ABF2F1＝·d ＝(|AF1|＋|DF1|)·d＝|AB|·d＝S△ADF2， 所以四边形ABF2F1面积的最大值为3. 练习1． (1)∵点在y2＝2px上， ∴＝2×p×，解得p＝2， ∴椭圆C1的右焦点为(1,0)， ∴解得 ∴椭圆C1的方程为＋＝1. (2)设直线AC的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，C(x2，y2)，G(x0，y0)， 联立消去x， 整理得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝. 由弦长公式可得|AC|＝·|y1－y2| ＝ ＝· ＝. 由中点坐标公式可知，y0＝－， x0＝my0＋1＝ ∴G. ∴直线OG的方程为y＝－x，代入＋＝1，整理得x2＝，∴B， 故B到直线AC的距离d1＝＝， O到直线AC的距离d2＝， ∴S＝·|AC|·(d1＋d2)＝··＝6× ＝6≥3，当且仅当m＝0时取得最小值． 综上所述，四边形OABC的面积S的最小值是3. 2. 设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝x＋m， 代入＋＝1， 并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0， Δ＝9m2－16(m2－7)＝0 ⇒m2＝16⇒m＝±4， 故两切线方程为y＝x＋4和y＝x－4， 显然y＝x－4距l最近， d＝＝＝， 切点为P. 3.设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0， 联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0， Δ＝4a2－36(a2－8)＝0，解得a＝3或a＝－3， ∴与直线l距离较近的切线方程为x－y＋3＝0， 最小距离为d＝＝. 例2.由得即P(－，)． 由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)， 而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有 (4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0. 所以x1＋x2＝＝8，所以k＝－. 所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0. 例2.x+2y-8=0 练习 1.直线方程为x＋2y－4＝0. 例3. 解　(1)－≤m≤. (2) . 练习1. 解　∵直线AB的斜率为1，∴∠BAP＝45°， 即△BAP是等腰直角三角形，||＝||. ∵·＝9， ∴||||cos 45°＝||2cos 45°＝9， ∴||＝3. (1)椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)所求t的取值范围是0<t<. 1. (0，±) 2. 　 3. 　10,6， 4. 　 5. 　0<e< 6. 7. ＋＝1. 8. (1)由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a＝2c， 所以e＝ . (2) a2＝4c2，b2＝3c2，直线AB的方程为y＝－(x－c)， 将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B， 所以|AB|＝·＝c. 由S△AF1B＝|AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝a2＝40， 解得a＝10，b＝5. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$