精品解析：江西省宜春市高安市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024─2025学年度上学期期中质量监测 八年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 江西航空 C. 春秋航空 D. 香港航空 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移与轴对称的性质，根据点的平移得的坐标，根据轴对称的性质得出的坐标是，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到的的坐标为，即， 则点关于轴的对称点的坐标是， 故选：A． 3. 如图，中，为的高，为的角平分线，，，那么是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，由题意得出，再求出即可得解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，度，点，分别在，上，则的大小为多少度（ ） A. 140 B. 190 C. 250 D. 320 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理得出，再由三角形外角的定义及性质得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵在中，度， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作于，交的延长线于，则四边形是矩形，得到，证明，得出，推出，则，从而得出当直线时，的值最大，为，即可得解． 【详解】解：如图，作于，交的延长线于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴当直线时，的值最大，为，即， 故选：D． 6. 如图，在中，，为边上的高，为边上的高，平分，点在上，连接并延长交于点，若，，有下列结论：①；②③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质可得，，由同角的余角可得，即可判断①；由三角形内角和定理求出，即可判断③；求出，即可判断②；由三角形面积公式计即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，为边上的高， ∴，， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， 故，故③正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵，不一定等于 ∴不一定等于，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①③，共个， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 7. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．熟练掌握常见的三角形的稳定性在实际生活中的应用，如钢架桥、房屋架梁等是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答． 【详解】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 8. 一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的．另两个内角的度数相差．这个三角形的最小的内角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出另两个内角度数和，从而得出一个内角的度数，再求出另两个内角的度数，比较即可得解． 【详解】解：另两个内角度数和为：， 则一个内角的度数是：， 另两个内角的度数分别为：，， ， 故这个三角形的最小的内角的度数是， 故答案为：． 9. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝110°，则∠A＝_____°． 【答案】40° 【解析】 【分析】先利用三角形的内角和求出∠OBC+∠OCB，再用角平分线的意义，整体代换求出∠ABC+∠ACB，最后再用三角形的内角和即可． 【详解】在△BOC中,∠OBC+∠OCB=180°−∠BOC=180°−110°=70° ∵点O是△ABC的两条角平分线的交点， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=2×70°=140°， 在△ABC中,∠A=180°−(∠ABC+∠ACB)=180°−140°=40° 故答案为40° 【点睛】此题考查三角形内角和定理，解题关键在于求出∠OBC+∠OCB 11. 如图，在中，，平分，平分，则_____．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】先由三线合一定理推出垂直平分，则，由等边对等角得到，再证明，进而证明，则，由三角形外角的性质得到，据此根据三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，证明是解题的关键． 12. 如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当__________时，与全等． 【答案】2或或12 【解析】 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数． （2）如图，在中，，，求的度数． 【答案】（1）这个多边形的边数是6；（2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、多边形内角和及外角和，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设这个多边形的边数是，根据多边形内角和公式解题题意得出，求解即可； （2）由三角形外角的定义及性质得出，再根据三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：（1）设这个多边形的边数是， 根据题意得，， 解得． 答：这个多边形的边数是6． （2）， ， 在中，， ， 答：的度数为． 14. 如图，已知，点在上，与交于点，，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，结合计算即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． 15. 如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高于于．小明在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角．已知三点共线，与互余，且，求办公楼的高度． 【答案】办公楼的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，余角的定义，三角形内角和定理，先由余角的定义得到，再由垂线的定义结合三角形内角和定理得到，则，再证明， ，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：与互余， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， 办公楼的高度为． 16. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形． （2）在图2中，请在直线上找一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作轴对称图形，勾股定理，无刻度直尺作图，线段垂直平分线的判定等，掌握轴对称图形的性质，线段垂直平分线的判定方法是解题的关键． （1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，顺次连接即可； （2）由勾股定理可知点B到点A和点C的距离相等，因此只需在右侧找一个到点A和点C的距离相等的点，该点与点B的连线与直线的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，在网格中选取点D，连接，与直线的交点即为点P． 证明：由勾股定理可得： ，， ， ． 17. 如图，在中，是边上的点，平分交于点交于点．已知． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质； （1）先由角平分线的定义得到，再由平行线的性质和已知条件推出，据此证明，进而可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则由周角的定义可得，进而由平行线的想可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 的度数为． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连． （1）求证：； （2）连接，若平分平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：为中点， ， 在和中， ∴， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质与判定： （1）证明，得到，据此即可证明； （2）先由角平分线定义得到，再由平行线的性质得到，据此根据角平分线的定义可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平， ， ， ， 平分， ， ， 的度数为． 19. 