第02讲 等比数列及求和-高二数学上学期知识点讲解及课后练习(江苏专用)

第02讲 等比数列及其应用 适用学科 数学 适用年级 高二 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．掌握等比数列的概念及证明 2．掌握等比数列求通项公式及性质an＝a1·qn-1 3．掌握等比数列前n项和Sn的公式及性质 4．掌握等差与等比数列综合应用 1．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式： (1)首项为a1，公比为q，an＝a1·qn-1 (2)推广形式：an＝am·qn-m或am＝an·qm-n． 3．等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G2＝ab． 4．一般地，如果m，n，k，l为正整数，且m＋n＝k＋l，则有ak·al＝am·an，特别地，当m＋n＝2k时，am·an＝ak2． 5．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 6．如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列{ }，{ an·bn }，{}，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|． 7．等比数列前n项和公式： (1)公式：Sn ＝＝ (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况． 8．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(1－qn)．其中A＝． 9．推导等比数列前n项和的方法叫错位消项法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和． 10．等比数列前n项和的性质： (1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠﹣1或m为奇数) (2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)． (3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q． 11．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型． 12．等比数列的判定方法 (1)定义法：＝q（q是不为0的常数，n∈N*）{an}是等比数列。 (2)通项公式法：an＝c·qn（c，q是不为0的常数，n∈N*）{an}是等比数列。 (3)中项公式法：an2＝an-1·an+1 （an-1，an ，an+1 ≠0，n∈N*）{an}是等比数列。 (4)前n项和公式法：Sn＝qn－＝k·qn－k（k ＝是不为零的常数，且q≠0，q≠1）{an}是等比数列。 13．等比数列的有关问题的常用思想方法 (1)方程的思想；(2)数形结合的思想；(3)分类思想； (4)注意设元技巧，减少运算量； 类型一 等比数列的基本量计算 例1．已知等比数列{an}中a4＝27，q＝﹣3，则a1＝（　　） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 例2．已知数列{an}为等比数列，且a2·a3·a4＝﹣a72＝﹣64，则（　　） A． B． C． D． 例3．设实数x，m，y成等差数列（m≠0），实数x，y，z成等比数列，非零实数n是y与z的等差中项． 求证：2 练习 1．设等比数列{an}满足a1＋a2＝﹣1，a1－a3＝﹣3，则a4＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 2．数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝（　　） A．8 B．±8 C．﹣8 D．10 3．在等比数列{an}中，a1＋a3＝9（a2＋a4），则公比q＝　 　． 4．已知等差数列{an}满足：a1＋a2＝10，a5－a3＝4 （1）求数列{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足：b2＝a3，b3＝a7，问b4是数列{an}的第多少项？ 类型二 等比数列的前n项和 例4．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a等于（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 例5．设等比数列{an}的公比q＝2，前6项和为9，则a1＝（　　） A． B． C． D． 例6．已知{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝10，a12＋a22＋a32＋a42＋a52＝60，则a2＋a4＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 例7．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a12＝16·a16，则的值为（　　） A． B．9 C．9或﹣7 D． 例8．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然状况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1＋确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确诊病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根据以上RO据计算，若甲得这种传染病，则 5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（　　） A．81 B．243 C．248 D．1092 例9．已知各项为正数的等比数列{an}中，a1＝1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则 S4＝　 　． 练习 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，a2＝2，则S3＝（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 2．已知数列{an}为各项为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若a1·a7＝4，且a4＋2a7，则S5＝（　　） A．32 B．31 C．30 D．29 3．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且7S2＝4S4，则公比q的值为（　　） A．1 B． C． D． 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S3．S9．S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为　 　． 5．设Sn为正项等比数列 {an}的前n项和，若S2＝4，S4＝20，则an＝　 　． 6．已知所有项均为正数的等比数列{an}的前项和为Sn，若a1＝1，S4＝a4＋21，则公比q＝　 　． 7．已知等比数列{an}的前n项和为Sn．若S3＝7，S6＝63．则S9＝　 　． 8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2·a4＝1，S3＝7，则S5＝　 　． 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a42＝a6，则S5＝　 　． 10．设Rn是等比数列{an}的前n项的积，若25（a1＋a3）＝1，a5＝27·a2，则当Rn取最小值时，n＝　 　． 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列 （1）求{an}的公比q； （2）a1－a3＝3，求Sn． 类型三 等比数列的性质 例10．﹣1和﹣4的等比中项为　 　． 例11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝4，S10＝10，则S15＝（　　） A．16 B．19 C．20 D．25 例12．已知正项等比数列{an}，满足a2·a72·a2020＝16，则a1·a2…·a1017＝（　　） A．41017 B．21017 C．41018 D．21018 例13．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　） A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 例14．