第04讲 一般数列求和及应用-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第04讲 一般数列的求和及其应用 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法. 1．求数列的前n项和的方法 (1) 公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式 Sn＝ (2) 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 I．分式裂项： ① ＝(－)；特别地当k＝1时， ＝－； ② ＝[－]； ③ ＝1＋(－)； ④ ＝(－)； ⑤ an＝·＝·＝－，Sn＝1－ II．整式裂项： n(n＋1)＝[ n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)] III．无理式裂项： ＝(－)；特别地当k＝1时，＝－. IV．三角函数裂项 ＝tan(n＋1)°－tan n° V．函数式裂项 an＝f (n＋1)－f (n) (3) 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (4) 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (5) 倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (6) 并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(﹣1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 2．解决数列与不等式问题常见放缩技巧 (1) 对的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况： ＜＝－(n≥2)； ＜＝(n≥2)； ＜＝2(n≥1)． (2) 对的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况： ＞＝－； ＜＝－(n≥1)． 类型一 公式法 例1.已知{an}为等差数列，且a3＝﹣6，a6＝0. (1)求{an}的通项公式； (2)若等比数列{bn}满足b1＝﹣8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式． 类型二 裂项相消法 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 角度一：形如an＝型 例2．已知数列{an}是等差数列，a1＋a2＋a3＝6，a5＝5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn. 角度二：形如an＝ 型 例3．已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则 S2017＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．－1 C．－1 D．＋1 角度三：形如an＝型 例4．正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜. 练习 1．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1) 求an及Sn； (2) 令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝，若a1＝，a2＝. (1) 求数列{an}的前n项和Sn； (2) 求数列{an}的通项公式an； (3) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 类型三 分组求和法 分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减． 分组求和常见的主要有两类： (1) cn＝an＋bn，其中{an}、{bn}分别为等差、等比或其它可求和数列 (2) 数列{an}是一个不规则数列，但其奇偶项可分别求和，那么也可以将{an}看成是两个数列的和数列 例5．求数列的前n项和：1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，… 例6．已知数列{an}，{bn}都是等比数列，a1＝1，b1＝2，q1＝3，q2＝2 ，则{an＋bn}的前n项的和为 ． 例7．已知数列{an}的通项an＝，求其前n项和Sn 练习： 1．求数列1，3＋4，5＋6＋7，7＋8＋9＋10，…前n项和Sn 2．求和Sn＝(2－3×5-1)＋(4－3×5-2)＋(6－3×5-3)＋…＋(2n－3×5-n) 3．求和Sn＝1＋＋＋…＋. 4．已知数列{an}满足an＝，求的值. 类型四 错位相减法 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的（即cn＝an·bn其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列），那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的。 注意：当其中的等比数列公比未知时，且要用到等比数列求和公式时，一定要考虑公比可能为1的情况。 例8．已知数列1，3a，5a2，…， (2n－1)an-1 (a≠0)，求前n项和。 练习 1．设数列{an}满足a1＝2， 3·22n-1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝n·an，求数列{bn}的前n项和Sn. 2．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝，n∈N*. (1) 求数列{an}的通项； (2) 设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 类型五 倒序相加法 倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。 倒序相加求和法用的相对较少一般用于以下两种情形： (1) 等差数列求和（主要是推导，求和常用公式法直接求和），即an＝An＋B中，求Sn (2) 特殊的三角函数中正弦（余弦）的平方和数列，即an＝sin2n°或cos2n°中，求S89、S180等 例9．试推导等差数列的求和公式Sn＝ 例10．求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°的值 练习 1．cos21°＋cos22°＋cos23°＋…＋cos288°＋cos289°＝ 2．求cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos178°＋cos179°的值. 3．在各项均为正数的等比数列中，若a5·a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. 4．若函数f ( x )对任意x∈R都有f ( x )＋f (1－ x )＝2； (1) an＝f ( 0 )＋f ( )＋f ( )＋…＋f ( )＋f ( 1 )，数列{an}是等差数列吗？是证明你的结论； (2) 求数列{}的的前n项和Tn. 类型六 并项求和法 并项求和法：一个数列的前n项和中，可若干项结合求解，则称之为并项求和．针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 并项求和法主要有两种形式： (1) 若干项并在一起可形成一个可直接求和的数列 (2) 周期数列 例11．Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 例12．若数列{an}的通项公式an＝n·cos+1，前n项和为Sn，则S2020＝ . 练习 1． 设u(n)表示正整数n的个位数，an＝u(n2)－u(n)，则数列{an}的前2020项和等于 ． 2．已知数列{an}，an＝n2 sin，则数列{an}的前100项和为（ ） A．5000 B．﹣5000 C．5050 D．﹣5050 3．已知数列{an}满足an+1＋(﹣1) n an＝2n－1，则{an}前48项之和为 . 类型七 拆项求和法 例13．求数列9，99，999，… 的前n项和Sn 练习 1．求和： 类型八 数列与不等式的综合问题 例14．设an＝1＋＋＋＋…＋，求证an＜2. 例15．