如图，在中，D、C分别在、上且，平分，于点H． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：过点C作，垂足为M， ∵平分，，， ∴，， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）过点C作，垂足为M，证明，推得，根据等量代换后得； （2）证明，推得，由可得，列式求出，进而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 在与中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及常用辅助线的做法是解题关键． 20. 综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． 猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分． 【答案】 （1）解：， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长交于点， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质； 问题情景：（1）过点作，利用猪脚模型即可解答； 问题解决：（2）延长交于点，利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，进而可得，最后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答． 【详解】问题情景：（1）略 问题解决：（2）略 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】（1） 证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）的长为14 【解析】 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 22. 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　　　　　　； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求的最大整数值． （3）已知：如图3，是的中线，是的中线，，，求证：． 【答案】（1）；（2）的最大整数值为3； （3）证明：如图3，延长到，使，连接， ， 是的中线， ， 在与中， ， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 在与中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用证明即可得解； （2）延长至点，使，连接，证明，得出，再由三角形三边关系即可得解； （3）延长到，使，连接，先证明，得出，，再证明，即可得解． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； 故答案为：； （2）解：如图2，延长至点，使，连接， ， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，，即， 的取值范围是， ∴的最大整数值为：3． （3）略 六、解答题（共1小题，满分12分） 23. 如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，． （1）求证：； （2）在（1）中点的坐标为，点为上一点，且，如图2，求的长； （3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】（1） 证明：∵平分与轴交于点， ∴， ，，， ∴，． 在和中， ， ． ． （2） （3） ． 证明：由（2）知：，在轴的负半轴上取，连接，如图所示： 在和中， ， ． ，． ． 在和中， ， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义得出，证明，再利用证明即可得证； （2）由（1）知，则，过作于点，由角平分线的性质定理可得，证明，得出．证明，得出，从而得到，求出的长即可得解； （3）由（2）知：，在轴的负半轴上取，连接，证明得出，，再证明，得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， 过作于点，如图所示： ∵平分与轴交于点，，， ， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ， ∴， ∴， 点的坐标为， ． ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024─2025学年度上学期期中质量监测 八年级数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 江西航空 C. 春秋航空 D. 香港航空 2. 如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度得到点，则点关于轴的对称点坐标是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，中，为的高，为的角平分线，，，那么是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，度，点，分别在，上，则的大小为多少度（ ） A. 140 B. 190 C. 250 D. 320 5. 如图，在中，，，是的中点，直线l经过点且可绕点转动，，，垂足分别为，，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 如图，在中，，为边上的高，为边上的高，平分，点在上，连接并延长交于点，若，，有下列结论：①；②③；④．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 7. 如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为__________． 8. 一个三角形，一个内角的度数是另两个内角度数和的．另两个内角的度数相差．这个三角形的最小的内角的度数是_____． 9. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 10. 如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点，若∠BOC＝110°，则∠A＝_____°． 11. 如图，在中，，平分，平分，则_____．（用含的式子表示） 12. 如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当__________时，与全等． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数． （2）如图，在中，，，求的度数． 14. 如图，已知，点在上，与交于点，，，，． （1）求的长度； （2）求的度数． 15. 如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高于于．小明在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角，小华在自家阳台处测得办公楼顶部的视线与水平线的夹角．已知三点共线，与互余，且，求办公楼的高度． 16. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形． （2）在图2中，请在直线上找一点，使得． 17. 如图，在中，是边上的点，平分交于点交于点．已知． （1）试说明：； （2）若，求的度数． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点使得，连． （1）求证：； （2）连接，若平分平分，求的度数． 19. 如图，在中，D、C分别在、上且，平分，于点H． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 综合与实践 问题情景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． 猜想与证明：（1）如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． 问题解决：（2）如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使过点作的平行线交的延长线于点，求证：平分． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） （2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 22. 八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　　　　　　； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求的最大整数值． （3）已知：如图3，是的中线，是的中线，，，求证：． 六、解答题（共1小题，满分12分） 23. 如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，． （1）求证：； （2）在（1）中点的坐标为，点为上一点，且，如图2，求的长； （3）在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图3），当点在上移动、点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $