第07讲 椭圆（一）-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第07讲 椭圆 (一) 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．了解椭圆的定义、掌握椭圆的标准方程 2．掌握椭圆的定义及其应用 3．掌握求椭圆离心率的值或范围的技巧 1．椭圆的定义 平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数． (1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段； (3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0） 范围 ﹣a≤x≤a，﹣b≤y≤b ﹣b≤x≤b，﹣a≤y≤a 顶点 A1(﹣a，0)，A2(a，0)， B1(0，﹣b)，B2(0，b) A1(0，﹣a)，A2(0，a)， B1(﹣b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 F1F2＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 2．离心率的作用： 当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆． 点与椭圆的位置关系： 点P(x0，y0)与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋＜1； 点P在椭圆外部⇔＋＞1． 3．椭圆定义的应用技巧 求方程 通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程 求焦点 三角形 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧 求最值 抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值 类型一 椭圆的标准方程 例1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　　) A．＋y2＝1　　　　　　　 　B．＋＝1 C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 例2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为 ． 类型二 椭圆的定义及其应用 例3．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　) A．9,12　　　　　　　　 　B．8,11 C．8,12 D．10,12 例4．F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　) A．7 B． C． D． 练习 1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A．＋＝1 B．＋y2＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 2．已知F1(－1,0)，F2(1,0)，且△PF1F2的周长为6，则动点P的轨迹C的方程为 ． 类型三 椭圆的几何性质 角度一：求离心率的值或范围 例5．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　) A．1－　　　　　　　　 　B．2－ C． D．－1 角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围 例6．椭圆＋＝1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则m的最大值为 ． 练习 1．已知椭圆＋＝1(a＞0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 3．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是 ． 1．“2＜m＜6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　) A．充分不必要条件　　　 　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF1内切圆的半径为(　　) A. B．1 C. D. 4．已知椭圆C：＋＝1，则该椭圆的长轴长为 ；焦点坐标为 ． 5．已知椭圆＋＝1(m＞0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝ ；离心率为 ． 第07讲 椭圆 (一) 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与直线x＝b在第一象限交于点P，若直线OP的倾斜角为30°，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 2．椭圆ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　) A. B. C. D. 3．设点P为椭圆C：＋＝1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，如果|PF1|∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面积为(　　) A．24 B．12 C．8 D．6 4．设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞) 5.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－2，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6．以圆x2＋y2＝4与x轴的交点为焦点，以抛物线y2＝10x的焦点为一个顶点且中心在原点的椭圆的离心率是(　　) A. B. C. D. 7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4的等边三角形，则椭圆C的方程为 ． 8．已知△ABC的顶点A(－3,0)和顶点B(3,0)，顶点C在椭圆＋＝1上，则＝ . 9．已知直线l：y＝2x－2与椭圆Ω：＋＝1(m≠0)交于A，B两点． (1)求Ω的离心率； (2)若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点，求Ω的方程及圆C的标准方程． 10．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|＝. (1)求椭圆的方程． (2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值． 答案 第07讲 椭圆 (一) 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．C 例2．＋＝1 例3．C　 例4．C　 练习 1．A　 2．＋＝1(y≠0) 例5．D　 例6．25 练习 1．B　 2．B　 3． 1．B　 2．C 3．D　 4．8　(0，－)和(0，) 5．3　 1．B　 2．B　 3．C　 4． A　 5.B　 6．C　 7．＋＝1 8．3 9．(1)e＝ ＝ ＝ ＝. (2)由得17x2－32x＋16－4m2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝322－68(16－4m2)＞0， x1＋x2＝，x1x2＝. 由已知得OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋4(x1－1)(x2－1)＝5x1x2－4(x1＋x2)＋4＝0， 即5×－4×＋4＝0， 解得m2＝1，且满足Δ＝322－68(16－4m2)＞0， 故Ω的方程为＋y2＝1. 设圆C的圆心坐标为(x0，y0)， 则x0＝＝，y0＝2(x0－1)＝－. 由x1x2＝＝， 得|AB|＝·＝. 故圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝2， 即2＋2＝. 10．解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 又|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2. 所以椭圆的方程为＋＝1. (2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)， 由题意知，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(－x1，－y1)． 因为△BPM的面积是△BPQ面积的2倍， 所以|PM|＝2|PQ|， 所以x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1. 易知直线AB的方程为2x＋3y＝6， 由方程组消去y，可得x2＝. 由方程组消去y，可得x1＝ . 由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)， 两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0， 解得k＝－或k＝－. 当k＝－时，x2＝－9＜0，不合题意，舍去； 当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意． 所以k的值为－. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$