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋(n＝1,2,3, …),证明an＞对一切正整数n成立 练习 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，n∈N*.记Sn，Tn分别是数列{an}和{a}的前n项和，证明： (1) an＋1＜an； (2) Tn＝－2n－1； (3) －1＜Sn＜. 1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A．2　　　　　　　　　 　 B．3 C．4 D．5 2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则该数列的前10项和为(　　) A．2146 B．1122 C．2148 D．1124 3．数列{an}的通项公式是an＝(﹣1)n(2n－1)，则该数列的前100项之和为(　　) A．﹣200 B．﹣100 C．200 D．100 4．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和Sn＝(　　) A． B． C． D． 5．已知等差数列{an}满足a3＝7，a5＋a7＝26，bn＝(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，则S100的值为 ． 第04讲 一般数列的求和及其应用 适用学科 数学 适用年级 高二 完成情况 完成评分 1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A．或5 B．或5 C． D． 2．已知数列{an}中，若an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则称数列{an}为“凸数列”．已知数列{bn}为“凸数列”，且b1＝1，b2＝﹣2，则数列{bn}的前2 019项和为(　　) A．5 B．﹣4 C．0 D．﹣2 3．已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．16 4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2sin，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(　　) A． B． C． D． 5．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，数列{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　) A．2 B．2n C．2n+1－2 D．2n-1－2 6．设数列{an}满足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，则a1a2＋a2a3＋…＋a100a101的值为 ． 7．已知数列：1，2，3，…，，…，则其前n项和关于n的表达式为 ． 8．已知正项数列{an}满足a－6a＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和Sn＝ . 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13. (1)求an及Sn； (2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 10．数列{an}中，a1＝，an＋1＝，n∈N*. (1)求证：an＋1＜an； (2)记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1. 答案 第04讲 一般数列的求和及其应用 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．略 例2． (1)设等差数列{an}的公差为d. ∵a1＋a2＋a3＝6，a5＝5， ∴ 解得a1＝1，d＝1. ∴an＝n. (2)∵bn＝＝＝－， ∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝， 即数列{bn}的前n项和Sn＝. 例3．C　 例4．(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 综上，数列{an}的通项公式为an＝2n. (2)证明：由于an＝2n， 故bn＝＝＝. Tn＝＝＜＝. 练习 1．略 2．(1)由a1＝，a2＝，可得 解得所以Sn＝. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝. 因为n＝1时，S1＝a1＝成立． 所以an＝. (3)由(2)知bn＝＝＝－. 所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＋－＝1－＝ 例5．设 将其每一项拆开再重新组合得 当a＝1时，＝ 当时，＝ 例6．Sn+Tn= 例7． ， 当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ∴， 所以，． 练习题： 1． 2． 3．∴Sn＝2 4. 例8． 练习 1．略 2. (1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，① ∴当n≥2时， a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，② ①－②得3n－1an＝，∴an＝. 在①中，令n＝1，得a1＝，适合an＝，∴an＝. (2)∵bn＝，∴bn＝n·3n. ∴Sn＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③ ∴3Sn＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④ －③得2Sn＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)， 即2Sn＝n·3n＋1－，∴Sn＝＋. 例9． 例10． S＝44.5 练习题： 1．S＝44.5 2．设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵ ∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0 3．设 由等比数列的性质 和对数的运算性质 得 ＝ ＝ ＝10 4.（1）．（倒序相加） 则，由条件：对任意都有。 从而：数列是的等差数列。 （2） = =，故：= 例11．Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 例12．3030 练习 1．2. 2．B 3．1176. 例13．略 练习1略 例14．略 例15．略 练习 证明：(1)由a1＝1及an＋1＝知an＞0， 所以an＋1－an＝－an＝＜0， 即an＋1＜an. (2)由an＋1＝，得＝＝＋an， 两边平方可得＝＋a＋2，所以－－2＝a. 所以Tn＝a＋a＋…＋a＝＋＋…＋＝－2n－1. (3)由(2)知－＝an， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝－. 因为＝a＋a＋…＋a＋1＋2n≥2n＋2， 所以≥， 所以Sn＝－≥－1＞－1. 又≥，所以≥(n≥2)， 所以当n≥2时，an≤＝＜＝(－)， 累加可得Sn＜a1＋[(－1)＋(－)＋…＋(－)]＝1＋(－1)＜. 当n＝1时，Sn＜成立． 综上，－1＜Sn＜. 1．B　 2．A　 3．D　 4．B　 5． 1．C　 2．B　 3．C　 4．B　 5．C　 6． 7．：－＋1 8．3n－1 9．(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26， 所以 解得a1＝3，d＝2. 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， Sn＝＝n2＋2n. (2)因为an＝2n＋1， 所以bn＝＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝. 10．(1)因为a－an＋1＝2＋＞0，且a1＝＞0，所以an＞0.所以an＋1－an＝－an＝＜0，所以an＋1＜an. (2)因为an＋1＝，所以an＝＝＜＝＝－＝－an－1＋＝－an－1－an－2＋＝…＝－an－1－an－2－…－a1＋＝1－an－1－an－2－…－a1.所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＜1. 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$