等比数列{an}的各项均为正数，且a5·a6＋a4·a7＝18，则log3a1＋log3a2+…＋log3a10＝（　　） A．12 B．8 C．10 D．2+log35 例15．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝81，a2＋a3＝8． （1）求{an}的通项公式； （2）若S3，a14，Sm成等比数列，求S2m． 练习 1．已知等比数列{an}的各项均为正数，若log3a1＋log3a2＋…＋log3a12＝12，则a6a7＝（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝30，则S20＝（　　） A．20 B．10 C．20或﹣10 D．﹣20或10 3．已知等比数列{an}的首项为1，且a6＋a4＝2（a3＋a1），则a1·a2·a3·…·a7＝（　　） A．16 B．64 C．128 D．256 4．已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，S2＝3a2，则（　　） A． B． C．2 D．4 5．两个公比均不为1的等比数列{an}，{bn}，其分前n项的乘积分别为An，Bn，若，则（　　） A．512 B．32 C．8 D．2 6．已知等比数列{an}中，a3＝2，a4·a6＝16，则（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 7．已知数列{an}是公比为q（q≥2）的正项等比数列，bn＝（q－1）2an，对于任意的n∈N*，都存在m∈N*，使得bn＝am，则q的值为　 　． 8．已知在正项等比数列{an}中，存在两项am，an满足且a6＝2a5＋3a4，则的最小值是　 　． 9．各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝1，a2＋a3＝6，则　 　． 10．设等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），若3，则　 　． 类型四 等比数列的判定 例16．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1 (n≥2)，且an＋Sn＝n． （1）设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列； （2）求数列{bn}的通项公式． 练习 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1+，S3＝9+3； （1）求数列{an}的通项an与前n项和Sn； （2）设bn＝，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列。 2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1＝4an＋2． （1）设bn＝an+1－2an，证明：数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式． 第02讲 等比数列及其应用 适用学科 高二 适用年级 数学 完成情况 完成评分 1．已知x，y，z∈R，若﹣1，x，y，z，﹣3成等比数列，则xyz的值为(　　) A．﹣3　　　　　　　　　 　 B．±3 C．﹣3 D．±3 2．已知等比数列的前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项和为(　　) A．66 B．64 C．66 D．60 3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11的值为(　　) A．10 B．25 C．50 D．75 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n，均有Sn＋3＝8Sn＋3，则a1＝　 　，公比q＝　 　． 5．数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋n，则a1＝　 　，数列{an}的通项公式an＝　 　． 答案 第02讲 等比数列及其应用 适用区域 江苏 适用年级 高二 例1．B． 例2．B． 例3．证明：2m＝x+y，2n＝y+z，y2＝xz， 要证：2， 只要证：nx+mz＝2mn， 即证：2nx+2mz＝4mn， 又2nx+2mz＝（y+z）x+（x+y）z＝xy+2xz+yz， 4mn＝2m•2n＝（x+y）（y+z）＝xy+xz+y2+yz＝xy+2xz+yz， 2nx+2mz＝4mn， 练习 1．B． 2．A． 3．． 4．（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a2＝10，a5﹣a3＝4． ∴2a1+d＝10，2d＝4， 联立解得a1＝4，d＝2， an＝4+2（n﹣1）＝2n+2． （2）设等比数列{bn}的公比为q，由b2＝a3＝8，b3＝a7＝16＝qb2，解得q＝2． ∴2b1＝8，解得b1＝4， ∴b4＝4×23＝32＝2n+2，解得n＝15． ∴b4是数列{an}的第15项． 例4．B． 例5．B． 例6．A． 例7．D． 例8．D． 例9．15． 练习 1．A． 2．B． 3．C． 4． 5．． 6．4． 7．511． 8． 9． 10．6． 11．（Ⅰ）∵等比数列{an}的前n项和为Sn， S1，S3，S2成等差数列， ∴2（a1+a1q）＝a1+a1+a1q， 解得q或q＝0（舍）． ∴q． （Ⅱ）∵a1﹣a3＝3，q， ∴，a1＝4， ∴[1﹣（）n]． 例10．±2 例11．B． 例12．B． 例13．B． 例14．C． 例15．（1）∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝81，a2+a3＝8． ∴， 解得a1＝1，d＝2， ∴an＝1+（n+1）×2＝2n﹣1． （2）由（1）知，Snn2． ∵S3，a14，Sm成等比数列，∴S3Sm， 即9m2＝272，解得m＝9， ∴324． 练习 1．D． 2．A． 3．C． 4．A． 5．A． 6．B． 7．2或． 8．． 9．9． 10．． 例16． (1)证明　∵an＋Sn＝n，① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝，∴{an－1}是等比数列． 又a1＋a1＝1，∴a1＝， ∵首项c1＝a1－1，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1， ∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列． (2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n， ∴an＝cn＋1＝1－n. ∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－ ＝n－1－n＝n. 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n. 课堂练习 1．（1）解：由已知得∴d＝2， 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． （2）证明：由(1)得bn＝＝n＋. 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列， 则b＝bpbr，即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*，∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0.∴p＝r，这与p≠r矛盾． ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 2．(1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2， 有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3. 又 ①－②，得an＋1＝4an－4an－1 (n≥2)， ∴an＋1－2an＝2(an－2an－1) (n≥2)． ∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1 (n≥2)， 故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列． (2)解　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1， ∴－＝， 故{}是首项为，公差为的等差数列． ∴＝＋(n－1)·＝， 故an＝(3n－1)·2n－2. 1．C　 2．D　 3．B　 4．　2 5．－1　1－2n 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$